Term ES : Calcul intégral

Calculer une intégrale

Calcul intégral

\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x =F(b)-F(a)

\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x =F(b)-F(a)

La plupart du temps pour calculer l'intégrale d'une fonction $f$ sur un intervalle, il faut connaître une primitive $F$

1er cas : La primitive est donnée

f(x)=\left (x^2-11\right ) \mathrm{e}^{-0,2x}

f(x)=\left (x^2-11\right ) \mathrm{e}^{-0,2x}

F(x)=\left (-5x^2 -50x -195\right ) \mathrm{e}^{-0,2x}

F(x)=\left (-5x^2 -50x -195\right ) \mathrm{e}^{-0,2x}

I=\displaystyle\int_{10}^{20} f(x) \mathrm{d} x =F(20)-F(10)

I=\displaystyle\int_{10}^{20} f(x) \mathrm{d} x =F(20)-F(10)

F(20)=(-5\times 20^2-50\times 20 - 195)\mathrm{e}^{-0,2\times20}= - 3195\mathrm{e}^{-4}

F(20)=(-5\times 20^2-50\times 20 - 195)\mathrm{e}^{-0,2\times20}= - 3195\mathrm{e}^{-4}

F(10)=(-5\times 10^2-50\times 10 - 195)\mathrm{e}^{-0,2\times10}= - 1195\mathrm{e}^{-2}

F(10)=(-5\times 10^2-50\times 10 - 195)\mathrm{e}^{-0,2\times10}= - 1195\mathrm{e}^{-2}

I=-3195\mathrm{e}^{-4} + 1195\mathrm{e}^{-2}\approx 103,21

I=-3195\mathrm{e}^{-4} + 1195\mathrm{e}^{-2}\approx 103,21

2ème cas : La primitive est à déterminer

f(x) = 2x -1 + \text{e}^{0,05x}

f(x) = 2x -1 + \text{e}^{0,05x}

x=x^1

x=x^1

\text{Si }f(x) = x^n\text{ alors }F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}

\text{Si }f(x) = x^n\text{ alors }F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}

\frac{x^2}{2}

\frac{x^2}{2}

\textcolor{orange}{2}x

\textcolor{orange}{2}x

\textcolor{orange}{2}\frac{x^2}{2}=x^2

\textcolor{orange}{2}\frac{x^2}{2}=x^2

F(x) = x^2\dots

F(x) = x^2\dots

f(x) = 2x -1 + \text{e}^{0,05x}

f(x) = 2x -1 + \text{e}^{0,05x}

\text{Si }f(x) = k\text{ alors }F(x) = kx

\text{Si }f(x) = k\text{ alors }F(x) = kx

-1

-1

-1x=-x

-1x=-x

F(x) = x^2-x\dots

F(x) = x^2-x\dots

f(x) = 2x -1 + \text{e}^{0,05x}

f(x) = 2x -1 + \text{e}^{0,05x}

\text{Si }f = u'\mathrm{e}^u\text{ alors }F =\mathrm{e}^u

\text{Si }f = u'\mathrm{e}^u\text{ alors }F =\mathrm{e}^u

\text{e}^{0,05x}

\text{e}^{0,05x}

\mathrm{e}^u

\mathrm{e}^u

Il manque $u'$ !

u(x) = 0,05x\text{ donc }u'(x) =0,05

u(x) = 0,05x\text{ donc }u'(x) =0,05

Il manque $u'$ !

on fait apparaître $u'$ !

\frac{1}{0,05}\times0,05\text{e}^{0,05x}

\frac{1}{0,05}\times0,05\text{e}^{0,05x}

f(x) = 2x -1 + \text{e}^{0,05x}

f(x) = 2x -1 + \text{e}^{0,05x}

\text{Si }f = u'\mathrm{e}^u\text{ alors }F =\mathrm{e}^u

\text{Si }f = u'\mathrm{e}^u\text{ alors }F =\mathrm{e}^u

\textcolor{orange}{\frac{1}{0,05}\times}0,05\text{e}^{0,05x}

\textcolor{orange}{\frac{1}{0,05}\times}0,05\text{e}^{0,05x}

\textcolor{orange}{\frac{1}{0,05}\times}\text{e}^{0,05x}=20\text{e}^{0,05x}

\textcolor{orange}{\frac{1}{0,05}\times}\text{e}^{0,05x}=20\text{e}^{0,05x}

F(x) = x^2-x+20\text{e}^{0,05x}

F(x) = x^2-x+20\text{e}^{0,05x}

I=\displaystyle\int_{0}^{100} f(x) \mathrm{d} x =F(100)-F(0)

I=\displaystyle\int_{0}^{100} f(x) \mathrm{d} x =F(100)-F(0)

=\left ( 9900 + 20\mathrm{e}^{5}\right ) - 20

=\left ( 9900 + 20\mathrm{e}^{5}\right ) - 20

F(x) = x^2-x+20\text{e}^{0,05x}

F(x) = x^2-x+20\text{e}^{0,05x}

=9880 + 20\mathrm{e}^{5}

=9880 + 20\mathrm{e}^{5}

\approx 12848

\approx 12848

Calculer la valeur moyenne d'une fonction

\mu=\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x =\frac{1}{b-a}(F(b)-F(a))

\mu=\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x =\frac{1}{b-a}(F(b)-F(a))

On reprend l'exemple précédent : la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 100] est :

\mu=\frac{1}{100-0}\displaystyle\int_{0}^{100} f(x) \mathrm{d} x =\frac{1}{100}(9880 + 20\mathrm{e}^{5})\approx 128,48

\mu=\frac{1}{100-0}\displaystyle\int_{0}^{100} f(x) \mathrm{d} x =\frac{1}{100}(9880 + 20\mathrm{e}^{5})\approx 128,48

Encadrer une intégrale avec deux aires...

\text{Encadrer l’intégrale}\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \mathrm{d} x \text{ par deux entiers consécutifs}

\text{Encadrer l’intégrale}\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \mathrm{d} x \text{ par deux entiers consécutifs}

Encadrer une intégrale avec deux aires...

9\leqslant\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \mathrm{d} x \leqslant10

9\leqslant\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \mathrm{d} x \leqslant10

Calcul intégral

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