Корни. Степени
10-11 класс
vkrysanov320@gmail.com
version 2.1, 07-11-2024 not fixedАрифметический корень степени n
Неотрицательный корень степени из неотрицательного числа
называют арифметическим корнем степени из числа .
n
n
b
b
\sqrt[n]{b},
b \ge 0, n \in \mathbb N, n \ge 2
Знак радикала
Подкоренное выражение
Степень
\Rightarrow
- Если — отрицательное число, а — четное число, то запись не имеет смысла;
\sqrt[n]{0} = 0, n \ge 2;
\sqrt[n]{1} = 1, n \ge 2;
\sqrt[n]{b}
b
n
\sqrt[4]{-9} = \varnothing
\sqrt{-4} = \varnothing
При возведении в четную степень не породнится отрицательное значение (но только для действительных чисел)
- Если — положительное число, а — нечетное число, то справедливо следующее равенство:
\sqrt[n]{-b} = -\sqrt[n]{b}.
b
n
\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2
\sqrt[5]{-125} = -\sqrt[5]{125}
\bigl(\sqrt[n]{b}\bigr)^n = b
\sqrt[n]{b^n} = b
График арифметического корня степени n
— четно
f(x) = \sqrt[n]{x}, n
f_1(x) = \sqrt{x}
f_2(x) = \sqrt[4]{x}
f_3(x) = \sqrt[6]{x}
O
- возрастает на всей ОДЗ
- непрерывна на всей ОДЗ;
- общего вида;
D(f) = [0; +\infty); E(f) = [0;+\infty).
(x \rightarrow +\infty \Rightarrow y \rightarrow +\infty);
— нечетно
f(x) = \sqrt[n]{x}, n
f_3(x) = \sqrt[7]{x}
f_1(x) = \sqrt[3]{x}
f_2(x) = \sqrt[5]{x}
- возрастает на всей ОДЗ
- непрерывна на всей ОДЗ;
- нечетная;
D(f) = \mathbb{R}; E(f) = \mathbb{R}.
(x \rightarrow +\infty \Rightarrow y \rightarrow +\infty);
O
Свойства арифметических корней
- Для натурального числа и неотрицательных чисел , и
n (n \ge 2)
b
a
c (c \ne 0)
справедливы равенства:
\sqrt[n]{a\cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}}.
- Для любых двух действительных чисел и неотрицательных чисел и
n (n \ge 2)
a, b \ge 0
натурального числа верно утверждение:
a \le b
\sqrt[n]{a} \le \sqrt[n]{b}
Если , то .
- Для любого действительного числа и натуральних чисел
a \ge 0
выполнены неравенства:
a \ge 1
\sqrt[m]{a} \le \sqrt[n]{a}
Если и , то
m, n \ge 2
m \ge n
a \le 1
\sqrt[m]{a} \ge \sqrt[n]{a}
Если и , то
m \ge n
Очень важное свойство
- Для любого действительного числа и натурального числа выполнены рав-ва:
a
k
\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|
\sqrt[2k-1]{a^{2k-1}} = a
Задачи
1. Вычислить:
2. Вычислить:
3. Вычислить:
\sqrt[3]{1000} - \sqrt[4]{160000}
\sqrt[5]{3200000} - \sqrt[3]{8000}
\sqrt[3]{0{,}008} + \sqrt[4]{0{,}0625}
\sqrt[4]{\frac{1}{81}} + \sqrt[3]{\frac{1}{125}}
а)
б)
в)
г)
\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{27}
а)
\sqrt[3]{125 \cdot 27}
\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625}
б)
в)
\sqrt[4]{81 \cdot 16}
г)
\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}
\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}
д)
е)
\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125}
ж)
\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24}
\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{100}
з)
и)
\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4}
\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}
\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{-2}
а)
б)
в)
г)
\sqrt[5]{-7} \cdot \sqrt[5]{49} \cdot \sqrt[5]{49}
Задачи (2)
4. Найти область определения следующих функций:
y=\sqrt{8+2x-x^2}
y=\frac{\sqrt[4]{x+3}}{x-1}
y=\frac{\sqrt{x^2-1}}{4-x^2}
y=\sqrt{\frac{x^2-1}{4-x^2}}
y=\sqrt{2x^2-x} + \frac{\sqrt{9-x^2}}{x-1}
y=\sqrt{x^2(x^2-5x+6)} + \frac{1}{\sqrt{16-x^2}}
y=\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{4-x^2}}
y=\sqrt{\frac{7x^2 - 10x + 3}{7x-3} - \frac{3}{2x-3}}
а)
б)
е)
в)
г)
д)
ж)
з)
y=\sqrt[3]{x^2(x^2-5x+6)} + \frac{1}{\sqrt[7]{16-x^2}}
и)
Задачи (3)
5. Найти точку максимума функции .
y = \sqrt{4-4x-x^2}
6. Найти точку минимума функции .
y=\sqrt{x^2-6x+11}
7. Найти наибольшее значение функции .
y=\sqrt{5-4x-x^2}
8. Найти наименьшее значение функции .
y=\sqrt{x^2-8x+80}
9. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
\frac{2}{\sqrt{5}}
\frac{3}{\sqrt{3}}
\frac{7}{\sqrt{5}}
\frac{7}{\sqrt[3]{2}}
\frac{1}{\sqrt[4]{2}}
\frac{3}{\sqrt[3]{7}}
\frac{2}{\sqrt{3} - 1}
\frac{3}{\sqrt{2} + 1}
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} + 6}
\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8} - 2}
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
10. Упростить и вычислить значение выр-я: .
\sqrt{(2-\sqrt{2})^2} + \sqrt{2}
Ещё парочка свойств ...
- Для натуральных чисел и неотрицательного числа
m, n (m \ge 2, n \ge 2)
a
справедливы равенства:
(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m};
\sqrt[nm]{a^m} = \sqrt[n]{a};
\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a};
- Пусть — положительное число, — целое число и — натуральное
a
p
n (n\ge 2)
число. Тогда справедливо равенство:
\sqrt[n]{a^p} = (\sqrt[n]{a})^p.
FIX IT!
Задачи
1. Упростить:
2. Упростить:
3. Упростить:
4. Упростить:
FIX IT!
Иррациональные уравнения. Равносильные переходы
\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x) = g^2(x);\\
g(x) \ge 0.
\end{cases}
I.
\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x) = g(x);\\
f(x) \ge 0.
\end{cases}
\begin{cases}
f(x) = g(x);\\
g(x) \ge 0.
\end{cases}
II.
\Leftrightarrow
k(x)\sqrt{f(x)} = 0 \Leftrightarrow
\begin{cases}
k(x) \cdot f(x) = 0;\\
f(x) \ge 0.
\end{cases}
III.
\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = \sqrt{k(x)} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x) \ge 0;\\
g(x) \ge 0;\\
k(x) \ge 0;\\
f(x) + 2\sqrt{f(x) \cdot g(x)} + g(x) = k(x).
\end{cases}
IV.
* далее приведены примеры каждого равносильного перехода
Пример I
\begin{cases}
4x^2 - \sqrt{x-1} = (4-2x)^2;\\
4-2x \ge 0;\\
\end{cases}\\
\sqrt{4x^2 - \sqrt{x-1}} = 4-2x.
Решить уравнение:
\sqrt{4x^2 - \sqrt{x-1}} = 4-2x;\\
\begin{cases}
4x^2 - \sqrt{x-1} = 16 - 16x + 4x^2;\\
x \le 2;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
16(x-1) = \sqrt{x-1};\\
x \le 2;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
\begin{cases}
16(x-1) \ge 0;\\
[16(x-1)]^2 = x - 1;\\
\end{cases}\\
x \le 2;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
\begin{cases}
x \ge 1;\\
256(x-1)^2 = x - 1;\\
\end{cases}\\
x \le 2;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
x \ge 1;\\
x \le 2;\\
256(x-1)^2 = x - 1;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
x \ge 1;\\
x \le 2;\\
(x-1)[256(x-1) - 1] = 0;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
1 \le x \le 2;\\
x=\left[
\begin{array}{l}
1;\\
\frac{257}{256};
\end{array}
\right.
\end{cases}\\
x=\left[
\begin{array}{l}
1;\\
\frac{257}{256};
\end{array}
\right.
Решение:
\Rightarrow
Ответ:
1;
\frac{257}{256}.
\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \begin{cases}
f(x) = g^2(x);\\
g(x) \ge 0.
\end{cases}
\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \begin{cases}
f(x) = g^2(x);\\
g(x) \ge 0.
\end{cases}
Пример II
\begin{cases}
4x+2 = -x;\\
-x \ge 0;\\
\end{cases}\\
\sqrt{4x+2} = \sqrt{-x}.
Решить уравнение:
\sqrt{4x+2} = \sqrt{-x};\\
\begin{cases}
x = -\frac{2}{5};\\
x \le 0;\\
\end{cases}\\
Решение:
Ответ:
-\frac{2}{5}.
\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x) = g(x);\\
g(x) \ge 0.
\end{cases}
\begin{cases}
5x = -2;\\
x \le 0;\\
\end{cases}\\
\Rightarrow x = -\frac{2}{5}.
Пример III
\begin{cases}
(9-x^2)[2+x] = 0;\\
x+2 \ge 0;\\
\end{cases}\\
(9-x^2)\sqrt{2+x} = 0.
Решить уравнение:
(9-x^2)\sqrt{2+x} = 0.
\Rightarrow
x=\left[
\begin{array}{l}
-2;\\
3.
\end{array}
\right.
Решение:
Ответ:
-2; 3.
k(x)\sqrt{f(x)} = 0 \Leftrightarrow
\begin{cases}
k(x) \cdot f(x) = 0;\\
f(x) \ge 0.
\end{cases}
\begin{cases}
x=\left[
\begin{array}{l}
3;\\
-3;\\
-2
\end{array}
\right.\\
x \ge -2;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
(3-x)(3+x)[2+x] = 0;\\
x+2 \ge 0;\\
\end{cases}\\
Пример IV
\begin{cases}
x - 2\ge 0;\\
x-1 \ge 0;\\
3x-5 \ge 0;\\
x-2 + 2\sqrt{(x-2)(x-1)} + (x-1) = 3x+5
\end{cases}\\
\sqrt{x-2} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-5}.
Решить уравнение:
\sqrt{x-2} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-5};
Решение:
\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = \sqrt{k(x)} \Leftrightarrow
\\
\Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x) \ge 0;\\
g(x) \ge 0;\\
k(x) \ge 0;\\
f(x) + 2\sqrt{f(x) \cdot g(x)} + g(x) = k(x).
\end{cases}
\begin{cases}
x \ge 2;\\
x \ge 1;\\
x \ge \frac{5}{3};\\
2\sqrt{x^2-3x+2} = x-2;
\end{cases}\\
\begin{cases}
x \ge 2;\\
2\sqrt{x^2-3x+2} = x-2;
\end{cases}\\
\begin{cases}
x \ge 2;\\
\begin{cases}
x \ge 2;\\
4(x^2-3x+2) = (x-2)^2;
\end{cases}\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
x \ge 2;\\
4(x^2-3x+2) = x^2-4x+4;
\end{cases}\\
\begin{cases}
x \ge 2;\\
3x^2 - 8x + 4 = 0;
\end{cases}\\
\begin{cases}
x \ge 2;\\
3x^2 - 8x + 4 = 0;
\end{cases}\\
\begin{cases}
x=\left[
\begin{array}{l}
\frac{2}{3};\\
2;
\end{array}
\right.\\
x \ge 2;\\
\end{cases}\\
\Rightarrow
x= 2.
Ответ:
2.
\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \begin{cases}
f(x) = g^2(x);\\
g(x) \ge 0.
\end{cases}
FIX IT!
Задачи
Иррациональные неравенства. Равносильные переходы
\sqrt{f(x)} < _{\le} g(x) \Leftrightarrow
\begin{cases}
g(x) \ge 0;\\
f(x) \ge 0;\\
f(x) <_{\le} g^2(x).
\end{cases}
I(a).
I(b).
k(x)\sqrt{f(x)} \vee 0 \Leftrightarrow
\begin{cases}
k(x) \cdot f^2(x) \vee 0;\\
f(x) \ge 0.
\end{cases}
II.
\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} \vee \sqrt{k(x)} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x) \ge 0;\\
g(x) \ge 0;\\
k(x) \ge 0;\\
f(x) + 2\sqrt{f(x) \cdot g(x)} + g(x) \vee k(x).
\end{cases}
IV.
\sqrt{f(x)} >_{\ge} g(x) \Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\begin{cases}
g(x) \ge 0;\\
f(x) >_{\ge} g^2(x);\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
g(x) < 0;\\
f(x) \ge 0.\\
\end{cases}
\end{array}
\right.
III(a).
\sqrt{f(x)} >_{\ge} \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow
\begin{cases}
g(x) \ge 0;\\
f(x) >_{\ge} g(x).
\end{cases}
III(b).
\sqrt{f(x)} <_{\le} \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x) \ge 0;\\
f(x) <_{\le} g(x).
\end{cases}
Задачи
Степень с рациональным показателем
Пусть — положительное число, а — рациональное число ( ). По определению число в степени есть арифметический корень степени из в степени :
\frac{p}{q}
a
q \ge 2
a
\frac{p}{q}
q
a
p
a^\frac{p}{q} = \sqrt[q]{a^p}
Если — положительное число, — целое, — натуральные числа (больше или равные двум), тогда справедливы равенства:
a
p
k, q
a^\frac{p}{q} = (a^\frac{1}{q})^p
a^\frac{p}{q} = a^\frac{p \cdot k}{q \cdot k}
a^p = a^\frac{p \cdot k}{k}
Свойства степени с рациональным показателем
Теорема 1: Положительное число в степени с любым рациональным показателем положительно:
a
r
a^r > 0
Теорема 3: Пусть — положительные числа, a — рациональное число. Тогда справедливы свойства:
a, b
r
a^{r_1} \cdot a^{r_2} = a^{r_1 + r_2}
a^{r_1} : a^{r_2} = a^{r_1 - r_2}
(a^{r_1})^{r_2} = a^{r_1 \cdot r_2}
a^{-r} = \frac{1}{a^{r}}
Теорема 2: Пусть — положительное число, a , и — рациональные числа. Тогда справедливы свойства:
a
r_1
r_2
r
(ab)^r = a^r \cdot b^r
(\frac{a}{b})^r = \frac{a^r}{b^r}
Задачи
1. Вычислить
А2. Корни. Степени
By vkrysanov320
