Fonctions exponentielles de base \(a\) et fonction log

Act1 p 54 sur TABLEUR : Baisse exponentielle de prix !

Ouvrir LibreOffice Calc et reproduire la feuille ci-dessous.

  1. Sélectionner les données.
  2. Cliquer sur l’icône Diagramme.

Type de diagramme : XY (dispersion) Points seuls

Plage de données : Cocher comme ci-dessous.

Série de données : Ne rien modifier.

Éléments du graphique : Compléter comme ci-dessous.

Prendre un pas de 0,1 :

Procéder comme pour la suite \( (u_n) \) :

a)Prix au bout de 5 ans : en B7 on lit 0,4984 donc environ 498,4€

Prix au bout de 2 ans et demi : en D27 on lit 0,7059 donc environ 706€

Prix au bout de 4 ans et 3 mois : en D44, remplacer 4,2 par 4,25 (3 mois représentent 0,25 an) on lit 0,5532 donc environ 553€

b) Au bout de 5 ans environ.

9 p  61 : Résoudre une équation avec une fonction exponentielle

Résoudre l'équation : \(0,75^x=5,5\)

Numworks :

Valeur approchée de la solution de l'équation :  \(x\approx -5,93\)

Casio : \(0,75^x=5,5\Leftrightarrow 0,75^x-5,5=0\)

SHIFT F3 : V-Window 

F6 DRAW : 

F1 : ROOT  

SHIFT F5 : GSOLVE

TI : \(0,75^x=5,5\Leftrightarrow 0,75^x-5,5=0\)

f(x)

2nde trace : calculs

2 : racine

Borne droite  : -5

Borne gauche : -7

Valeur initiale : Ignorer

entrer

On peut procéder comme dans l'exercice 9 p 61 ou utiliser le tableau de valeurs de la fonction \(x\mapsto 3,5^x\)

La valeur cherchée est comprise entre 5 et 6.

On règle l'intervalle :

La valeur cherchée est comprise entre 5,5 et 5,6.

On règle à nouveau l'intervalle :

La valeur cherchée est comprise entre 5,51 et 5,52.

On règle à nouveau l'intervalle :

Valeur de \(x\) à \(10^{-3}\) près : 5,514

\(f\) et \(g\) semblent être des fonctions exponentielles de base \(a>0\) .

Méthode : Retrouver la base d'une fonction exponentielle

f(x) = a^x
f(1) = a^1 = a\text{ et }f(-1) = a^{-1} = \frac{1}{a}
f(1)=0,8\text{ donc }a= 0,8\text{ d'où }f(x)= 0,8^x.
g(-1)=0,6\text{ donc }a^{-1}=0,6=\dfrac{3}{5}\text{. On en déduit que }a = \dfrac{5}{3}
\text{et }g(x) = \left(\dfrac{5}{3}\right)^x.
g(-3) = 0,216\neq 0,2\text{ donc A n’est pas un point de }C_g.
\text{On doit résoudre l'équation }0,8^x=3.
x\approx -4,92

On modélise l'évolution du compte de Mélissa avec la fonction :

f(x)=992\times 1,0075^x

On convertit deux ans, trois mois, quatre jours en années :

2+\dfrac{3\times31}{365}+\dfrac{4}{365}\approx 2,266

On convertit 10 ans, 3 mois, 20 jours en années :

10+\dfrac{3\times31}{365}+\dfrac{20}{365}\approx 10,310
f(2,266)\approx1008,94 \text { soit un solde d'environ 1008,94 €.}

On calcule l'image du nombre précédent par la fonction :

f(-10,31)\approx918,45 \text { soit un solde initial d'environ 918,45 €.}

Il faut attendre 93,84 ans soit environ 34 252 jours.

Rq : Inutile de dresser les tableaux de signes, les deux fonctions sont positives. 

Pour f : a = 1,05 > 1 donc f est croissante.

Pour g : a =\( \dfrac{1}{1,05} < 1\) donc g est décroissante.

Le prix d’équilibre est solution de l’équation

f(x)=g(x)
1,05^x=7\times 1,05^{-x}
1,05^x=7\times \dfrac{1}{1,05^{x}}
\left(1,05^x\right)^2=7
\left(1,05^2\right)^x=7
1,1025^x=7

À l'aide de la calculatrice on  obtient x = 19,94 euros
 

Log

b_n=22000\times 1,045^n
n\geqslant \dfrac{\log(2)}{\log(1,045)}

Fonctions exponentielles de base a

By Jean-Marc Kraëber

Fonctions exponentielles de base a

Lycée Saint-Exupéry

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