Fonctions exponentielles

Act. 1 p 39 Hyperbole 2012 (Nathan)

Cours : Les fonctions \( x\rightarrow q^x \)

37, 38, 39, 40, 42, 45, 46, 44 p 48 - 47 p 49

Cours : La fonction \( x\rightarrow e^x \)

48 à 55 p 49

Étude de la fonction \( x\rightarrow xe^x \)

56 à 58 p 49 - 60 p 50

Cours : Fonctions \( x\rightarrow e^{u(x)} \)

63, 64, 65 p 50 - 68 p 51 - 61, 62 p 50 - 83 p 55

2 b)

Le taux d’augmentation pour un semestre est 10 %.

3 d)

4 c)

f(x) = 1,21^x

Fonctions exponentielles

1\;Fonctions \;x \rightarrow q^x,\;avec\;q>0

1.1 Fonction exponentielle de base q

Théorème - Définition : (admis)

Remarque : On utilise la calculatrice pour calculer des images par ces fonctions. Par exemple, l’image de 2,3 par la fonction exponentielle de base 1,21 est

1,21^{2,3}\approx1,55

Exemples :

1.2 Sens de variation

Propriété :

Conséquence : Si 𝑞 ≠ 1, alors pour tous nombres réels a et b :

(q^n)

Comme la fonction exponentielle de base q est un prolongement continu de la suite géométrique , son sens de variation est le même que celui de cette suite :

q^a=q^b \Leftrightarrow a=b

1.3 Conséquences de la relation fonctionnelle

Théorème : Pour tout nombre réel x, on a

Rappel : Soit 𝑞 > 0 et x, y deux réels. Alors :

q^x>0.

q^{x+y}=q^x\times q^y

Démonstration :

Théorème : Soient q > 0, x et y deux réels.

Remarque :

On retrouve des propriétés similaires à celles des puissances.
Le point 3. se généralise : pour q > 0 et n entier naturel non nul, on peut vérifier que est le nombre positif qui, élevé à la puissance n donne q. On dit que c’est la racine n-ième de q et on note :

q^{\frac{1}{n}}

q^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{q}

4^{2,5}+9^{\frac{7}{2}}= (2^2)^{2,5}+(3^2)^{\frac{7}{2}}=2^5+3^7

2\; La\; fonction\; exponentielle\;x\rightarrow e^x

2.1 Définition – premières propriétés

Théorème - Définition : (admis)

Remarque : à la calculatrice, on obtient

e \approx 2,72.

Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Remarque : Il suffit d’appliquer la propriété du 1.2 avec

q =e \approx 2,72.

On en déduit le résultat suivant :

Propriété : Pour tous réels a et b, on a :

Remarque : En particulier, comme

e^0=1:e^x>1\Leftrightarrow x>0

2.2 Dérivée – Courbe représentative

Propriété : (admise) La fonction exponentielle est dérivable sur R et sa dérivée est égale à elle-même. On a donc :

(e^x)'=e^x

Démonstration :

Remarques :

On a déjà vu que . La dérivée de la fonction exponentielle est donc strictement positive. On retrouve le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
On peut alors donner le tableau de variations de la fonction exponentielle.

e^x>0

3. On peut alors construire la courbe représentative de la fonction exponentielle à l’aide d’un tableau de valeurs en remarquant que chaque résultat trouvé correspond non seulement à l’ordonnée du point de la courbe mais aussi au coefficient directeur de la tangente car (exp)'=exp.

Étude de la fonction \(f:x\rightarrow xe^x\)

f est définie sur ]\( -\infty ; +\infty \)[.

f est le produit de deux fonctions dérivables sur ]\( -\infty ; +\infty \)[ donc f est dérivable sur ]\( -\infty ; +\infty \)[.

Calcul de la dérivée : f est de la forme uv avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=e^x\).

f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

On a \(u'(x)=1\) et \(v'(x)=e^x\).

f'(x)=1\times e^x+x\times e^x

f'(x)=(1+x)\times e^x

Pour les variations de \(f\) : On étudie le signe de la dérivée \(f '\)

On factorise :

Dérivée d'un produit : \((uv)'=u'v+uv'\)

f'(x)\ge 0\Leftrightarrow(1+x)\times e^x\ge 0

f'(x)\ge 0\Leftrightarrow 1+x\ge 0

Pour tout réel x, \( e^x > 0 \) donc

\Leftrightarrow x\ge -1

Tableau de variations de f :

2.3 Fonctions \(x\rightarrow e^{u(x)}\)

Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un un intervalle I.
Alors la fonction f définie sur I par \(f(x) = e^{u(x)}\) est dérivable sur I et : \(f'(x) = u'(x)e^{u(x)}\)

Remarque : En particulier, comme l’exponentielle est strictement positive, f' est du même signe que u'.

Exemples :

a) f est de la forme uv avec \(u(x)=3x-1\) et \(v(x)=e^{-2x}\).

f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

f'(x)=3\times e^{-2x}+(3x-1)\times (-2e^{-2x})

Dérivée d'un produit : \((uv)'=u'v+uv'\)

On a \(u'(x)=3\) et

v'(x)= ( e^{-2x} )' = (-2x)'e^{-2x} = -2e^{-2x}

Dérivée de \(e^u\) : (\(e^u\))' = \(u'e^u\)

f'(x)=3 e^{-2x}-6xe^{-2x}+2e^{-2x}

puis on factorise...

f'(x)=e^{-2x}(5-6x)

b) g est de la forme \(e^u\) avec \(u(x)=\frac{1}{2}x^2-3\)

On a \(u'(x)=x\).

g'(x)=xe^{\frac{1}{2}x^2-3}

h) h est de la forme \(\frac{1}{u}\) avec \(u(x)=2+e^{-3x}\)

On a \(u'(x)=-3e^{-3x}\)

Dérivée de \(e^u\) : (\(e^u\))' = \(u'e^u\)

g'(x)=\frac{3e^{-3x}}{(2+e^{-3x})^2}

Dérivée de \(\frac{1}{u}\) : (\( \frac{1}{u}\))' = \(- \frac{u'}{u^2}\)

g'(x)=-\frac{-3e^{-3x}}{(2+e^{-3x})^2}

Méthode : Pour étudier les positions relatives de deux courbes Cf et Cg, on étudie le signe de \( f - g \) ou si les fonctions sont strictement positives on compare le quotient \( \frac{f}{g} \) à 1.

Ici f et g sont strictement positives : \( \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{e^{-x}}{e^{-2x}}=e^{-x+2x} = e^x \)

]- \infty ; 0 [

\frac{f(x)}{g(x)} < 1\Leftrightarrow e^x < 1 \Leftrightarrow x <0.

Donc sur Cf est en dessous de Cg et sur

]0;+ \infty [

Cf est au dessus de Cg

On résout l'équation \( e^{-5x^2} \leq 1: \)

e^{-5x^2} \leq 1\Leftrightarrow e^{-5x^2} \leq e^0\Leftrightarrow -5x^2 \leq 0

Or pour tout réel x on a \( -5x^2 \leq 0\) donc la courbe C reste en dessous de la droite avec un point de contact : J (0 ; 1)

Équation de la tangente à la courbe au point J ?

Pour étudier les positions relatives des courbes Cf et Cg, on peut procéder comme dans l'exercice 21. Ici on va étudier le signe de \( f - g \) :

f(x)-g(x) = e^{-x^2}-e^{-2x^2}= e^{-x^2}-(e^{-x^2})^2

= e^{-x^2}(1-e^{-x^2})

Comme pour tout nombre réel x, \(e^{-x^2}>0, \)

\( f(x)-g(x)\geq 0\Leftrightarrow 1-e^{-x^2}\geq 0\)

\Leftrightarrow e^{-x^2}\leq1\Leftrightarrow e^{-x^2}\leq e^0\Leftrightarrow

-x^2\leq 0\Leftrightarrow x^2\geq 0

Or pour tout réel x on a \( x^2 \geq 0\) donc la courbe Cf reste au dessus de la courbe Cg avec un point de contact : J (0 ; 1)

a) f est croissante sur ]–∞ ; 0] et décroissante sur [0 ; +∞[, donc f ’ est positive sur ]–∞ ; 0] et négative sur [0 ; +∞[, ce qui correspond à la courbe C2.

f est négative sur ]–∞ ; –1] et positive sur ]–1 ; +∞[. Donc si f = g’ alors g est décroissante sur ]–∞ ; – 1] et croissante sur ]–1 ; +∞[. Seule la courbe C’3 peut représenter g.