Suites arithmétiques et géométriques
Act2 p 14
15n=600−300
15 n = 600-300
15n=300
15 n = 300
n=15300
n =\dfrac{ 300}{15}
n=20
n =20
Au bout de 20 ans, Mathilde aura doublé son capital.
Avec une calculatrice Numworks
(choisir explicite)
Automatismes
217+x=15
\dfrac{17 + x}{2}=15
17+x=15×2
17 + x=15\times 2
17+x=30
17 + x=30
x=30−17
x=30-17
x=13
x=13
17 c'est 2 points au dessus de la moyenne.
La deuxième note se situe à 2 points sous la moyenne :
15−2=13
15-2=13
Cette évolution peut être modélisée par une suite arithmétique de premier terme u0=750 et de raison r=−40.
un=u0+n×r
u_n = u_0 +n\times r
un=3+n×5
u_n = 3 +n\times 5
un=3+5n
u_n = 3 +5n
un=u1+(n−1)×r
u_n = u_1 +(n-1)\times r
un=6+(n−1)×(−8)
u_n = 6 +(n-1)\times (-8)
un=6−8n+8
u_n = 6-8n+8
un=14−8n
u_n = 14-8n
On calcule le dernier terme de la somme :
u7=u0+7×r=4+7×2=18
u_7 = u_0 + 7\times r=4 + 7\times 2 = 18
S=28×(4+18)=88
S = \dfrac{8\times(4 + 18)}{2}=88
cette somme contient 8 termes :
Suites géométriques
Act 3 p 15 : Un roi qui "riz"
calcul : 60000000264−1
\text{calcul : }\dfrac{2^{64}-1}{60 000000}
Formule : u1+u2+⋯+un=u1×1−q1−qn
\text{Formule : }u_1+u_2+\dots+u_n = u_1\times \dfrac{1-q^{n}}{1-q}
4×16=64=8
\sqrt{4\times 16}=\sqrt{64} = 8
On a donc un+1=1,01×un
\text{On a donc }u_{n+1}=1,01\times u_n
Tant que U < 450
N N+1
U 1,054×U
A la calculatrice, on obtient n = 8 :
u8≈456,93
u_8\approx 456,93
Donc après l'exécutionde cet algorithme
N = 2017 + 8 = 2025 et U≈456,93.
Automatismes : Suites
7×2=14
7\times 2 = 14
14×2=28
14\times 2 = 28
Les trois nombres proposés sont les trois premiers termes d'une suite géométrique de raison 2.
20×(−0,5)=−10
20\times (-0,5) = -10
−10×(−0,5)=5
-10\times (-0,5) = 5
Les trois nombres proposés sont les trois premiers termes d'une suite géométrique de raison −0,5.
L'évolution proposée est modélisée par une suite géométrique de premier terme u0=450000 et de raison q=0,94.
1−0,06=0,94
1-0,06 = 0,94
L'évolution proposée est modélisée par une suite géométrique de premier terme u0=50000 et de raison q=1,15.
1+0,15=1,15
1+0,15 = 1,15
un=2×3n
u_n = 2\times 3^n
un=4×0,5n−1
u_n = 4\times 0,5^{n-1}
S=4×1−21−212=16380
S = 4\times \dfrac{1-2^{12}}{1-2}=16380
S=10×1−71−710=470792080
S = 10\times \dfrac{1-7^{10}}{1-7}=470792080
On a dn+1=1,06×dn
\text{On a }d_{n+1}=1,06\times d_n
57 p 26 - 27
S=21×1−31−37=22953
S=21\times \dfrac{1-3^7}{1-3}=22953
u9=20000×0,859≈4632
u_9=20000\times 0,85^9\approx 4632
Selon ce modèle 4632 mégots seront jetés en 2028.
En 10 ans, 107 083 mégots auront été ramassés.
107083
107\,083
vn=125×1,03n
v_n=125\times 1,03^n
A la calculatrice on obtient :
Corrigé des automatismes n°2
- 21
- 44
- 6
- 40
- un=2+5n
- u5=27
- un=8+3(n−1)=5+3n
- u7=26
- 8
- u7=3+4×7=31 et 2(3+31)×8=136
11) 10
12) u10=7+9×(−2)=−11
13) un=3×2n
14) u5=3×25=96
15) un=−2×3n−1
16) u3=−2×32=−18
17) 8
18) 1−21−28=255
19) 6
20) 4×1−(−2)1−(−2)6=−84
Suites arithmétiques et géométriques Act2 p 14
Suites arithmétiques et géométriques
By Jean-Marc Kraëber
Suites arithmétiques et géométriques
Lycée Saint-Exupéry
- 1,732
