Limites et continuité
la droite d'équation \(y=0\) et la droite d'équation \(y=1\).
32 p 58
f(x)=\dfrac{1-2x}{(x+3)^2}
a = -3
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -3}} 1-2x=7\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -3}} (x+3)^2=0^+
\text{Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -3^-}} f(x)=+\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -3^+}} f(x)=+\infty.
33 p 58
f(x)=\dfrac{e^x}{e^x-1}
a = 0
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}} e^x=1\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}} (e^x-1)=0
donc les limites à droite et à
gauche du quotient sont infinies.
Pour déterminer s'il s'agit de \(+\infty\) ou de \(-\infty\), on étudie le signe de \(e^x-1\) selon les valeurs de \(x\).
e^x-1\geqslant 0
e^x\geqslant 1
e^x\geqslant e^0
x\geqslant 0
\text{On a }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^-}} (e^x-1)=0^-\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}} (e^x-1)=0^+.
\text{Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^-}} f(x)=-\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}} f(x)=+\infty.
On obtient le tableau de signes suivant :
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f(x)=\dfrac{3x^3+1}{x+1}
a = -1
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1}} (3x^3+1)=-2\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1}} (x+1)=0
donc les limites à droite et à gauche du quotient sont infinies.
Pour déterminer s'il s'agit de \(+\infty\) ou de \(-\infty\), on étudie le signe de \(x+1\) selon les valeurs de \(x\).
\text{On a }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^-}} (x+1)=0^-\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^+}} (x+1)=0^+.
\text{Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^-}} f(x)=+\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^+}} f(x)=-\infty.
35 p 58
f(x)=\dfrac{x-2}{1-e^x}
a = 0
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}} (x-2)=-2\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}} (1-e^x)=0
donc les limites à droite et à gauche du quotient sont infinies.
Pour déterminer s'il s'agit de \(+\infty\) ou de \(-\infty\), on étudie le signe de \(1-e^x\) selon les valeurs de \(x\).
1-e^x\geqslant 0
-e^x\geqslant -1
e^x\leqslant 1
e^x\leqslant e^0
x\leqslant 0
\text{On a }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^-}} (1-e^x)=0^+\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}} (1-e^x)=0^-.
\text{Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^-}} f(x)=-\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}} f(x)=+\infty.
On obtient le tableau de signes suivant :
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f(x)=\dfrac{2x^2-1}{-x-1}
a = -1
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1}} (2x^2-1)=1\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1}} (-x-1)=0
donc les limites à droite et à gauche du quotient sont infinies.
Pour déterminer s'il s'agit de \(+\infty\) ou de \(-\infty\), on étudie le signe de \(-x-1\) selon les valeurs de \(x\).
\text{On a }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^-}} (-x-1)=0^+\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^+}} (-x-1)=0^-.
\text{Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^-}} f(x)=+\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^+}} f(x)=-\infty.
38 p 59
1)\;f(x)=\dfrac{1}{1+e^x}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=\,?
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} (1+e^x)=+\infty\text{ donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=0
2)\;f(x)=\dfrac{2x+3}{x-2}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=\,?
\text{On a }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} (2x+3)=+\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} (x-2)=+\infty
donc on obtient une forme indéterminée \(\ \dfrac{\infty}{\infty} \).
\text{Pour }x\neq 0\text{ on a }f(x)=\dfrac{x\left(2+\dfrac{3}{x}\right)}{x\left(1-\dfrac{2}{x}\right)}=\dfrac{2+\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{2}{x}}
\text{On a }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \dfrac{2}{x}=0\text{ donc }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(1-\dfrac{2}{x}\right)=1.
\text{Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=2.
\text{On a }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \dfrac{3}{x}=0\text{ donc }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(2+\dfrac{3}{x}\right)=2.
3)\;f(x)=\dfrac{x^2-4}{2x+1}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=\,?
\text{On a }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} (x^2-4)=+\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} (2x+1)=+\infty
donc on obtient une forme indéterminée \(\ \dfrac{\infty}{\infty} \).
\text{Pour }x\neq 0\text{ on a }f(x)=\dfrac{x^2\left(1-\dfrac{4}{x^2}\right)}{x\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}=x\times\dfrac{1-\dfrac{4}{x^2}}{2+\dfrac{1}{x}}
\text{On a }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \dfrac{1}{x}=0\text{ donc }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(2+\dfrac{1}{x}\right)=2.
\text{On a }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} -\dfrac{4}{x^2}=0\text{ donc }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(1-\dfrac{4}{x^2}\right)=1.
\text{ Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(\dfrac{1-\dfrac{4}{x^2}}{2+\dfrac{1}{x}}\right)=\dfrac{1}{2}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} x=+\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(\dfrac{1-\dfrac{4}{x^2}}{2+\dfrac{1}{x}}\right)=\dfrac{1}{2}
\text{ Donc par produit }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=+\infty.
39 p 59
1)\;f(x)=2x\sqrt{x}+1
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=\,?
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} 2x=+\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \sqrt{x}=+\infty
\text{Donc par produit }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} 2x\sqrt{x}=+\infty
\text{Donc par somme }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=+\infty
2)\;f(x)=\dfrac{-2}{1-\sqrt{x}}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=\,?
\text{On a }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} (1-\sqrt{x})=-\infty\text{ donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=0.
3)\;f(x)=e^x+x-4
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=\,?
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} e^x=+\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} x-4=+\infty
\text{Donc par somme }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=+\infty
4)\;f(x)=(2x-1)e^x
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=\,?
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} e^x=+\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} (2x-1)=+\infty
\text{Donc par produit }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=+\infty
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1)\;f(x)=\dfrac{-x^3+x}{x-1}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=\,?
-x^3+x = x\left(-x^2+1\right)
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} x=+\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(-x^2+1\right)=-\infty
\text{Donc par produit }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} (-x^3+x )=-\infty
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} (x-1)=+\infty
Donc on obtient une forme indéterminée \(\ \dfrac{\infty}{\infty} \).
\text{Pour } x\neq 0\text{, on a }f(x)=\dfrac{-x^3+x}{x-1}=\dfrac{x\left(-x^2+1\right)}{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{-x^2+1}{1-\dfrac{1}{x}}
\text{On a vu que }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(-x^2+1\right)=-\infty
\text{Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=-\infty
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} -\dfrac{1}{x}=0\text{ donc par somme }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(1-\dfrac{1}{x}\right)=1
1)\;f(x)=\dfrac{-x^3+x}{x-1}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} f(x)=\,?
-x^3+x = x\left(-x^2+1\right)
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} x=-\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \left(-x^2+1\right)=-\infty
\text{Donc par produit }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} (-x^3+x )=+\infty
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} (x-1)=-\infty
Donc on obtient une forme indéterminée \(\ \dfrac{\infty}{\infty} \).
\text{Pour } x\neq 0\text{, on a }f(x)=\dfrac{-x^3+x}{x-1}=\dfrac{x\left(-x^2+1\right)}{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{-x^2+1}{1-\dfrac{1}{x}}
\text{On a vu que }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \left(-x^2+1\right)=-\infty
\text{Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} f(x)=-\infty
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} -\dfrac{1}{x}=0\text{ donc par somme }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \left(1-\dfrac{1}{x}\right)=1
2)\;f(x)=\dfrac{3x+5}{x^2+x}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=\,?
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} (3x+5)=+\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(x^2+x\right)=+\infty
Donc on obtient une forme indéterminée \(\ \dfrac{\infty}{\infty} \).
\text{Pour } x\neq 0\text{, on a }f(x)=\dfrac{x\left(3+\dfrac{5}{x}\right)}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{1}{x}\times\dfrac{3+\dfrac{5}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \dfrac{5}{x}=0\text{ donc }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(3+\dfrac{5}{x}\right)=3
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \dfrac{1}{x}=0\text{ donc }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1
\text{ Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(\dfrac{3+\dfrac{5}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}\right)=3
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \dfrac{1}{x}=0\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(\dfrac{3+\dfrac{5}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}\right)=3
\text{ Donc par produit }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=0.
2)\;f(x)=\dfrac{3x+5}{x^2+x}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} f(x)=\,?
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} (3x+5)=-\infty
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \left(x^2+x\right)=\;?
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} x^2=+\infty \text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} x=-\infty
Donc on obtient une forme indéterminée \( +\infty\;-\infty \).
x^2+x=x(x+1)
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} x=-\infty \text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} (x+1)=-\infty
\text{ Donc par produit }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \left(x^2+x\right)=+\infty.
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} (3x+5)=-\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \left(x^2+x\right)=+\infty
Donc on obtient une forme indéterminée \(\ \dfrac{\infty}{\infty} \).
\text{Pour } x\neq 0\text{, on a }f(x)=\dfrac{x\left(3+\dfrac{5}{x}\right)}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{1}{x}\times\dfrac{3+\dfrac{5}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \dfrac{5}{x}=0\text{ donc }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \left(3+\dfrac{5}{x}\right)=3
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \dfrac{1}{x}=0\text{ donc }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1
\text{ Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \left(\dfrac{3+\dfrac{5}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}\right)=3
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \dfrac{1}{x}=0\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \left(\dfrac{3+\dfrac{5}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}\right)=3
\text{ Donc par produit }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} f(x)=0.
3)\;f(x)=\dfrac{2x^2-x+1}{3x^2+x+2}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=\,?
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(2x^2-x+1\right)=\;?
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} 2x^2=+\infty \text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} -x+1=-\infty
Donc on obtient une forme indéterminée \( +\infty\;-\infty \).
2x^2-x+1=x^2\left(2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} x^2=+\infty \text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)=2
\text{ Donc par produit }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(2x^2-x+1\right)=+\infty.
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(3x^2+x+2\right)=\;?
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} 3x^2=+\infty \text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} x+2=+\infty
\text{Donc par somme }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(3x^2+x+2\right)=+\infty
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} (2x^2-x+1)=+\infty\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(3x^2+x+2\right)=+\infty
Donc on obtient une forme indéterminée \(\ \dfrac{\infty}{\infty} \).
\text{Pour } x\neq 0\text{, on a }f(x)=\dfrac{x^2\left(2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(3+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)}=\dfrac{2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{3+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} -\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\text{ donc }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)=2
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}=0\text{ donc }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} \left(3+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)=3
\text{Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=\dfrac{2}{3}
3)\;f(x)=\dfrac{2x^2-x+1}{3x^2+x+2}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} f(x)=\,?
\text{Un raisonnement identique nous permet de montrer que }
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} f(x)=\dfrac{2}{3}
f(x)=x^3+4x^2+5x−6
Dérivation : Automatismes
f'(x)=3x^2+8x+5
g(x)=\dfrac{1}{x}(x²−1)
Dérivation : Automatismes
g \text{ est de la forme } u\times v
\text{avec } u(x)=\dfrac{1}{x} \text{ et } v(x)=x^2-1
g'=u'v+uv'
\text{On a donc } u'(x)=-\dfrac{1}{x^2} \text{ et } v'(x)=2x
u(x)=\dfrac{1}{x} \text{ et } v(x)=x^2-1
g'=u'v+uv'
u'(x)=-\dfrac{1}{x^2} \text{ et } v'(x)=2x
g'(x)=-\dfrac{1}{x^2} \times (x^2-1)+\dfrac{1}{x}\times 2x
g'(x)=\dfrac{1-x^2}{x^2}+\dfrac{2x^2}{x^2}=\dfrac{x^2+1}{x^2}
h(x)=\dfrac{5x-1}{x+2}
Dérivation : Automatismes
h \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}
\text{avec } u(x)=5x-1\text{ et } v(x)=x+2
h'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
\text{On a donc } u'(x)=5\text{ et } v'(x)=1
u(x)=5x-1\text{ et } v(x)=x+2
h'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
u'(x)=5\text{ et } v'(x)=1
h'(x)=\dfrac{5(x+2)-(5x-1)\times 1}{(x+2)^2}
h'(x)=\dfrac{5x+10-5x+1}{(x+2)^2}
h'(x)=\dfrac{11}{(x+2)^2}
w(x)=\sqrt{3x+4}
Dérivation : Automatismes
w \text{ est de la forme } g(ax+b)
\text{avec } g(x)=\sqrt{x}
\text{ définie et dérivable sur } I=]0~;~+\infty[.
3x+4> 0
3x>-4
x>-\dfrac{4}{3}
x\in\left] -\dfrac{4}{3} ~;~+\infty\right[
\text{On a } g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\text{et }w'(x)=a\times g'(ax+b)
w\text{ est définie et dérivable sur J=}\left] -\dfrac{4}{3} ~;~+\infty\right[
w'(x)=3\times \dfrac{1}{2\sqrt{3x+4}}
w'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+4}}
c(x)=\text{e}^{-2x+7}
Dérivation : Automatismes
c \text{ est de la forme } \text{e}^u
\text{avec } u(x)=-2x+7
c'(x)=-2 \text{e}^{-2x+7}
\text{On a } u'(x)=-2\text{ et }c'=u' \text{e}^u.
f'(x)=(x\text{e}^x)'
Pour étudier les variations d'une fonction il faut généralement étudier le signe de sa dérivée.
x\text{e}^x\text{ est de la forme } u\times v
\text{avec } u(x)=x \text{ et } v(x)=\text{e}^x
f'=u'v+uv'
\text{On a donc } u'(x)=1\text{ et } v'(x)=\text{e}^x
f'(x)=1\times \text{e}^x+x\times \text{e}^x
f'(x)=\text{e}^x+x \text{e}^x=\text{e}^x(1+x)
\text{Signe de } f'(x)=\text{e}^x(1+x):
\text{Pour tout }x\in \mathbb{R}, \text{e}^x>0 \text{ donc }f'\text{ est du signe de }1+x
f(-1)=-\text{e}^{-1}-2
\text{Sur }]-\infty~;~-1[, f(x)<-2\text{ donc l'équation }f(x)=2
\text{Sur }[-1~;~+\infty[, f\text{ est continue, strictement croissante, et}
f(-1) <2\text{ et}\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)>2
\text{ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation }f(x)=2
\text{ admet une solution unique }\alpha.
\text{n'admet pas de solution.}
f(1)\approx 0,7
f(2)\approx 12,8
f(1)<2 < f(2)\text{ donc }\alpha\in [1~;~2].
\text{On sait que }\alpha\in [1~;~2].
Méthode par balayage
f(1,2)<2 < f(1,3)\text{ donc }\alpha\in [1,2~;~1,3].
\text{On sait que }\alpha\in [1,2~;~1,3].
f(1,20)<2 < f(1,21)\text{ donc }\alpha\in [1,20~;~1,21].
\text{Sur }]-\infty~;~-1[, f(x)\leqslant 3\text{ donc l'équation }f(x)=4
\text{Sur }[-1~;~+\infty[, f\text{ est continue, strictement croissante, et}
f(-1) <4\text{ et}\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)>4
\text{ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation }f(x)=4
\text{ admet une solution unique }\alpha.
\text{n'admet pas de solution.}
f(0)=3
f(1)=19
f(0)<4 < f(1)\text{ donc }0<\alpha<1.
La fonction \(f\) est dérivable sur \([1~;~13]\) donc elle est continue sur cet intervalle.
\text{Sur }[1~;~4], f\text{ est continue, strictement croissante, et}
f(1) <5\text{ et} f(4)>5
\text{donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation }f(x)=5
\text{ admet une solution unique }\alpha_1.
\text{Sur }[4~;~10], f\text{ est continue, strictement décroissante, et}
f(4) >5\text{ et} f(10)<5
\text{donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation }f(x)=5
\text{ admet une solution unique }\alpha_2.
\text{Sur }[10~;~13], f(x)\leqslant 4\text{ donc l'équation }f(x)=5
\text{n'admet pas de solution.}
\text{On en déduit que sur }[1~;~13], \text{ l'équation }f(x)=5\text{ admet deux solutions. }
\text{Sur }[4~;~13], f(x)\geqslant 3\text{ donc l'équation }f(x)=\dfrac{5}{2}
\text{Sur }[1~;~4], f\text{ est continue, strictement croissante, et}
f(1) <\dfrac{5}{2}\text{ et} f(4)>\dfrac{5}{2}
\text{donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation }f(x)=\dfrac{5}{2}
\text{ admet une solution unique }\alpha.
\text{n'admet pas de solution.}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} x-1=-\infty
\text{Donc par somme }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} f(x)= -\infty
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \dfrac{1}{1-x}= 0
\text{On montre de même que }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)= +\infty
I=\,]-\infty~;~1[\cup]1~;~+\infty[, \text{ il s'agit donc de déterminer les }
\text{limites en }-\infty,+\infty, 1^-\text{ et }1^+.
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^-}} x-1=0
\text{Donc par somme }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^-}} f(x)= +\infty
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^-}} \dfrac{1}{1-x}=+\infty
\text{On montre de même que }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^+}} f(x)= -\infty
f \text{ est définie si }x^2+2x+1\neq 0
x^2+2x+1= 0
(x+1)^2= 0
x+1= 0
x= -1
D_f=]-\infty~;~-1[\cup]-1~;~+\infty[
b)\;\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} 3x+4=-\infty
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} x^2+2x+1=+\infty
\text{On obtient une forme indéterminée }\dfrac{\infty}{\infty}
f(x)=\dfrac{x\left(3+\frac{4}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{1}{x}\times \dfrac{3+\frac{4}{x}}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \dfrac{1}{x}=0\;\;\text{ et }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} \dfrac{3+\frac{4}{x}}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=3\text{ donc par produit }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}} f(x)=0.
\text{On montre de même que }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}} f(x)=0.
b)\;\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^-}} 3x+4=1
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^-}} x^2+2x+1=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^-}} (x+1)^2=0^+
\text{Donc par quotient }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^-}} f(x)=+\infty.
\text{On montre de même que }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^+}} f(x)=+\infty.
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^-}} f(x)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1^+}} f(x)=+\infty\text{ donc }\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1}}=+\infty
f\text{ admet une limite en }-1\text{ car les limites à gauche et à droite sont égales.}
E(4,5~;~7,8)
\text{Déterminer les coordonnées du point d'intersection de } \mathcal{C}_f\text{ et }\mathcal{C}_g
\text{revient à résoudre l'équation }f(x)=g(x)\text{ ce qui équivaut à }
f(x)-g(x)=0\text{ soit }h(x)=0.
\text{Sur }[0~;~8], h\text{ est continue, strictement croissante, et}
h(0) =-17<0\text{ et } h(8)\approx 22>0
\text{donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation }h(x)=0
\text{ admet une unique solution }\alpha.
strictement croissante
h(4)\approx -2,9
h(5)\approx 2,8
h(4)<0 < h(5)\text{ donc }4<\alpha<5.
h(4,5)=-0,125
h(4,6)\approx 0,45
h(4,5)<0 < h(4,6)\text{ donc }4,5<\alpha<4,6.
\alpha\approx 4,52
Méthode 2 :
1. Le prix unitaire d'équilibre est de 452 €.
2. Le nombre d’articles correspondant est de 7 800.
1. Le prix unitaire d'équilibre est de 452 €.
f(4,52)\approx 7,8
1.\;f \text{ est de la forme } u\times v \text{ avec } u(x)=2x\text{ et } v(x)=\text{e}^{-x}
\text{On a donc } u'(x)=2 \text{ et } v'(x)=-\text{e}^{-x}.
f'(x)=2 {\text{e}}^{-x}+2x\times \left(-\text{e}^{-x}\right)=2 {\text{e}}^{-x}-2x\text{e}^{-x}
f'(x)=2 {\text{e}}^{-x}(1-x)
\text{Pour tout }x \in[0~;~12],\,2\text{e}^{-x}>0\text{ donc }f'(x)\text{ est du signe de }1-x.
2.\;f'(x)=2 {\text{e}}^{-x}(1-x)
\text{A l'aide de la calculatrice on obtient }t\approx 2\,h\,10\;min
64 p 63
f'(x)=25-150\times (-0,5) {\text{e}}^{-0,5x+1}
f'(x)=25+75{\text{e}}^{-0,5x+1}
Limites et continuité
By Jean-Marc Kraëber
Limites et continuité
Lycée Saint-Exupery La Rochelle
