數學

aka 高中數學 in 資訊

簡介

競賽數學主要分 ACGN 四大類

Algebra 代數

Combinatory 組合

Geometry 幾何

Number theory 數論

不是 Animation, Comic, Game, Novel 啦

資訊用到的數學

\(C \approx N > A > G\)

然後要會一點向量、線性代數、群論

構造題

八維立方體 CF 1543 E

數論

同餘

a 與 b 在模 p 下同餘若且唯若 (a-b)%p == 0

這裡的 p 不一定是質數

加法、減法、乘法

const int mod=998244353;
void add(int& x,int y){
    x+=y;
    x-=mod*(x>=mod);
    x+=mod*(x<0);
}
int mul(int x,int y){
    return 1ll*x*y%mod;
}

除法

在模質數底下,不能整除怎麼辦

\(\frac{x}{y} = z \implies x \equiv y \cdot z \pmod p\)

假設我們有 \(y \cdot b \equiv 1 \pmod p\)

那麼 \( x \cdot b \equiv b \cdot y \cdot z \equiv z \pmod p\) 

也就是說 \( z \equiv x \cdot b \pmod p \)

這樣就可以算了

問題就是要怎麼算出那個 b

有三種方法

  1. 費馬小定理
  2. 酷酷公式
  3. 貝祖定理

模逆元

 費馬小定理

$$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$$

也就是說 \( a \cdot a^{p-2} \equiv 1 \pmod p\)

代表 \(b = a^{p-2}\)

直接用快速冪做就好了

快速冪

\( a^n = (a^{n/2})^2 \cdot a [a\%2==1] \)

O(logn)

酷酷公式

int inv(int x){
    return x==1?1:mul(mod-mod/x,inv(mod%x));
}

據說是 O(logn)

我不會證但是沒有出包過

實作簡單

貝祖定理

對於所有整數 \(a,b\) 存在無限多組整數 \(x,y\) 滿足 $$ ax + by = gcd(a,b) $$

遞迴

假設我們有了 \( bx' + (b\%a)y' = 1\)

要怎麼推出 \(ax + by = 1\)的解

注意到 \(a\%b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \cdot b\)

$$bx' + (a\%b) y' = 1 $$

$$ bx'  + (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b)y' = 1 $$

$$ ay' + b(x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y') = 1$$

是唯一能用在合數的模逆元方法

GCD

輾轉相除法

或是有酷酷的內建函式 __gcd 可以用

範例 code

const int mod=998244353;
void add(int& x,int y){
    x+=y;
    x-=mod*(x>=mod);
    x+=mod*(x<0);
}
int mul(int x,int y){
    return 1ll*x*y%mod;
}
int po(int x,int y){
	int z=1;
	while(y){
		if(y&1){
			z=mul(z,x);
		}
		x=mul(x,x);
		y>>=1;
	}
	return z;
}
int inv(int x){
	return po(x,mod-2);
}
int inv(int x){
    return x==1?1:mul(mod-mod%x,inv(mod%x));
}
add(x,1);
x=mul(x,2);
__gcd(3,5);

OJDL 7044

模逆元練習

質數

判斷質數

從 1 掃到 \( \sqrt n\) ,如果裡面有整數是因數就不是質數,反之則是

其他方法

找到 1 到 n 的所有質數

照上面的作法會是 O(n^1.5) 

改進一下

從 1 到 n 掃過一遍,每次更新他的所有倍數

沒被更新過的就是質數

\( O( \frac{n}{1} + \frac{n}{2} + \dots + \frac{n}{n}) = O(n log(n)) \)

因數篩

小優化

只跑過質數的倍數

\( O( \frac{n}{2} + \frac{n}{3} + \dots )= O(n loglog(n)) \)

上一張的可以用在找出一個數的所有因數

由此也可得 1 到 n 所有數的因數數量和 = O(nlogn)

線性篩

如果能讓每個數都被篩過一次,那就可以 O(n) 算完了

所以我們會想要讓每個合數被他的最小質因數算到

vector<int> vis,pr;
for(int i=2;i<n;i++){
    if(!vis[i]){
        pr.push_back(i);
    }
    for(auto h:pr){
        if(h*i>n){
            break;
        }
        vis[h*i]=1;
        if(i%h==0){
            break;
        }
    }
}

Code

線性篩求歐拉函數

歐拉函數 \(\varphi(n)\) 代表 n 以下有多少數與 n 互質

有積性

code

vector<int> vis,pr,phi;
for(int i=2;i<n;i++){
    if(!vis[i]){
        pr.push_back(i);
        phi[i]=i-1;
    }
    for(auto h:pr){
        if(h*i>n){
            break;
        }
        vis[h*i]=1;
        if(i%h==0){
        	phi[i*h]=h*phi[i];
            break;
        }
        else{
        	phi[i*h]=phi[h]*phi[i];
		}
    }
}

組合

組合數 \(C^n_k\)

算法:主要有三種

  1. \(n \leq 1000: O(n^2) \) Pascal Triangle 
  2. \(n \leq 1000000\) 多次詢問:O(n) 蓋出 frac 表,然後用 $$ C^n_k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} $$
  3. (mod 質數) \( n \leq 10^{18}, p \leq 1000\) => Lucas Theorem

在 n 個裡面取 k 個的方法數

Lucas theorem

\( C^n_k \equiv \prod_{i=0} C^{n_i}_{k_i} \pmod p \)

\(n_i\) 跟 \(k_i\) 分別是 n 跟 k 轉成 p 進位每一個位的位元

例題:ARC 137 D

題單

我亂找的XD,我只是放了最近寫的組合題

CF 1172 B

CF 1526 E

CF 1726 E

ARC 145 C

ARC 147 D

線代相關

高斯消去

把對角線以下的消掉

這邊原本是 xor basis

但我想了一下好像講不完

所以參考 Sam571128 的 blog

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By alvingogo

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