Fonctions exponentielles de base \(a\) et fonction log
Act1 p 54 sur TABLEUR : Baisse exponentielle de prix !
Ouvrir LibreOffice Calc et reproduire la feuille ci-dessous.
- Sélectionner les données.
- Cliquer sur l’icône Diagramme.
Type de diagramme : XY (dispersion) Points seuls
Plage de données : Cocher comme ci-dessous.
Série de données : Ne rien modifier.
Éléments du graphique : Compléter comme ci-dessous.
Prendre un pas de 0,1 :
Procéder comme pour la suite \( (u_n) \) :
a)Prix au bout de 5 ans : en B7 on lit 0,4984 donc environ 498,4€
Prix au bout de 2 ans et demi : en D27 on lit 0,7059 donc environ 706€
Prix au bout de 4 ans et 3 mois : en D44, remplacer 4,2 par 4,25 (3 mois représentent 0,25 an) on lit 0,5532 donc environ 553€
b) Au bout de 5 ans environ.
9 p 61 : Résoudre une équation avec une fonction exponentielle
Résoudre l'équation : \(0,75^x=5,5\)
Numworks :
Valeur approchée de la solution de l'équation : \(x\approx -5,93\)
Casio : \(0,75^x=5,5\Leftrightarrow 0,75^x-5,5=0\)
SHIFT F3 : V-Window
F6 DRAW :
F1 : ROOT
SHIFT F5 : GSOLVE
TI : \(0,75^x=5,5\Leftrightarrow 0,75^x-5,5=0\)
f(x)
2nde trace : calculs
2 : racine
Borne droite : -5
Borne gauche : -7
Valeur initiale : Ignorer
entrer
On peut procéder comme dans l'exercice 9 p 61 ou utiliser le tableau de valeurs de la fonction \(x\mapsto 3,5^x\)
La valeur cherchée est comprise entre 5 et 6.
On règle l'intervalle :
La valeur cherchée est comprise entre 5,5 et 5,6.
On règle à nouveau l'intervalle :
La valeur cherchée est comprise entre 5,51 et 5,52.
On règle à nouveau l'intervalle :
Valeur de \(x\) à \(10^{-3}\) près : 5,514
\(f\) et \(g\) semblent être des fonctions exponentielles de base \(a>0\) .
Méthode : Retrouver la base d'une fonction exponentielle
f(x) = a^x
f(1) = a^1 = a\text{ et }f(-1) = a^{-1} = \frac{1}{a}
f(1)=0,8\text{ donc }a= 0,8\text{ d'où }f(x)= 0,8^x.
g(-1)=0,6\text{ donc }a^{-1}=0,6=\dfrac{3}{5}\text{. On en déduit que }a = \dfrac{5}{3}
\text{et }g(x) = \left(\dfrac{5}{3}\right)^x.
g(-3) = 0,216\neq 0,2\text{ donc A n’est pas un point de }C_g.
\text{On doit résoudre l'équation }0,8^x=3.
x\approx -4,92
On modélise l'évolution du compte de Mélissa avec la fonction :
f(x)=992\times 1,0075^x
On convertit deux ans, trois mois, quatre jours en années :
2+\dfrac{3\times31}{365}+\dfrac{4}{365}\approx 2,266
On convertit 10 ans, 3 mois, 20 jours en années :
10+\dfrac{3\times31}{365}+\dfrac{20}{365}\approx 10,310
f(2,266)\approx1008,94
\text { soit un solde d'environ 1008,94 €.}
On calcule l'image du nombre précédent par la fonction :
f(-10,31)\approx918,45
\text { soit un solde initial d'environ 918,45 €.}
Il faut attendre 93,84 ans soit environ 34 252 jours.
Rq : Inutile de dresser les tableaux de signes, les deux fonctions sont positives.
Pour f : a = 1,05 > 1 donc f est croissante.
Pour g : a =\( \dfrac{1}{1,05} < 1\) donc g est décroissante.
Le prix d’équilibre est solution de l’équation
f(x)=g(x)
1,05^x=7\times 1,05^{-x}
1,05^x=7\times \dfrac{1}{1,05^{x}}
\left(1,05^x\right)^2=7
\left(1,05^2\right)^x=7
1,1025^x=7
À l'aide de la calculatrice on obtient x = 19,94 euros
Log
b_n=22000\times 1,045^n
n\geqslant \dfrac{\log(2)}{\log(1,045)}
Fonctions exponentielles de base a
By Jean-Marc Kraëber
Fonctions exponentielles de base a
Lycée Saint-Exupéry
