Элементарные логарифмические уравнения
Задача 1
\log_2 (4-x) = 7.
Решить уравнение:
+1 балл
Задача 1. Решение
\log_2 (4-x) = \log_2 2^7;\\
4-x = 128;\\
x = -124.
+1 балл
Ответ:
-124.
\log_2 (4-x) = 7;
Задача 2
\log_5 (4+x) = 2.
Решить уравнение:
+1 балл
Задача 2. Решение
\log_5 (4+x) = \log_5 5^2;\\
4+x = 25;\\
x = 21.
+1 балл
Ответ:
21.
\log_5 (4+x) = 2;
Задача 3
\log_5 (15+x) = \log_5 3.
Решить уравнение:
+1 балл
Задача 3. Решение
15+x = 3;\\
x = -12.
+1 балл
Ответ:
-12.
\log_5 (15+x) = \log_5 3;
Задача 4
\log_{\frac{1}{7}}(7-x) = -2.
Решить уравнение:
+1 балл
Задача 4. Решение
\log_{\frac{1}{7}}(7-x) = \log_{\frac{1}{7}} \left( \frac{1}{7} \right)^{-2};\\
7-x = 49;\\
x = -42.
+1 балл
Ответ:
-42.
\log_{\frac{1}{7}}(7-x) = -2;
Задача 5
Решить уравнение:
\log_4 (x+3) = \log_4 (4x-15).
+2 балла
Задача 5. Решение
\begin{cases}
x+3 = 4x-15;
\\
x+3 > 0;
\end{cases}
\begin{cases}
x = 6;
\\
x > -3;
\end{cases}
\Rightarrow x = 6.
Ответ:
6.
\log_4 (x+3) = \log_4 (4x-15);
+2 балла
Задача 6
\log_7 (x+9) = \log_7 (2x-11).
Решить уравнение:
+2 балла
Задача 6. Решение
Ответ:
20.
\log_7 (x+9) = \log_7 (2x-11);
\begin{cases}
x+9 = 2x-11;
\\
x+9 > 0;
\end{cases}
\begin{cases}
x = 20;
\\
x > -9;
\end{cases}
\Rightarrow x = 20.
+2 балла
Задача 7
\log_{11} 2x = \log_{11} (-x-1).
Решить уравнение:
+2 балла
Задача 7. Решение
Ответ:
\varnothing.
\log_{11} 2x = \log_{11} (-x-1);
\begin{cases}
2x = -x-1;
\\
2x > 0;
\end{cases}
\begin{cases}
x = -\frac{1}{3};
\\
x > 0;
\end{cases}
\Rightarrow x \in \varnothing.
+2 балла
Задача 8
\log_{\sqrt{2}} (x^2 + 2x) = \log_{\sqrt{2}} (x^2 + 10).
Решить уравнение:
+2 балла
Задача 8. Решение
Ответ:
5.
\log_{\sqrt{2}} (x^2 + 2x) = \log_{\sqrt{2}} (x^2 + 10);
\begin{cases}
x^2 + 2x = x^2 + 10;
\\
x^2 + 10 > 0;
\end{cases}
\begin{cases}
x = 5;
\\
x \in \mathbb{R};
\end{cases}
\Rightarrow x = 5.
+2 балла
Задача 9
\log_5 (5-x) = 2\log_5 3.
Решить уравнение:
+2 балла
Задача 9. Решение
\log_5 (5-x) = \log_5 3^2;\\
5-x = 9;\\
x = -4.
Ответ:
-4.
\log_5 (5-x) = 2\log_5 3;
+2 балла
Задача 10
\log_5 (7-x) = \log_5 (3-x) + 1.
Решить уравнение:
+3 балла
Задача 10. Решение
\log_5 (7-x) = \log_5 (3-x) + \log_5 5;\\
\log_5 (7-x) = \log_5 [5(3-x)];\\
\begin{cases}
7-x = 15 - 5x;\\
7-x > 0;
\end{cases}
\begin{cases}
x=2;\\
x < 7;
\end{cases}
\Rightarrow
x = 2.
Ответ:
2.
\log_5 (7-x) = \log_5 (3-x) + 1.
+3 балла
Задача 11
2^{\log_8 (5x-3)} = 4.
Решить уравнение:
+3 балла
Задача 11. Решение
2^{\log_8 (5x-3)} = 2^2;\\
\log_8 (5x-3) = 2;\\
\log_8 (5x-3) = \log_8 8^2;\\
5x-3 = 64;\\
x = 13{,}4.
Ответ:
13{,}4.
2^{\log_8 (5x-3)} = 4;
+3 балла
Логарифмические уравнения
By vkrysanov320
Логарифмические уравнения
- 163
