第六章 万有引力定律
第一节 行星的运动：1课时
第二节 万有引力定律：1课时
第三节 万有引力定律的应用：4课时
开普勒三定律：特别是开普勒第三定律是难点
1、牛顿的思考
2、公式的理解
3、引力恒量的测定
4、例题：星球表面重力加速度
1、思路一：万有引力即为重力：（1）称量地球质量；（2）星球上空重力加速度？
2、思路二：万有引力作为向心力：（1）环绕线速度；（发射速度？）；（2）周期、角速度；（3）称量天体质量；（4）涉及密度；（5）变轨问题？
黄金代换：\(GM = g{R^2}\)
第一节
行星的运动
第一节
行星的运动
托勒密
公元2世纪
地心说：地球静止不动，是宇宙的中心；太阳、月亮和行星等所有天体都绕地球运动
地心说的理论与实际的观测资料并不完全一致，也不能准确解释某些天文现象。
一、人类早期对天体运动的认识
第一节
行星的运动
哥白尼
公元16世纪
日心说：太阳是宇宙的中心，地球和其他行星围绕太阳运动。
伽利略
17世纪初，伽利略用自己发明的望远镜观察天空，发现了围绕木星运动的“月球”，从而证明地球并非所有天体的中心。
一、人类早期对天体运动的认识
第一节
行星的运动
开普勒第一定律（轨道定律）：各行星都在椭圆轨道上绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上
开普勒
第谷
行星的椭圆轨道都接近于圆，在中学阶段的研究中我们一般可近似地按圆轨道处理
二、行星运动的规律
第一节
行星的运动
开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
可以解释行星在近日点运动快、在远日点运动慢
在中学阶段的研究中，我们一般可近似地按匀速圆周运动处理
二、行星运动的规律
第一节
行星的运动
开普勒第三定律（周期定律）：行星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴 \(a\) 的三次方与周期 \(T\) 的二次方之比是一个常量
\frac{a^3}{T^2}= k
\(k\) 是一个与行星无关的常量
| 行星 | 绕日公转周期 T / 年 | |
|---|---|---|
| 水星 | 57.9 | 0.24 |
| 金星 | 108 | 0.615 |
| 地球 | 150 | 1.00 |
| 火星 | 228 | 1.88 |
| 木星 | 778 | 11.9 |
| 土星 | 1 430 | 29.5 |
| 天王星 | 2 870 | 84.0 |
| 海王星 | 4 500 | 165 |
轨道平均半径 \(R\)/\(\times 10^6 \rm{km}\)
\frac{r^3}{T^2}= k
二、行星运动的规律
第一节
行星的运动
开普勒第三定律（周期定律）：行星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴 \(a\) 的三次方与周期 \(T\) 的二次方之比是一个常量
开普勒
开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
开普勒第一定律（轨道定律）：各行星都在椭圆轨道上绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上
二、行星运动的规律
第一节
行星的运动
2．17 世纪，天文学家哈雷观察到一颗彗星，这颗彗星绕太阳运行的轨道示意图如图所示。彗星最近飞临地球的时间是在 1986 年。在如图位置飞临地球阶段，彗星运动速度的大小如何变化？简述理由。
第一节
行星的运动
4．天文学家发现一颗小行星沿近似圆形轨道绕太阳运行，测得该轨道的平均半径约为地球公转轨道半径的 3 倍。这颗小行星绕太阳运行的周期大约是多少年？
第一节
行星的运动
一、人类早期对天体运动的认识
二、行星运动的规律
开普勒第三定律（周期定律）：行星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴 \(a\) 的三次方与周期 \(T\) 的二次方之比是一个常量，即 \(\frac{r^3}{T^2}= k\)
开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
开普勒第一定律（轨道定律）：各行星都在椭圆轨道上绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上
地心说：托勒密
日心说：哥白尼
第二节
万有引力定律
第二节
万有引力定律
一、万有引力定律
思想实验——牛顿大炮
-
水平抛出一个苹果，它将沿曲线落回地面；苹果抛出得越快，它就会落得越远。
-
如果把苹果抛出得足够快，它就可以绕过地球表面的大部分圆周，甚至能永远不会落回地面而变成绕地球运行
第二节
万有引力定律
一、万有引力定律
第二节
万有引力定律
一、万有引力定律
思想实验——牛顿大炮
-
地球对苹果的引力。地球对月亮的引力、太阳对行星的引力，任何两个物体之间的引力本质上都完全相同。
-
水平抛出一个苹果，它将沿曲线落回地面；苹果抛出得越快，它就会落得越远。
-
如果把苹果抛出得足够快，它就可以绕过地球表面的大部分圆周，甚至能永远不会落回地面而变成绕地球运行
第二节
万有引力定律
一、万有引力定律
所有物体之间都存在的相互吸引力叫做万有引力
万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，相互间引力的大小与物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比。
F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}
\(G\) 是比例系数，叫做引力常量，是一个既有数值又有单位的常量
\(G = 6.67 \times {10^{ - 11}}{\rm{N}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{/k}}{{\rm{g}}^{\rm{2}}}\)
\(r\) 是指可以看成质点的两物体间的距离，若是质量均匀分布的球体则是两个球心间的距离。
第二节
万有引力定律
一、万有引力定律
对于万有引力定律的表达式 \(F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\) ，下列说法正确的是（ ）
A．表达式中的 \(G\) 为引力常量，其数值是人为规定的
B．当 \(r\) 趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C．此表达式仅适用于计算质点间万有引力的大小
D．\(m_1\) 与 \(m_2\) 之间的引力总是大小相等，与 \(m_1\)、\(m_2\) 是否相等无关
P57 例1
第二节
万有引力定律
一、万有引力定律
两艘质量各为 \(1 \times 10^7 \rm{kg}\) 的轮船相距 \(100 \rm{m}\) 时，它们之间的万有引力大小相当于（ ）
A．一个人的重量 B．一个鸡蛋的重量
C．一个西瓜的重量 D．一头牛的重量
P58 /6
第二节
万有引力定律
二、引力常量的测定
可得
G = \frac{{F{r^2}}}{{{m_1}{m_2}}}
F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}
由
卡文迪什扭秤实验
m_1
m_2
微小量放大法
第二节
万有引力定律
二、引力常量的测定
卡文迪什扭秤实验
第二节
万有引力定律
第三章 相互作用与力的平衡 第一节 生活中常见的力
二、弹力
把一支激光笔A固定在支架上，激光束分别经过平面镜B和C的反射后射到天花板，形成一个光斑。现在桌面上放一重物M，观察光斑D位置的变化。
观察微小形变
第二节
万有引力定律
二、引力常量的测定
（1）在___________发现万有引力定律 100 多年以后，英国物理学家__________利用如图实验装置测出了引力常量，图中 A 是_____________，M 是___________，该实验运用____________方法，将一般物体间几乎可以忽略的引力显现出来并定量测量。
（2）（多选）为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取的主要措施是（ ）
A．减小石英丝的直径 B．增大T形架横梁的长度
C．利用平面镜对光线的反射 D．增大刻度尺与平面镜的距离
P60 /9
第二节
万有引力定律
课本例题
已知地球的质量 \( m_地 = 5.972 \times 10^{24} \rm{kg} \)，地球半径 \( r_地 = 6.371\times 10^6 \rm{m} \)。利用万有引力定律计算地球表面重力加速度 \(g\) 的大小。
计算星球表面的重力加速度
分析：地球表面的物体所受到的重力近似等于地球对物体的万有引力。由引力常量、地球质量和半径可以计算地球表面的重力加速度。
解：设地球上有一物体的质量为 \(m\)，物体所受重力为 \(mg\)，地球对物体的万有引力为 G\(\frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}\)，由 \(mg = G \frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}\) 可得
\[g = G\frac{{{m_地}}}{{r_地^2}} = 6.67 \times {10^{ - 11}} \times \frac{{5.972 \times {{10}^{24}}}}{{{{(6.371 \times {{10}^6})}^2}}}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2} \approx 9.81{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]
\(G \approx {F_万}\)
第二节
万有引力定律
已知火星质量是地球质量的 \(k\) 倍，半径是地球半径的 \(p\) 倍，地球表面的重力加速度为 \(g\)，忽略星球的自转，则火星表面的重力加速度为（ ）
A．\(kg\) B．\(pg\) C．\(\frac{k}{p} g\) D．\(\frac{k}{p_2} g\)
计算星球表面的重力加速度
P59 /4
第二节
万有引力定律
课本例题
已知地球的质量 \( m_地 = 5.972 \times 10^{24} \rm{kg} \)，地球半径 \( r_地 = 6.371\times 10^6 \rm{m} \)。利用万有引力定律计算地球表面重力加速度 \(g\) 的大小。
计算星球表面的重力加速度
分析：地球表面的物体所受到的重力近似等于地球对物体的万有引力。由引力常量、地球质量和半径可以计算地球表面的重力加速度。
解：设地球上有一物体的质量为 \(m\)，物体所受重力为 \(mg\)，地球对物体的万有引力为 G\(\frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}\)，由 mg = G\(\frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}\) 可得
\[g = G\frac{{{m_地}}}{{r_地^2}} = 6.67 \times {10^{ - 11}} \times \frac{{5.972 \times {{10}^{24}}}}{{{{(6.371 \times {{10}^6})}^2}}}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2} \approx 9.81{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]
第三节
万有引力定律的应用
第三节
万有引力定律的应用
计算地球表面的重力加速度
计算地球上空的重力加速度
思路 1：重力近似等于万有引力
mg= G\frac{m_地m}{r^2}
得：\(g = \frac{Gm_地}{r^2}\)
若 \(r\) 取星球半径 \(R_地\)，则可求地球表面重力加速度
\(g_0 = \frac{Gm_地}{R_地^2}\)
若 \(r\) 取 \(R_地 + h\)，则可求距地表上空 \(h\) 高度的重力加速度
\(g_h = \frac{Gm_地}{(R_地 + h)^2}\)
一、称量天体的质量——地球
第三节
万有引力定律的应用
思路 1：重力近似等于万有引力
mg= G\frac{m_地m}{r_地^2}
得：\(m_地 = \frac{gr_地^2}{G}\)
\({m_地} = \frac{{gr_地^2}}{G} = \frac{{9.8 \times {{(6.371 \times {{10}^6})}^2}}}{{6.67 \times {{10}^{ - 11}}}}{\rm{kg}} \approx 6 \times {10^{24}}{\rm{kg}}\)
卡文迪什把自己的实验说成是“称量地球质量的实验”
一、称量天体的质量——太阳
第三节
万有引力定律的应用
太阳 \(m_日\)
地球 \(m_地\)
\(F_万\)
思路 2：万有引力作为向心力
G\frac{{{m_日}{m_地}}}{{{r^2}}} = {m_地}{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r
得：\(m_日 = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}\)
天文观测表明，地球绕太阳公转的轨道半径 \(r = 1.49 \times {10^{11}}{\rm{m}}\)，周期为 1 年 = \(3.16 \times {10^7}{\rm{s}}\)
\[{m_日} = \frac{{4 \times {{3.14}^2} \times {{(1.49 \times {{10}^{11}})}^3}}}{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times {{(3.16 \times {{10}^7})}^2}}}{\rm{kg}} \approx 1.96 \times {10^{30}}{\rm{kg}}\]
如果已知卫星绕行星公转的周期以及卫星和行星之间的距离，利用同样的方法，我们也可以“称量”行星的质量。
一、称量天体的质量
第三节
万有引力定律的应用
已知引力常量为 \(G\)，地球半径为 \(R\)，月球和地球之间的距离为 \(r\)，月球绕地球的运转周期为 \(T_1\)，地球的自转周期为 \(T_2\)，地球表面的重力加速度为 \(g\)。请根据已知条件写出两种估算地球质量的方法并求得结果 。
P63/9
一、称量天体的质量
第三节
万有引力定律的应用
我国月球探测计划嫦娥工程已经启动，“嫦娥一号”探月卫星也已发射。设想“嫦娥一号”靠近月球表面做匀速圆周运动，测得飞行 \(n\) 圈所用的时间为 \(t\)，已知月球半径为 \(R\)，引力常量为 \(G\)，月球质量分布均匀。求 ：
（1）“嫦娥一号”绕月球飞行的周期；
（2）月球的质量；
（3）月球表面的重力加速度。
P65/10
一、称量天体的质量
第三节
万有引力定律的应用
某恒星的质量是地球质量的 \(p\) 倍，该恒星的半径是地球半径的 \(q\) 倍，则该恒星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度大小之比为________，恒星与地球的密度之比为 ___________。
P65/8
二、万有引力定律对天文学的其他贡献
第三节
万有引力定律的应用
哈雷彗星，周期 76 年
笔尖上发现的行星——海王星
本节课知识点总结
第三节
万有引力定律的应用
mg= G\frac{Mm}{r^2}
G\frac{{{M}{m}}}{{{r^2}}} = {m}{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r
思路 1：重力近似等于万有引力
\(g = \frac{GM}{r^2}\)
\(M = \frac{gr^2}{G}\)
思路 2：万有引力作为向心力
\(M = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}\)
……？
\(g_0 = \frac{GM}{R^2}\)
\(g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}\)
\(M\)
\(m\)
\(R\)
\(h\)
\(r\)
第三节
万有引力定律的应用
思路 2：万有引力作为向心力
G\frac{{Mm}}{{{r^2}}} = m{a_向} = m\frac{{{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r = m{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r
{a_向} = \frac{{GM}}{{{r^2}}}
v = \sqrt {\frac{{GM}}{r}}
\omega = \sqrt {\frac{{GM}}{{{r^3}}}}
T = 2\pi \sqrt {\frac{{{r^3}}}{{GM}}}
\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}} = \frac{{GM}}{{4{\pi ^2}}}
M = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}
三、行星、（人造）地球卫星的运动规律
\(M\)
\(m\)
\(r\)
第三节
万有引力定律的应用
三、行星、（人造）地球卫星的运动规律
2021年5月15日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功着陆火星。研究火星是人类探索向火星移民的一个重要步骤。假设火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道在地球轨道外侧，如图，与地球相比较，下列说法正确的是（ ）
A．火星运行周期较大 B．火星运行速度较大
C．火星运行角速度较大 D．火星运行的向心加速度较大
P62/例2
\(M\)
第三节
万有引力定律的应用
三、行星、（人造）地球卫星的运动规律
若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为 3∶2，则火星与地球绕太阳运动的（ ）
A．公转周期之比为 27∶8 B．线速度大小之比为 \(\sqrt{3}\) ∶\(\sqrt{2}\)
C．角速度之比为 \(2\sqrt{2}\) ∶\(3\sqrt{3}\) D．向心加速度大小之比为 9∶4
P63/5
三、行星、（人造）地球卫星的运动规律
第三节
万有引力定律的应用
v = \sqrt {\frac{{G{m_地}}}{r_地}} = \sqrt {\frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 5.97 \times {{10}^{24}}}}{{6.37 \times {{10}^6}}}} {\rm{m/s}}
当卫星贴着地表飞行时，地球半径 \(r_地\) 可代替卫星到地心的距离 \(r\)
\approx 7.9 \times {10^3}{\rm{m/s}} = 7.9{\rm{km/s}}
此速度又叫做第一宇宙速度，若以第一宇宙速度水平抛出苹果，苹果将不再落回地面，而成为地球的“人造卫星”
三、行星、（人造）地球卫星的运动规律
第三节
万有引力定律的应用
第一宇宙速度：7.9 km/s，在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度。
第二宇宙速度：11.2 km/s，摆脱地球引力的束缚，成为围绕太阳运行的“人造行星”。
第三宇宙速度：16.7 km/s，摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。
三、行星、（人造）地球卫星的运动规律
第三节
万有引力定律的应用
P69/10
已知某卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为 \(T\)，地球半径为 \(R\)，地球表面重力加速度为 \(g\)，引力常量为 \(G\)。求：
（1）地球的密度 \(ρ\)；
（2）该卫星距离地球表面的高度 \(h\)。
三、行星、（人造）地球卫星的运动规律
第三节
万有引力定律的应用
地球同步地球卫星
必在地球赤道平面
h = \sqrt[3]{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}} - R = 3.6 \times {10^6}{\rm{m}}
周期与地球自转周期相同，即 \(T\) = 24 h
离地球表面高度为一确定值：
第三节
万有引力定律的应用
思路 1：重力近似等于万有引力
mg= G\frac{Mm}{r^2}
\(g = \frac{GM}{r^2}\)
\(M = \frac{g_0R^2}{G}\)
\(g_0 = \frac{GM}{R^2}\)
\(g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}\)
思路 2：万有引力作为向心力
G\frac{{Mm}}{{{r^2}}} = m{a_向} = m\frac{{{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r = m{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r
{a_向} = \frac{{GM}}{{{r^2}}}
v = \sqrt {\frac{{GM}}{r}}
\omega = \sqrt {\frac{{GM}}{{{r^3}}}}
T = 2\pi \sqrt {\frac{{{r^3}}}{{GM}}}
\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}} = \frac{{GM}}{{4{\pi ^2}}}
M = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}
r = \sqrt[3]{{\frac{{GM{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}
黄金代换
开普勒第三定律
第三节
万有引力定律的应用
已知地球表面的自由落体加速度为 g，地球半径为 R，则地球的“第一宇宙速度”是 \(\sqrt{gR}\)。
v = \sqrt {\frac{{G{m_地}}}{r_地}} = \sqrt {\frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 5.97 \times {{10}^{24}}}}{{6.37 \times {{10}^6}}}} {\rm{m/s}}
\approx 7.9 \times {10^3}{\rm{m/s}} = 7.9{\rm{km/s}}
地球可以看作一个巨大的拱形桥
mg = m\frac{{{v^2}}}{r}
v =\sqrt{gR}
第三节
万有引力定律的应用
Text
第六章 万有引力定律
By fjphysics
