Fonctions exponentielles de base \(a\) et fonction log
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Act1 p 54 sur TABLEUR : Baisse exponentielle de prix !
Ouvrir LibreOffice Calc et reproduire la feuille ci-dessous.



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- Sélectionner les données.
- Cliquer sur l’icône Diagramme.
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Type de diagramme : XY (dispersion) Points seuls

Plage de données : Cocher comme ci-dessous.

Série de données : Ne rien modifier.
Éléments du graphique : Compléter comme ci-dessous.


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Prendre un pas de 0,1 :

Procéder comme pour la suite \( (u_n) \) :

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
a)Prix au bout de 5 ans : en B7 on lit 0,4984 donc environ 498,4€
Prix au bout de 2 ans et demi : en D27 on lit 0,7059 donc environ 706€
Prix au bout de 4 ans et 3 mois : en D44, remplacer 4,2 par 4,25 (3 mois représentent 0,25 an) on lit 0,5532 donc environ 553€
b) Au bout de 5 ans environ.

Act1 p 54 sur Calculatrice : Baisse exponentielle de prix !
1. Soit \((u_n)\) une suite géométrique de raison 0,87 et de premier terme \(u_0=1\).
Utiliser la calculatrice pour afficher les 11 premiers termes.


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2. Représenter par un nuage de points les 11 premiers termes.
3. Dans le menu grapheur, saisir la fonction définie par
\(f(x)=0,87^x\) pour tout réel \(x\in [0~;~10]\).
Afficher son tableau de valeurs avec un pas de 0,1puis sa représentation graphique.
Réglage de la fenêtre : xmin = 0 et xmax = 10.



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Remarque : Les points du nuage appartiennent à la courbe.

4. Le prix d'un smartphone haut de gamme de 1000 € baisse régulièrement de 13% par an. En utilisant la suite \(u\) ou la fonction \(f\), répondre aux questions suivantes.
Prix au bout de 5 ans : avec la suite on lit \(u_5=0,4984\) donc environ 498,4€
Prix au bout de 2 ans et demi : avec la fonction on lit
\(f(2,5) = 0,7059\) donc environ 706€
Prix au bout de 4 ans et 3 mois : avec la fonction, (remplacer 4,2 par 4,25 car 3 mois représentent 0,25 an), on lit \(f(4,25) = 0,5532\) donc environ 553€
Au bout de 5 ans environ.

Au bout de 10 ans sa valeur est d'environ 1344 €.
On en déduit que \(u_n\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{3}{2}\).
\(u_0>0\) et \(q>1\) donc la suite \((u_n)\) est croissante.
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On en déduit que \(2^{0,5}=\sqrt{2}\) et plus généralement

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9 p 61 : Résoudre une équation avec une fonction exponentielle
Résoudre l'équation : \(0,75^x=5,5\)

Numworks :
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
Valeur approchée de la solution de l'équation : \(x\approx -5,93\)
Casio : \(0,75^x=5,5\Leftrightarrow 0,75^x-5,5=0\)



SHIFT F3 : V-Window
F6 DRAW :

F1 : ROOT
SHIFT F5 : GSOLVE


TI : \(0,75^x=5,5\Leftrightarrow 0,75^x-5,5=0\)
f(x)

2nde trace : calculs
2 : racine

Borne droite : -5
Borne gauche : -7


Valeur initiale : Ignorer

entrer

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

On peut procéder comme dans l'exercice 9 p 61 ou utiliser le tableau de valeurs de la fonction \(x\mapsto 3,5^x\)
(méthode par balayage).


La valeur cherchée est comprise entre 5 et 6.
On règle l'intervalle :
La valeur cherchée est comprise entre 5,5 et 5,6.


On règle à nouveau l'intervalle :
La valeur cherchée est comprise entre 5,51 et 5,52.


On règle à nouveau l'intervalle :
Valeur de \(x\) à \(10^{-3}\) près : 5,514


Il s'agit de montrer que l'équation \(f(x)=2\) n'a pas de solution.
Or \(a^x>0\) donc cette équation n'admet pas de solution.
On en déduit que 2 n'a pas d'antécédent par \(f\).


\(f\) et \(g\) semblent être des fonctions exponentielles de base \(a>0\) .


Méthode : Retrouver la base d'une fonction exponentielle






On modélise l'évolution du compte de Mélissa avec la fonction :
On convertit deux ans, trois mois, quatre jours en années :

On convertit 10 ans, 3 mois, 20 jours en années :
On calcule l'image du nombre précédent par la fonction :





Il faut attendre 93,84 ans soit environ 34 252 jours.
1. En un point.
Conclusion : Les deux courbes n'ont qu'un point d'intersection, le point d'abscisse 0.
\(\pi >1\) donc \(f\) est croissante.
\(\dfrac{7}{8}<1\) donc \(f\) est décroissante.
Bleue - Verte - Rose

Rq : Inutile de dresser les tableaux de signes, les deux fonctions sont positives.

Pour f : a = 1,05 > 1 donc f est croissante.

Pour g : a =\( \dfrac{1}{1,05} < 1\) donc g est décroissante.

Le prix d’équilibre est solution de l’équation

À l'aide de la calculatrice on obtient x = 19,94 euros


Log



2. Lire "le niveau sonore d'une moto en course est de 90 dB."
D'après la question 1. le niveau sonore des deux motos côte à côte est d'environ 93 dB."

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Par définition \(x = \log(50)\).
c. méthode 2 :
print ("le bénéfice dépassera 40 000 euros en ", A)
Fonctions exponentielles de base a
By Jean-Marc Kraëber
Fonctions exponentielles de base a
Lycée Saint-Exupéry
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