Recursion

Arvin Liu

一個方便找投影片的目錄

Syllabus - 0

內容 快速連結
What is Recursion? 什麼是遞迴呢？ Section 1
Recursion Tree 用遞迴樹想像遞迴的過程 Section 2
Ex O - 遞迴觀念題 Section 3
Ex I - 遞迴觀念題練習 如何將數學遞迴程式遞迴？ Section 4
Recursion Tips 遞迴要注意的事項 Section 5
Ex II - 彩帶問題 從排列組合到遞迴 Section 6
Memorization - 記憶化 一個讓遞迴更快的重要技巧 Section 7
Euclidean Algorithm - 輾轉相除法 Section 8
Exercise III - Rhythm Doctor Section 9
零和問題 嘗試用遞迴暴搜索有可能！ Section 10
Pruning - 剪枝一個大家都會，但很重要的技巧 Section 11
Talks - 結語 Section 12

重要章節
主要章節

這個投影片怎麼用呢？

Before Before Class - 0

  • 上下左右切換投影片，用ESC可以看到整個投影片的大綱。
    • 每個直排都是一個主題，右上角有編號，你可按右上角的             回第一頁。
    • 正確觀看順序：一直往下，到底往右。

Esc後大概長這樣，你可以先Esc在上下左右選你要看哪頁投影片。

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What is Recursion?

什麼是遞迴呢?

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先讓我們看段影片...

What is Recursion ? - 0

我們從這段影片學到了甚麼？

What is Recursion ? - 1

  • 遞迴定義：每個人遇到問題的時候，都會跑去問他的上級。
    • 店員遇到解決不了的問題，就該去問經理。
    • 經理遇到解決不了的問題，就該去問老闆。
    • ​....
  • 基本情況 (​Base case)：God能夠解決一切。
  • 維基上的定義:

    遞迴（英語：Recursion），又譯為遞歸，在數學與電腦科學中，是指在函數的定義中使用函數自身的方法。遞迴一詞還較常用於描述以自相似方法重複事物的過程。例如，當兩面鏡子相互之間近似平行時，鏡中巢狀的圖像是以無限遞迴的形式出現的。也可以理解為自我複製的過程。

什麼是遞迴呢?

What is Recursion ? - 2

Recursion

  • 維基上的定義:

    遞迴（英語：Recursion），又譯為遞歸，在數學與電腦科學中，是指在函數的定義中使用函數自身的方法。遞迴一詞還較常用於描述以自相似方法重複事物的過程。例如，當兩面鏡子相互之間近似平行時，鏡中巢狀的圖像是以無限遞迴的形式出現的。也可以理解為自我複製的過程。

  • 「為了理解遞迴，則必須首先理解遞迴。」
     
  • 舉個例子，下列為某人祖先的遞迴定義：
    • 某人的雙親是他的祖先（基本情況）。
    • 某人祖先的雙親同樣是某人的祖先（遞迴步驟）。

一個經典的例子 - 斐波那契數列

What is Recursion ? - 4

Fibonacci Sequence

\begin{cases} F_1 = 1 \\ F_2 = 1 \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \\ \end{cases}
f(n)= \begin{cases} 1, \text{if \,n=1\,or \,2}\\ f(n-1)+f(n-2), \text{otherwise} \end{cases}
  • 寫成這樣也OK (在數學上)。

*otherwise: 否則的意思

  • 常見的表達式長這樣:

這怎麼看呢?

F_4 = F_3 + F_2
F_3 = F_2 + F_1
= 1 + 1 = 2
= 2 + 1 = 3

一個經典的例子 - 斐波那契數列

What is Recursion ? - 5

Fibonacci Sequence

f(n)= \begin{cases} 1, \text{if \,n=1\,or \,2}\\ f(n-1)+f(n-2), \text{otherwise} \end{cases}
  • 寫成這樣也OK (在數學上)。

*otherwise: 否則的意思

int f(int n){
  if(n == 1 || n == 2)
    return 1;
  else 
    return f(n-1) + f(n-2);
}
  • 程式就當作你在寫一般的函式，照著寫就可以了。

一個經典的例子 - C(n, m)

What is Recursion ? - 6

C(n, m)= \begin{cases} 1, \text{if \,m=0\,or n=m}\\ C(n-1, m-1)+C(n-1, m), \text{otherwise} \end{cases}
  • 什麼是C呢? C(n, m) 就是從n個相異東西取出m個的取法總數。
  • 舉例來說，如果從下面4顆球取出2顆球出來，總共有6種取法。
  • 那麼我們 C(4, 2) 就會等於6。
    C(n, m)其實是有遞迴公式的，長的像下面這樣。

有4顆相異的球

一個經典的例子 - C(n, m)

What is Recursion ? - 7

C(n, m)= \begin{cases} 1, \text{if \,m=0\,or n=m}\\ C(n-1, m-1)+C(n-1, m), \text{otherwise} \end{cases}
  • 那麼我們 C(4, 2) 就會等於6。
    C(n, m)其實是有遞迴公式的，長的像下面這樣。
  • 為甚麼呢?
    • C(n, m): 從n顆球取m顆的取法
      • 如果我取了第一顆球，那麼總數會是 "從n-1顆球取m-1顆"，C(n-1, m-1)。
      • 如果我不取第一顆球，那麼總數會是 "從n-1顆球取m顆"，C(n-1, m)。
    • 這樣你懂為什麼了嗎？

一個經典的例子 - C(n, m)

What is Recursion ? - 8

  • 那麼我們 C(4, 2) 就會等於6。
    C(n, m)其實是有遞迴公式的，長的像下面這樣。
  • 如同剛剛的例子一樣，轉成程式直接照著寫就好了。
int C(int n, int m){
  if(n == 0 || n == m)
    return 1;
  else 
    return C(n-1, m-1) + C(n-1, m);
}
C(n, m)= \begin{cases} 1, \text{if \,m=0\,or n=m}\\ C(n-1, m-1)+C(n-1, m), \text{otherwise} \end{cases}

Recursion Tree

遞迴樹 - 遞迴要怎麼想像呢?

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怎麼分析遞迴呢?

What is Recursion Tree ? - 0

Recursion

  • 你大致上可以把遞迴看成是一個分支圖，舉例來說，我們呼叫了f(5)：
f(n)= \begin{cases} 1, \text{if \,n=1\,or \,2}\\ f(n-1)+f(n-2), \text{otherwise} \end{cases}
f(5)= \begin{cases} f(4) = \begin{cases} f(3) = \begin{cases}f(2) = 1\\+\\f(1) = 1 \end{cases}\\ +\\f(2) = 1\end{cases}\\ + \\ f(3) = \begin{cases} f(2) = 1 \\ f(1) = 1\end{cases}\end{cases}

1

2

3

4

5

6

7

8

9

  • 紫色數字是呼叫的順序
    • 如果有兩個f，函式會先做完第一個再去做第二個。
  • 所以答案為5。

怎麼分析遞迴呢?

What is Recursion Tree ? - 1

Recursion

  • 試試看畫出C(4, 2)的分析圖吧！
C(n, m)= \begin{cases} 1, \text{if \,m=0\,or n=m}\\ C(n-1, m-1)+C(n-1, m), \text{otherwise} \end{cases}
C(4, 2)= \begin{cases} C(3, 1) = \begin{cases} C(2, 0) = 1 \\ + \\ C(2, 1) = \begin{cases} C(1, 0) = 1\\ + \\ C(1, 1) = 1 \end{cases} \end{cases} \\ + \\ C(3, 2) = \begin{cases} C(2, 1) = \begin{cases} C(1, 0) = 1\\ + \\ C(1, 1) = 1\\ \end{cases} \\ + \\ C(2, 2) = 1 \end{cases} \end{cases}
  • 所以答案為6。
  • 你會發現一件事情，在分析的時候，有些遞迴會重複，這個時候用之前算過的值就好了。
  • 例如C(2, 1)有算過兩次，第二次直接看第一次算的值(=2)就好了。

為甚麼要叫遞迴樹呢?

What is Recursion Tree ? - 2

Tree

樹根

樹葉

  • 起先，你以為樹是往上長的。
  • 但在程式 / 資料結構裡面，樹是往下長的。
  • 遞迴的分支圖，其實就是一棵樹，我們可以叫它遞迴樹。

樹葉

樹根

Exercise O

APCS的手寫遞迴題

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Exercise O

APCS 手寫練習題

接下來有三題APCS手寫題。

  • 在寫之前請各位拿出一張紙方便計算。
  • 每一題只能寫2分鐘。
  • 這裡沒有給選項。

APCS 106/03 觀念題 - 21

Exercise O - APCS遞迴手寫題1 - 0

int F (int x, int y) {
  if (x<1)
    return 1;
  else
    return F(x-y, y) + F(x-2*y, y);
}

21. 若以 F(5,2) 呼叫下方 F() 函式，執行完畢後回傳值為何?

F(5, 2) = F(3, 2) + F(1, 2)

F(3, 2) = F(1, 2) + F(-1, 2)

F(1, 2) = F(-1, 2) + F(-3, 2)

= 1 + 1 = 2

= 2 + 1 = 3

= 3 + 2 = 5 

→ 答案 =  5 

2 mins

APCS 105/03 觀念題 - 24

Exercise O - APCS遞迴手寫題2 - 1

int f (int n) {
  if (n > 3) {
    return 1;
  } else if (n == 2) {
    return (3 + f(n+1));
  } else {
    return (1 + f(n+1));
  }
}

24. 若以 g(4) 呼叫 g() 函式，執行完畢後回傳值為何?

int g (int n) {
  int j = 0;
  for (int i=1; i<=n-1; i=i+1) {
    j = j + f(i);
  }
  return j;
}
  1. g(4)答案會等於多少呢?
    = f(1) + f(2) + f(3)。
  2. 那麼f(1)又是多少呢?
    好像不太容易看出來...

2 mins

APCS 105/03 觀念題 - 24

Exercise O - APCS遞迴手寫題2 - 2

int f (int n) {
  if (n > 3) {
    return 1;
  } else if (n == 2) {
    return (3 + f(n+1));
  } else {
    return (1 + f(n+1));
  }
}

24. 若以 g(4) 呼叫 g() 函式，執行完畢後回傳值為何?

int g (int n) {
  int j = 0;
  for (int i=1; i<=n-1; i=i+1) {
    j = j + f(i);
  }
  return j;
}
  1. g(4)答案會等於多少呢?
    = f(1) + f(2) + f(3)。
  2. 那麼f(1)又是多少呢?
    好像不太容易看出來...
  3. f(1) = 1 + f(2)
  4. f(2) = 3 + f(3)
  5. f(3) = 1 + f(4)
  6. f(4) = 1
  7. 答案 = 13

= 6

= 5

= 2

= 6 + 5 + 2

2 mins

APCS 107/12 觀念題 - 03

Exercise O - APCS遞迴手寫題3 - 3

int K (int a[], int n) {
  if (n >= 0)
    return (K(a, n-1) + a[n]);
  else
    return 0;
}

int G (int n) {
  int a[] = {5, 4, 3, 2, 1};
  return K(a, n);
}

3. 給定右側 G(), K() 兩函式，執行 G(3) 後所回傳的值為何？

2 mins

  1. G(3)會呼叫K(a, 3)。
  2. K(a, 3) = K(a, 2) + a[3]
  3. K(a, 2) = K(a, 1) + a[2]
  4. K(a, 1) = K(a, 0) + a[1]
  5. K(a, 0) = K(a, -1) + a[0]
  6. K(a, -1) = 0
  7. 答案 = a[0] + a[1] + a[2] + a[3] = 14

Exercise I

警報器 - 簡單的遞迴練習

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Exercise I

程式練習題

接下來有一題請你用
程式實做遞迴的題目。

  • 我會花1分鐘讀題。
  • 總共計時10分鐘。
  • 開好你的程式環境吧！

226 - 警報器 - 題目

Exercise I - 警報器 - 0

  • 題目：請問警報器長鳴為一次需3秒，短鳴一次需1秒，每格鳴聲之間停2秒，若鳴聲時間為t秒 (開頭跟結尾必須是鳴聲，不能是間隔的2秒)，
    那麼請問有多少種信號?
    (t為1到100的正整數。)
f(t)= \begin{cases} 1, \text{if \,} t = 1\text{, or }t = 3\\ 0, \text{if \,} t \le 0\\ f(t-5)+f(t-3), \text{otherwise} \end{cases}
  • 小小提示，這題答案的遞迴式長這樣，你可以實作出來嗎？

10 mins

  • t = 6總共有兩種可能。

3s

2s

1s

1s

2s

3s

226 - 警報器 - 解答

Exercise I - 警報器 - 1

f(t)= \begin{cases} 1, \text{if \,} t = 1\text{, or }t = 3\\ 0, \text{if \,} t \le 0\\ f(t-5)+f(t-3), \text{otherwise} \end{cases}
  • 小小提示，這題答案的遞迴式長這樣，你可以實作出來嗎？

10 mins

int f(int t) {
  if (t == 1 || t == 3)
    return 1;
  else if (t <= 0)
    return 0;
  else
    return f(t-5) + f(t-3);
}
  • 轉成程式的話就是這樣。使用直接輸出 f(t)就可以了

226 - 警報器 - 引導

Exercise I - 警報器 - 2

f(t)= \begin{cases} 1, \text{if \,} t = 1\text{, or }t = 3\\ 0, \text{if \,} t \le 0\\ f(t-5)+f(t-3), \text{otherwise} \end{cases}
  • 為甚麼題目可以寫成這樣的遞迴呢？

10 mins

  • 在所有長度為t的鳴聲中其實可分為兩類，把這兩種可能加起來就可以了。
    • 最後一段是長鳴。
    • 最後一段是短鳴。

可能數 = 長度為t-5的鳴聲種數。

可能數 = 長度為t-3的鳴聲種數。

2s

1s

2s

3s

t-5 s的組合鳴聲

t-3 s的組合鳴聲

t s的組合鳴聲

Recursion Tips

遞迴要注意的事情

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遞迴的題目要怎麼思考呢？

Recursion Tips - 遞迴要注意的事情 - 0

  • 想辦法把大問題拆成小問題！
    • 你可能要先定義問題本身，再想辦法達成這個問題的答案 (?)
    • 思考的時候，
      • 不要從一開始往上推，例如n=0怎麼樣，n=1怎麼樣...
      • 通常情況下，要逆向思考，例如n要怎麼用n-1表示，或者n-2表示...
    • 舉例來說，思考長度為t的鳴聲怎麼做時，我們要逆向思考。
      • 想想長度為t的鳴聲怎麼用t-?的鳴聲來的得到。
      • 而不是思考t=1要怎麼往上推到長度為t。
    • 記的要思考基礎 / 終止條件！
      • 不然遞迴會無止盡的跑下去，最終吃TLE或RE

記得要寫base case！

Recursion Tips - 遞迴要注意的事情 - 1

小心無窮遞迴！

Recursion Tips - 遞迴要注意的事情 - 2

Exercise II

彩帶問題 - 從遞迴到排列組合

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Exercise II

程式練習題

接下來有一題請你用程式實做遞迴的應用題。

  • 我會花1分鐘讀題。
  • 總共計時15分鐘。
  • 想一下前面教了什麼。
  • 至少第一組測資要可以AC。

227 - 彩帶問題 - 題目

Exercise II - 彩帶問題 - 0

  • 題目：現在Peipei要請你做出一個漂亮的彩帶，每一段你可以選擇三種顏色，分別是紅，橘，藍三種。至於何為漂亮呢？漂亮的彩帶有以下的限制：
    1. 不能有連續的紅色。
    2. 橘色後面一定要接藍色。
    • 你可以告訴我們如果彩帶的長度為n (n介於1到50到之間的整數)，
      有幾種可能的漂亮的彩帶呢？ (Hint：參數不只一個n。)
  • 如果題目輸入的n為2，答案會是6種。

15 mins

227 - 彩帶問題 - 引導

Exercise II - 彩帶問題 - 1

  • 我們試著以這樣的思維想想看：
    • 在所有長度為n的漂亮彩帶的可能中，可以分成以下3個case。
      • 最後一段為紅色的漂亮彩帶。
      • 最後一段為橘色的漂亮彩帶。
      • 最後一段的藍色的漂亮彩帶。
    • 那麼在這3個case，分別會有幾種可能呢？
      • 我們以最後一段為紅色做舉例
        • 數量會等於長度為n-1，最後一段為藍色的漂亮彩帶的可能數。

15 mins

?

?

?

...

n-1

?

?

?

...

n-1

?

?

?

...

227 - 彩帶問題 - 引導

Exercise II - 彩帶問題 - 2

  • 如果我們將長度為n，顏色為color定義成 rec(n, color)。
    • rec(n, RED) = rec(n-1, BLUE)。
    • rec(n, ORANGE) 和 rec(n, BLUE) 呢？
    • rec(n, ORANGE) = rec(n-1, RED) + rec(n-1, BLUE)。
    • rec(n, BLUE) = rec(n-1, RED) + rec(n-1, BLUE) + rec(n-1, ORANGE)。
  • ​終止條件呢？
    • ​rec(1, 不管甚麼顏色) = 1

15 mins

?

?

?

...

n-1

?

?

?

...

?

?

?

...

?

?

?

...

n-1

?

?

?

...

?

?

?

...

227 - 彩帶問題 - 解答

Exercise II - 彩帶問題 - 3

// RED = 0, ORANGE = 1, BLUE = 2
long long rec(int n, int type) {
  if (n == 1)
    return 1;
  else if (type == RED)
    return rec(n-1, BLUE);
  else if (type == BLUE)
    return rec(n-1, ORANGE) + rec(n-1, BLUE) + rec(n-1, RED);
  else if (type == ORANGE)
    return rec(n-1, BLUE) + rec(n-1, RED);
  else // Should not reach here.
    return 0;
}
  • rec(n, RED) = rec(n-1, BLUE)。
  • rec(n, ORANGE) = rec(n-1, RED), rec(n-1, BLUE)。
  • rec(n, BLUE) = rec(n-1, RED) + rec(n-1, BLUE) + rec(n-1, ORANGE)。
  • ​​​​終止條件：rec(1, 不管甚麼顏色) = 1。

227 - 彩帶問題 - 解答嗎(?)

Exercise II - 彩帶問題 - 4

// RED = 0, ORANGE = 1, BLUE = 2
long long rec(int n, int type) {
  if (n == 1)
    return 1;
  else if (type == RED)
    return rec(n-1, BLUE);
  else if (type == BLUE)
    return rec(n-1, ORANGE) + rec(n-1, BLUE) + rec(n-1, RED);
  else if (type == ORANGE)
    return rec(n-1, BLUE) + rec(n-1, RED);
  else // Should not reach here.
    return 0;
}
  • rec(n, RED) = rec(n-1, BLUE)。
  • rec(n, ORANGE) = rec(n-1, RED), rec(n-1, BLUE)。
  • rec(n, BLUE) = rec(n-1, RED) + rec(n-1, BLUE) + rec(n-1, ORANGE)。
  • ​​​​終止條件：rec(1, 不管甚麼顏色) = 1。

怎麼會吃TLE呢??

Memoization

記憶化

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遞迴怎麼可以這麼慢啊...

Memoization 記憶化 - 0

  • 讓我們想想之前的遞迴樹。
C(4, 2)= \begin{cases} C(3, 1) = \begin{cases} C(2, 0) = 1 \\ + \\ C(2, 1) = \begin{cases} C(1, 0) = 1\\ + \\ C(1, 1) = 1 \end{cases} \end{cases} \\ + \\ C(3, 2) = \begin{cases} C(2, 1) = \begin{cases} C(1, 0) = 1\\ + \\ C(1, 1) = 1\\ \end{cases} \\ + \\ C(2, 2) = 1 \end{cases} \end{cases}
  • 所以答案為6。
  • 你會發現一件事情，在分析的時候，有些遞迴會重複，這個時候用之前算過的值就好了。
  • 例如C(2, 1)有算過兩次，第二次直接看第一次算的值(=2)就好了。
  • 沒道理我們可以省略，
    程式省略不了啊？

什麼是記憶化？

Memoization 記憶化 - 1

  • 就是把以前算過的答案，丟在陣列記起來。
    如果下次用到的時候直接給答案，不要再重算了！
  • 記在哪裡？全域變數就可以啦！
  • 舉個例子，記憶化的斐波那契數列會長的像右下角這樣：
    • 用visit陣列來表示有沒有算過。
    • 用DP陣列紀錄答案。
  • ​所以，實作的時候，如果遞迴時發現...
    • 曾經算過(visit = true)：
      • 直接回傳紀錄的答案。
    • 沒算過(visit = false)：
      1. 遞迴算答案，紀錄起來，並標示算過。

Memorization

bool visit[MAXN];
int DP[MAXN];
int f(int n){
  if(n == 1 || n == 2)
    return 1;
  else if (visit[n])
    return DP[n];
  else {
    visit[n] = true;
    DP[n] = f(n-1) + f(n-2);
    return DP[n];
  }
}
  • MAXN表示最大的N，是個常數。

更複雜一點記憶化 - C(n, m)

Memorzation 記憶化 - 2

  • 在有兩個參數的遞迴中，記憶化也是可以使用的！
  • 舉例來說，C(n, m)的記憶化會長的像下面這樣：
  • 有沒有覺得記憶化的招數都一樣啊？ 還真的都一樣。

Memoization

bool visit[MAXN][MAXM];
int DP[MAXN][MAXM];
int C(int n, int m){
  if(n == 0 || n == m)
    return 1;
  else if (visit[n][m])
    return DP[n][m];
  else { // visit[n][m] == false
    visit[n][m] = true;
    DP[n][m] = C(n-1, m-1) + C(n-1, m);
    return DP[n][m];
  }
}
  • MAXN，MAXM表示
    最大的N和最大的M，
    是個常數。

自己實作記憶化！ - 彩帶問題

Memoization 記憶化 - 3

  • 那麼，你會把彩帶問題的遞迴記憶化嗎？

Memoization

// RED = 0, ORANGE = 1, BLUE = 2
long long rec(int n, int type) {
  if (n == 1)
    return 1;
  else if (type == RED)
    return rec(n-1, BLUE);
  else if (type == BLUE)
    return rec(n-1, ORANGE) + rec(n-1, BLUE) + rec(n-1, RED);
  else if (type == ORANGE)
    return rec(n-1, BLUE) + rec(n-1, RED);
  else // Should not reach here.
    return 0;
}

5 mins

自己實作記憶化！ - 彩帶問題

Memoization 記憶化 - 4

  • 那麼，你會把彩帶問題的遞迴記憶化嗎？

Memoization

// RED = 0, ORANGE = 1, BLUE = 2
bool visit[MAXN][MAXTYPE];
long long DP[MAXN][MAXTYPE];
long long rec(int n, int type) {
  if (n == 1)
    return 1;
  else if (visit[n][type])
    return DP[n][type];
  else if (type == RED)
    DP[n][type] = rec(n-1, BLUE);
  else if (type == BLUE)
    DP[n][type] = rec(n-1, ORANGE) + rec(n-1, BLUE) + rec(n-1, RED);
  else if (type == ORANGE)
    DP[n][type] = rec(n-1, BLUE) + rec(n-1, RED);
  else // Should not reach here.
    return 0;
  visit[n][type] = true;
  return DP[n][type];
}

5 mins

Euclidean Algorithm

輾轉相除法

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我們先來想想看...

Euclidean Algorithm 輾轉相除法 - 0

  • 怎麼算出GCD(5, 12)呢?

最大公因數

5 = 5 \, \, \, \, \, \, \, \, \,\ \, \, \, \, \, \\ 12 = 2^2 \times 3
  • 因式分解後找相同，但有沒有更快的方法呢?
  • 兩個數字一直互減，就會減到剩下最大公因數。
    (另一個就會變成是0)

輾轉相除法的基本算法 & 小小驗證

Euclidean Algorithm

  • 兩個數字一直互減，就會減到剩下最大公因數。
    (另一個就會變成是0)
GCD(a, b) = GCD(a, b-a)
  • 如果          ，那麼下面這個式子成立
b \ge a
  • 如果    是       的公因數，令                           。
a = a'd, b = b'd
d
a, b
d
  • 你會發現   也同時會是           和     的公因數。

Euclidean Algorithm 輾轉相除法 - 1

b-a
a

輾轉相除法的基本算法 & 小小驗證

Euclidean Algorithm

GCD(a, b) = GCD(a, b-a)
  • 如果          ，那麼下面這個式子成立。
b \ge a
GCD(a, b) = GCD(a, b\%a)
  • 那麼下面也會成立。(因為%就是減到不能再減。)
  • 如果說已經減到其中一個為0呢?
GCD(a, b) = a+b
GCD(a, b) = GCD(a\%b, b)
  • 同理，          ，那麼下面式子也會成立。
b \le a
  • 到這裡，你會寫輾轉相除法了嗎?

Euclidean Algorithm 輾轉相除法 - 2

輾轉相除法的程式實作

Euclidean Algorithm

GCD(a, b) = GCD(a, b\%a)
  • 如果          ，那麼下面這個式子成立。
b \ge a
GCD(a, b) = a+b
GCD(a, b) = GCD(a\%b, b)
  • 同理，          ，那麼下面式子也會成立。
b \le a
int GCD(int a, int b){
  if(a == 0 || b == 0)
    return a + b;
  if (b >= a)
    return GCD(a, b % a);
  else
    return GCD(a % b, b);
}

GCD的小小程式

Euclidean Algorithm 輾轉相除法 - 3

  • 如果說已經減到其中一個為0呢?

輾轉相除法的更簡單程式實作

Euclidean Algorithm

  • 其實GCD可以寫成右上角的小小小小程式。
    • 為什麼？我們來想想看：
      • 如果a比b大，GCD(a, b)=GCD(b, a%b)
      • 如果b比a大，GCD(a, b)=GCD(b, a%b)=GCD(b, a)
    • ​你發現了嗎? 不管a,b大小怎麼樣，下一次遞迴呼叫後，比較大的數字都會在前面。​
      • 如果a比b大， b > a%b。
      • 如果b比a大，b > a。
    • 所以，只要移動一下下一次遞迴的參數位置，就可以確保比較大的都在前面。
int GCD(int a, int b){
  if(a == 0 || b == 0)
    return a + b;
  if (b >= a)
    return GCD(a, b % a);
  else
    return GCD(a % b, b);
}

GCD的小小程式

int GCD(int a, int b){
  if(a * b == 0)
    return a + b;
  return GCD(b, a % b);
}

GCD的小小小小程式

Euclidean Algorithm 輾轉相除法 - 4

Exercise III

Rhythm Doctor - 最大公因數的應用問題

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Exercise III

程式練習題

接下來有一題請你用程式實做遞迴的應用題。

  • 我會花1分鐘讀題。
  • 總共計時10分鐘。
  • 計時之前，好好複習一下GCD的程式。

229 - Rhythm Doctor - 工商

Exercise III - Rhythm Doctor - 0

  • 分享一個 Rhythm Doctor 我最喜歡的一首。

10 mins

229 - Rhythm Doctor - 題目

  • 題目：每個人的生命中都有各自的拍數。假設大家的拍子都從第1秒開始，
    請問下一次大家剛好在同個時間打拍子是什麼時候？
    (保證答案在long long範圍內。)

  • 舉例來說，如果有兩個人AB，A和B的拍數分別為3和4，
    那麼下次同時打拍子會在第12秒。

10 mins

Exercise III - Rhythm Doctor - 1

A

B

3s

3s

3s

3s

4s

4s

4s

229 - Rhythm Doctor - 解析

  • 題目：每個人的生命中都有各自的拍數。假設大家的拍子都從第1秒開始，
    請問下一次大家剛好在同個時間打拍子是什麼時候？
    (保證答案在long long範圍內。)
     
  • ㄚ就是多個數字的LCM(最小公倍數) 啊？ 
    • 記得要把code改成long long。

10 mins

Exercise III - Rhythm Doctor - 2

long long GCD(long a, long b){
  if(a * b == 0)
    return a + b;
  return GCD(b, a % b);
}
long long LCM(long long a, long long b){
  return a / GCD(a, b) * b;
}

229 - Rhythm Doctor - 解析

  • 題目：每個人的生命中都有各自的拍數。假設大家的拍子都從第1秒開始，
    請問下一次大家剛好在同個時間打拍子是什麼時候？
    (保證答案在long long範圍內。)
     
  • ㄚ就是多個數字的LCM(最小公倍數) 啊？
    • 就一直拿數字做LCM就好了。

10 mins

Exercise III - Rhythm Doctor - 3

int main() {
  long long n, ans = 1, x;
  cin >> n;
  for (int i=0; i<n; i++) {
    cin >> x;
    ans = LCM(ans, x);
  }
  cout << ans << endl;
}

Exercise IV

零和問題 - 暴力搜尋所有可能

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Exercise IV

程式練習題

接下來有一題請你用程式實做遞迴的應用題。

  • 我會花1分鐘讀題。
  • 總共計時10分鐘。
  • 這題很不簡單，不寫出來沒關係，但先想想看你要怎麼寫以及遞迴的過程。

228 - 零和問題 - 題目

Exercise IV - Subset Sum Problem 零和問題 - 0

> 20 mins

  • 題目：現在有n個正整數，請問你可不可以從中間選幾個數字使其加總為k？
    如果可以輸出"YES"，否則輸出"NO"。(如果數字選過了就不能再選了。)
  • 舉例來說，如果有五個數字[3, 7, 11, 9, 4]，請問可不可以湊到數字16呢？
    • 輸出YES，因為 7 + 9 = 16。
    • 好像很難也？Hint: 我們來畫畫看這題的遞迴樹。

228 - 零和問題 - 提示

> 20 mins

  • 題目：現在有n個正整數，請問你可不可以從中間選幾個數字使其加總為k？
    如果可以輸出"YES"，否則輸出"NO"。(如果數字選過了就不能再選了。)

(0, 0)

(1, 3)

(1, 0)

(2, 10)

(2, 7)

(2, 3)

(2, 0)

(3, 21)

(3, 14)

(3, 10)

(3, 3)

(4, 30)

(4, 19)

(4, 21)

(4, 10)

(5, 34)

(5, 25)

(5, 30)

(5, 21)

前
四
種
可
能

(看第幾個數字，
現在加到哪裡)

選

不選

+3

+7

+7

+11

+11

+9

+9

+4

+4

  • 舉例來說，如果有五個數字[3, 7, 11, 9, 4]，請問可不可以湊到數字16呢？

Exercise IV - Subset Sum Problem 零和問題 - 1

228 - 零和問題 - 引導

> 20 mins

  • 題目：現在有n個正整數，請問你可不可以從中間選幾個數字使其加總為k？
    如果可以輸出"YES"，否則輸出"NO"。(如果數字選過了就不能再選了。)
  • 根據我們所寫的遞迴樹，我們會知道怎麼暴力搜尋。
    • 一開始看第0個，接下來我們分成兩個case來看：
      • 選第0個數字 (3)，接下來看第1個數字，分成兩個case來看：
        • 選第1個數字 (10)，接下來看第2個數字，分成兩個case來看...
        • 不選第1個數字 (3)，接下來看第2個數字，分成兩個case來看...
      • ​不選第0個數字 (0)，接下來看第1個數字，分成兩個case來看：
        • ​選第1個數字 (7)，接下來看第2個數字，分成兩個case來看...
        • ....
  • 舉例來說，如果有五個數字[3, 7, 11, 9, 4]，請問可不可以湊到數字16呢？

Exercise IV - Subset Sum Problem 零和問題 - 2

228 - 零和問題 - 引導

> 20 mins

  • 題目：現在有n個正整數，請問你可不可以從中間選幾個數字使其加總為k？
    如果可以輸出"YES"，否則輸出"NO"。(如果數字選過了就不能再選了。)
  • 遞迴參數：現在看到第幾個數字 i，以及現在總和 S。
    • 要暴搜rec(i, S)的所有可能，可以分成兩個case暴搜：
      • 選第i個數字：rec(i+1, S+A[i])
      • 不選第i個數字：rec(i+1, S)
    • 終止條件？
      • 所有數字都看完了。
        • i = n。

Exercise IV - Subset Sum Problem 零和問題 - 3

228 - 零和問題 - 解答

> 20 mins

  • 題目：現在有n個正整數，請問你可不可以從中間選幾個數字使其加總為k？
    如果可以輸出"YES"，否則輸出"NO"。(如果數字選過了就不能再選了。)
bool rec (int i, int S) {
  if (i == n)
    return S == k;
  else
    return rec(i+1, S+A[i]) || rec(i+1, S);
}
  • 遞迴參數：現在看到第幾個數字 i，以及現在總和 S。
    • 要暴搜rec(i, S)的所有可能，可以分成兩個case暴搜：
      • 選第i個數字：rec(i+1, S+A[i]) / 不選第i個數字：rec(i+1, S)
    • 終止條件？所有數字都看完了，也就是i = n。

Exercise IV - Subset Sum Problem 零和問題 - 4

228 - 零和問題 - 比較詳細的解答

> 20 mins

#include <iostream>
#define MAXN 30
using namespace std;
int k, A[MAXN], n;
bool rec (int i, int S) {
  if (i == n)
    return S == k;
  else
    return rec(i+1, S+A[i]) || rec(i+1, S);
}
int main () {
  cin >> n >> k;
  for (int i=0; i<n; i++)
    cin >> A[i];
  cout << (rec(0, 0) ? "YES" : "NO") << endl;
}
  • 題目：現在有n個正整數，請問你可不可以從中間選幾個數字使其加總為k？
    如果可以輸出"YES"，否則輸出"NO"。(如果數字選過了就不能再選了。)

Exercise IV - Subset Sum Problem 零和問題 - 5

Pruning

剪枝

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什麼是剪枝？

Pruning 剪枝 - 1

  • 就是不要讓遞迴跑的太多次！
    • 簡單來說，如果接下來一定不會找到答案，我們就別再找下去了，
      直接停掉避免浪費時間。
    • 在遞迴樹上砍掉一些點 → 所以這個技巧被稱作剪枝(Pruning)。

Pruning

在零和問題剪枝？

  • 來看看剛剛遞迴樹怎麼剪枝吧!

Pruning

Pruning 剪枝 - 2

  • 舉例來說，如果有五個數字[3, 7, 11, 9, 4]，請問可不可以湊到數字16呢？
  • 把不可能的遞迴跳掉！

(0, 0)

(1, 3)

(1, 0)

(2, 10)

(2, 7)

(2, 3)

(2, 0)

(3, 21)

(3, 14)

(3, 10)

(3, 3)

(4, 19)

(4, 10)

(5, 25)

(5, 10)

(看第幾個數字，
現在加到哪裡)

選

不選

+3

+7

+7

+11

+11

+9

+4

(4, 23)

(4, 14)

+9

(5, 19)

(5, 14)

+4

在零和問題剪枝？

  • 把不可能的遞迴跳掉！
    • 還可以減掉更多枝嗎？
    • 如果題目數字有可能是負數，還可以這樣做嗎？

Pruning

Pruning 剪枝 - 2

bool rec (int i, int S) {
  if (S > k)
    return false;
  if (i == n)
    return S == k;
  else
    return rec(i+1, S+A[i]) || rec(i+1, S);
}

Talks

關於遞迴的小小雜談

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題目表 - 遞迴

題目表 - 0

題號 名稱 註記
226 警報器 上課習題
227 彩帶問題 上課習題
228 零和問題 上課習題
229 Rhythm Doctor 上課習題
230 貝爾三角形
231 填積木問題 經典DP題目
232 邪惡水族箱 APCS 考古題

Top-down & Bottom-up

Talks - 1

  • 其實你隱約知道了，有些遞迴是可以用for迴圈寫的。
    • 我們來複習用for迴圈實作斐波那契數列？



 

  • 你會發現，用for迴圈通常都是慢慢堆答案上去的，
    • 這類的方法稱作Bottom-up，也就是堆上去的方法。
    • 那麼遞迴呢？通常遞迴都是從大問題去呼叫小問題的，
      這類的方法稱作為Top-down。
  • 「遞迴只應天上有，凡人應當用迴圈」
int fib[100] = {0, 1, 1};
for (int i=3; i<=n; i++) {
  fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
}

Talks - 2

  • 想要知道Top-down & Bottom-up的後續嗎？
    • 去看看算法班的動態規劃 DP (Dynamic Programming)吧！ (蛋餅的投影片)
  • 但並不是所有題目都適合用Bottom-up，所以還是要會遞迴喔~

Top-down & Bottom-up

更多的遞迴...

Talks - 3

  • 其實最後一個問題 - 零和問題對初心者來說很難啦，
    所以可以回去在複習一次OuO。
  • 雖然零和問題很難，但是這才是遞迴的剛開始而已！
  • 如果你對遞迴很有興趣，歡迎參考我在資訊之芽的遞迴講義，
    • 這個講義有四分之一我們剛剛講過了，
      但後半段比我們這堂課還要難很多喔！ 例如我們有提及...
      • 河內塔
      • 字串枚舉
      • 數獨
      • 搶數字問題
         
  • 這是我們最後一堂課了QQ，祝你們明天模擬考順利！

End

Q&A?

其實...

Talks - 0

  • 在APCS實作題裡面，其實幾乎沒有裸遞迴題。
    • 但是遞迴非常的重要！
    • 在算法班的課程裡，除了資料結構 / 貪心以外，一定會用到遞迴
      (其他不是用不到，也可能會用到遞迴)
    • 遞迴的概念對新手來說很不好理解，要慢慢適應遞迴的思考方法。

APCS camp - Recursion

By Arvin Liu

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APCS camp - Recursion

APCS Camp Recursion

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