La loi binomiale

1. Répétition d’expériences identiques et indépendantes

1.1 Définition

Il y a répétition d’expériences identiques lorsque la même expérience aléatoire est répétée plusieurs fois, dans les mêmes conditions.
Des expériences aléatoires sont indépendantes si l’issue de l’une, quelconque, de ces expériences ne dépend pas de l’issue des autres expériences.

Exemple :

Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules noires. On tire successivement deux boules avec remise.

Il y a répétition de deux expériences identiques et indépendantes.

Remarque :

Si le tirage avait été sans remise, les expériences n’auraient été ni identiques (pas le même nombre de boules pour le deuxième tirage), ni indépendantes (la répartition des boules du deuxième tirage dépend de la couleur de la première boule tirée).

1.2 Modélisation d’une répétition

On utilise un arbre pondéré pour représenter cette répétition. Sur chaque branche, on indique la probabilité de l’issue correspondante.

def fonction(x,y):
    return x**2+y**2

Propriété :

La probabilité d’un événement sur l’arbre est obtenue en multipliant les probabilités portées sur ses branches.
La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins est obtenue en ajoutant les probabilités de chaque chemin.

Exemple : On reprend l’exemple précédent.

La probabilité de tirer une boule verte puis une boule rouge est :

p(V_1, R_2) = \frac{3}{9} \times\frac{4}{9} =\frac{1}{3} \times \frac{4}{9}= \frac{4}{27}

La probabilité de tirer deux boules de même couleur est :

p=p(R_1, R_2)+p(V_1, V_2)+p(N_1, N_2)

= \frac{4}{9} \times\frac{4}{9} +\frac{3}{9} \times \frac{3}{9}+\frac{2}{9} \times \frac{2}{9}= \frac{29}{81}

Activité : VERS LA LOI BINOMIALE (p 181 Nathan ES ed. 2010)

p(X=0) = \left( \dfrac{5}{6} \right)^3= \dfrac{125}{216}

p(X=1)=3 \times \dfrac{1}{6}\times\left( \dfrac{5}{6} \right)^2= \dfrac{75}{216}

Représente une épreuve de Bernouilli de paramètre p = 1/6.

Représente un schéma de Bernouilli de paramètres n = 2 et p = 1/2.

X\;suit\;B(2,\frac{1}{2})

2. Loi de Bernoulli

Définitions :

On appelle épreuve de Bernoulli toute épreuve à deux issues possibles : un succès (noté ) ou un échec (noté ).

La loi de Bernoulli est la loi de probabilité de la variable aléatoire (notée ici Y) prenant la valeur 1 si l’issue est un succès, et 0 si l’issue est un échec.

On note p, la probabilité d'un succès.

La variable aléatoire Y suit la loi de Bernoulli de paramètre p.

On note :

p = p (S) = p (Y = 1)

\bar{S}

Exemple :

On lance un dé équilibré à six faces, les faces étant numérotées de 1 à 6. On considère qu’il y a un succès lorsque le résultat du lancer est un 6, un échec sinon.

Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli de paramètre

\dfrac{1}{6}.

La variable aléatoire Y suit la loi de Bernoulli de paramètre

\dfrac{1}{6}.

Propriété :

Soit Y une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p.
E (Y) = p et V (Y) = p(1 − p)

Démonstration :

E(Y)=0\times( 1-p)+1\times p=p

V (Y) = (1 − p) × (0 − E (Y))² + p × (1 − E(Y))²
= (1 − p) × p² + p × (1 − p)²

= p(1 − p) [p + 1 − p]

= p (1 − p)

3. Schéma de Bernoulli – Loi binomiale

3.1 Un exemple pour comprendre

On considère l’expérience aléatoire consistant à lancer trois fois de suite un dé à 6 faces non truqué.
La variable aléatoire X représente le nombre de fois où le numéro 6 est sorti au cours de ces 3 lancers.

On peut modéliser cette expérience par une répétition indépendante de l’épreuve de Bernoulli de l’exemple du 2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

La variable aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3.

X = 0 correspond à l’événement

\{ \bar{S} \bar{S} \bar{S}\}

X = 1 correspond à l’événement

\{ S \bar{S} \bar{S};\bar{S} S \bar{S};\bar{S} \bar{S} S\}

p(X=0) = \dfrac{5}{6} \times\dfrac{5}{6} \times\dfrac{5}{6} =\left( \dfrac{5}{6} \right)^3= \dfrac{125}{216}

p(X=1) = \dfrac{1}{6} \times\dfrac{5}{6} \times\dfrac{5}{6} +\dfrac{5}{6} \times\dfrac{1}{6} \times\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{6} \times\dfrac{5}{6} \times\dfrac{1}{6}

=3 \times \dfrac{1}{6}\times\left( \dfrac{5}{6} \right)^2= \dfrac{75}{216}

X = 2 correspond à l’événement

\{ SS \bar{S};\bar{S} S S;S \bar{S} S\}

p(X=2) = \dfrac{1}{6} \times\dfrac{1}{6} \times\dfrac{5}{6} +\dfrac{5}{6} \times\dfrac{1}{6} \times\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \times\dfrac{5}{6} \times\dfrac{1}{6}

=3 \times\left( \dfrac{1}{6} \right)^2\times \dfrac{5}{6}= \dfrac{15}{216}

X = 3 correspond à l’événement

\{ SSS\}

p(X=3) = \dfrac{1}{6} \times\dfrac{1}{6} \times\dfrac{1}{6} =\left( \dfrac{1}{6} \right)^3= \dfrac{1}{216}

3.2 Schéma de Bernoulli – Loi binomiale

Définitions :

On appelle schéma de Bernoulli d’ordre n l’expérience consistant à répéter n fois de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli de paramètre p.

On dit aussi que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p.

La loi binomiale de paramètres n et p est la loi de probabilité de la variable aléatoire X prenant comme valeurs le nombre de succès (S) obtenus au cours des n épreuves du schéma de Bernoulli.

Remarque :

Dans l’exemple du 3.1, on a donc un schéma de Bernoulli d’ordre 3.

La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres 3 et

\frac{1}{6}.

Définition :

Le nombre de chemins de l’arbre pondéré associé à un schéma de Bernoulli d’ordre n conduisant à k succès pour n répétitions

est noté : (lire lit "k parmi n")

Les nombres entiers sont appelés coefficients binomiaux.

Remarque :

Grâce au 3.1, on a déjà trouvé que :

Propriété :

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p.

Les valeurs de X sont {0 ; 1 ; 2 ; . . . ; n}.
Pour tout k {0 ; 1 ; 2 ; . . . ; n} :

3.3 Espérance, variance, écart-type

Propriété : (admis)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p.
Son espérance est :

Sa variance est :

Son écart-type est :

E(X) = np

V(X) = np(1-p)

\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}

Loi binomiale & calculatrice.

Exemples d'utilisation de la calculatrice pour :

Afficher des coefficients binomiaux
Calculer des probabilités selon une loi binomiale

TP 23 page 334 (Transmath)

CASIO

TI

CASIO

TI

Le triangle de Pascal

Il permet de retrouver les premiers coefficients binomiaux :

1 2 1

}

Début du triangle

Ensuite on additionne selon cette règle :

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1...

1 1

3.4 Compléments sur les coefficients binomiaux

Le triangle de Pascal

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1...

1 1

0 1 2 3 4 5

"2 parmi 3 égal 3" : Il y a 3 chemins menant à 2 succès pour 3 répétitions.

Lecture des coefficients binomiaux :

(k succès)

(n répétitions)

1 5 10 10 5 1

0 1 2 3 4 5

Exemples :

Il n'existe qu'un chemin menant à 0 succès pour 5 répétitions
Il n'existe qu'un chemin menant à 5 succès pour 5 répétitions

n=5

1 5 10 10 5 1

0 1 2 3 4 5

Exemple :

Démonstration :

Comme n − k succès correspondent à k échecs, il y a autant de chemins menant à k succès qu’à n − k succès.

Pour n= 5 et k = 2 :

Démonstration :

Remarque :

C'est cette propriété qui permet de compléter le triangle de Pascal.

n + 1

k + 1

Démonstration :

S\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}...

\overline{S}S\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}...

\overline{S}\overline{S}S\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}...

\overline{S}\overline{S}\overline{S}S\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}\overline{S}...

Il y a n chemins menant à un succès parmi n répétitions.

Exercices sur la loi binomiale

Exercices sur les coefficients binomiaux

Act3 p 317 : Échantillonnage et prise de décision

Le médecin peut répondre par la négative. La fréquence observée laisse penser que la proportion d'habitants du Pays basque appartenant au groupe O- est plus importante que celle de la population globale française.

On\;peut\;calculer\;p(X=19) :

p(X=19)\approx 0,000005

La probabilité d'avoir 19 personnes O- dans l'échantillon est très faible. On peut penser que l'hypothèse p = 0,06 est fausse.

4. Intervalle de fluctuation et prise de décision

4.1 Quelques rappels de Seconde

Définitions :

On appelle échantillon de taille n la série statistique formée des résultats obtenus lorsqu’on répète n fois une expérience dans les mêmes conditions.
La distribution de fréquences associée à l’échantillon est le tableau des fréquences issues de cette échantillon.

Exemple : On lance dix fois de suite une pièce bien équilibrée.

On obtient P (Pile), F (Face), F, F, P, P, F, P,F, F.

Il s’agit d’un échantillon de taille 10 (on a répété l’expérience 10 fois).
La distribution des fréquences est :

Remarques :

Les distributions de fréquences varient d’un échantillon à l’autre pour la même expérience. C’est ce qu’on appelle la fluctuation d’échantillonnage.
Même pour des échantillon de même taille, la distribution de fréquences peut varier.
Lorsque la taille de l’échantillon augmente, les distributions de fréquences ont tendance à se stabiliser.

Plus précisément, on a la propriété suivante, vue en classe de Seconde :

Propriété : (admise)
Soit un caractère dont la proportion dans une population donnée est p.

alors 95 % des échantillons de taille n auront une distribution de fréquences dans laquelle la fréquence du caractère sera dans l’intervalle :

Cet intervalle est appelé intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.

Si \;0,2 \leq p \leq 0,8 \;et\; si \;n\geq25

\left [ p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}} \right ]

4.2 Intervalle de fluctuation à 95 % selon la loi binomiale

Définition :

Soit un caractère dont la proportion dans une population donnée est p.
L’intervalle de fluctuation à 95 % d’une fréquence, pour un échantillon de taille n, selon la loi binomiale de paramètres n et p est :

\left [ \dfrac{a}{n}; \dfrac{b}{n}\right ]

avec

n \geq 30,\;np\geq 5\; et\;\;n(1-p)\geq 5

Remarque :

On admettra que si , cet intervalle de fluctuation est sensiblement le même que celui étudié en seconde.

4.3 Prise de décision à partir d’un échantillon

Si\; f \in\left [ \dfrac{a}{n}; \dfrac{b}{n}\right ]

Si\;f \notin\left [ \dfrac{a}{n}; \dfrac{b}{n}\right ]

On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d’un caractère est p.
On observe la fréquence f de ce caractère dans un échantillon de taille n et on considère l’hypothèse « la proportion de ce caractère dans la population est p ».

On a alors la règle de décision suivante :

on considère que l’hypothèse n’est pas remise en question et on l'accepte au seuil de risque de 5 % ;

on rejette l’hypothèse au seuil de risque de 5 %.