18a. Predikatenlogica
2021-04-30
slides.com/jod/pt_18a
Docent: Jo Devriendt
Assistent: Ann Philips
Coördinator: Joost Vennekens
voornaam.achternaam@kuleuven.be
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Predikatenlogica
- Ook bekend als eerste-orde logica
- Predikatenlogica is het fundament voor logische declaratieve programmeertalen en constraint programming talen
- Volgende lesvideo gaat over de declaratieve programmeertaal FO(.) (uitgesproken "F-O-dot") en het IDP-systeem (18.11 in de cursus)
- Nuttig om grondiger uit te leggen
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Relaties
- Predikatenlogica gebruikt geen Booleaanse variabelen, maar relaties
- Relatie is een deelverzameling van een Cartesisch product
- Cartesisch product is de verzameling van alle mogelijke tupels over een lijst van verzamelingen
- Tupel is een geordend lijstje elementen uit verzamelingen
\text{Verzameling natuurlijke getallen: } \mathbb{N}
\text{Cartesisch product van alle 2-tupels van natuurlijke getallen: } \\
\mathbb{N} \times \mathbb{N} = \{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1), \ldots \}
\text{is-kleiner-dan relatie over de natuurlijke getallen:}\\
"<" = \{(0,1), (0,2), (1,2), (0,3), (1,3), (2,3), \ldots \} \subseteq \mathbb{N}\times\mathbb{N}
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Relaties
Meer verzamelingen:
- reële getallen
- verzameling van alle mensen, bvb. Mens; steden, bvb. Stad; telefoonnummers, bvb. Tel
- verzameling van alle deelverzamelingen van natuurlijke getallen
- lege verzameling
\mathbb{R}
\mathcal{P}(\mathbb{N})
\emptyset
Meer relaties:
- is-deler-van relatie
-
- lege verzameling (deelverzameling van alle cartesische producten)
- elk Cartesisch product is een deelverzameling van zichzelf, en dus ook een relatie
\{(1,0),(2,6),(3,6), \ldots\} \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N}
\{(\text{Jo},\text{Leuven},0032477123456),(\text{Barack},\text{Chicago},00123456789)\} \\
\subseteq \text{Mens} \times \text{Stad} \times \text{Tel}
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Relaties
- Relatie is een deelverzameling van een Cartesisch product
- Cartesisch product is de verzameling van alle mogelijke tupels over een lijst van verzamelingen
- Tupel is een geordend lijstje elementen uit verzamelingen
- Is het cijfer 3 een relatie? Neen, geen verzameling, dus ook geen deelverzameling.
- Is de verzameling {(3)} een relatie? Ja, want het is een deelverzameling van bijvoorbeeld het Cartesisch product
bestaande uit enkel de natuurlijke getallen- Noot: als tupels maar 1 element lang zijn, laten we de tupel-haakjes meestal weg: {(3)} = {3}
- Is het lege tupel () een geldig tupel? Ja, over het 0-dimensionele "lege" Cartesisch product
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Functies
- Informeel: geeft voor elke input een output
- Formeel: een functie is een afbeelding van een Cartesisch product naar een verzameling
\text{Grootste gemene deler } ggd\colon \mathbb{N}^+\times\mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{N}^+ \\
= \{(1,1) \mapsto 1, (13,17)\mapsto 1,(15,6)\mapsto 3, \ldots \}
\text{absolute waarde } abs\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
= \{(0) \mapsto 0, (-1)\mapsto 1,(3.14)\mapsto 3.14, \ldots \}
\pi\colon ~~\rightarrow \mathbb{R} \\
= \{() \mapsto 3.14 \}
\text{optelling } +\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
= \{(0,0) \mapsto 0, (13,17)\mapsto 30,(0.01,-0.02)\mapsto -0.01, \ldots \}
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Functies
- Informeel: geeft voor elke input een output
- Formeel: een functie is een afbeelding van een Cartesisch product naar een verzameling
\text{Leeftijd}\colon \text{Mens} \rightarrow \mathbb{N} \\
= \{(Jo) \mapsto 33, (Barack)\mapsto 59, \ldots \}
\vee \text{ ("or")} \colon \{t,f\}\times\{t,f\} \rightarrow \{t,f\} \\
= \{(t,t) \mapsto t, (t,f) \mapsto t, (f,t) \mapsto t, (f,f) \mapsto f \}
\text{MoederVan}\colon \text{Mens} \rightarrow \text{Mens} \\
= \{(Jo) \mapsto An, (Barack)\mapsto Ann, \ldots \}
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Propositielogica (herhaling)
- Predikatenlogica is uitbreiding van propositielogica
- Statements zijn opgebouwd uit Booleaanse variabelen ("proposities") en connectieven
p \Rightarrow q\\
r \wedge \neg s\\
t \Leftrightarrow u \vee w
- Wanneer alle variabelen een waarde hebben, is een waar (true) of onwaar (false)
- Opgepast: is equivalent met
- Opgepast bis: volgorde van operaties
\neg, \wedge, \vee, \Rightarrow / \Leftarrow, \Leftrightarrow
p \Rightarrow q
\neg p \vee q
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Predikatenlogica
Statements (formules) zijn opgebouwd uit
- connectieven:
- kwantoren:
- (gebonden) variabelen: bvb. x, y, z, ...
- predikaten: bvb. P, IsDelerVan, ≤, ...
- functiesymbolen: bvb. f, +, Leeftijd, ...
- ... (bvb. types om kwantificatie af te bakenen)
=, \neg, \wedge, \vee, \Rightarrow / \Leftarrow, \Leftrightarrow
\forall, \exists
Formele definitie van formule in predikatenlogica brengt ons te ver.
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Formules
\forall x,y,z\colon ggd(x,y)=z \Rightarrow IsDelerVan(z,x) \wedge IsDelerVan(z,y)
\exists x \colon ggd(x,x)=x
"Er is een x zodat de grootste gemene deler van x met zichzelf ook weer x is"
"Voor elke x,y,z, als z de grootste gemene deler van x en y is, dan is z een deler van x en is z een deler van y"
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Waarheidswaarde
\forall x,y,z\colon ggd(x,y)=z \Rightarrow IsDelerVan(z,x) \wedge IsDelerVan(z,y)
\exists x \colon ggd(x,x)=x
Zijn deze formules waar? Ja...
\forall x,y,z\colon f(x,y)=z \Rightarrow P(z,x) \wedge P(z,y)
\exists x \colon f(x,x)=x
Zijn deze formules waar? Hangt af van interpretatie van f en P.
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Interpretaties
Zijn deze formules waar? Hangt af van interpretatie van P en f.
U = \{0,1\}, P^I \subseteq U \times U, f^I\colon U \times U \rightarrow U
- Leg de verzamelingen vast voor de interpretaties, bvb.
- Kies relaties en functies, bvb.
P^I = \{(0,0),(0,1)\}\\
f^I = \{(0,0)\mapsto 0, (0,1)\mapsto 0, (1,0)\mapsto 0,(1,1)\mapsto 0\}
\forall x,y,z\colon f(x,y)=z \Rightarrow P(z,x) \wedge P(z,y)
\exists x \colon f(x,x)=x
Interpretatie van een predikaat P is een relatie
Interpretatie van een functiesymbool f is een functie
f^I
P^I
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Interpretaties
Is tweede formule waar met deze interpretaties?
\forall x,y,z\colon f(x,y)=z \Rightarrow P(z,x) \wedge P(z,y)
\exists x \colon f(x,x)=x
Ja, kies x=0, dan is f(0,0)=0 waar,
want de interpretatie van f beeldt (0,0) af op 0.
P^I = \{(0,0),(0,1)\}\\
f^I = \{(0,0)\mapsto 0, (0,1)\mapsto 0, (1,0)\mapsto 0,(1,1)\mapsto 0\}
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Interpretaties
Is eerste formule waar met deze interpretaties?
\forall x,y,z\colon f(x,y)=z \Rightarrow P(z,x) \wedge P(z,y)
\exists x \colon f(x,x)=x
Ja, voor alle 8 mogelijke waardes van x,y,z geldt dat als f(x,y)=z waar is, dan ook P(z,x) en P(z,y). Bvb.
P^I = \{(0,0),(0,1)\}\\
f^I = \{(0,0)\mapsto 0, (0,1)\mapsto 0, (1,0)\mapsto 0,(1,1)\mapsto 0\}
f(0,0)=0 \Rightarrow P(0,0) \wedge P(0,0)\\
f(0,0)=1 \Rightarrow P(1,0) \wedge P(1,0)\\
f(0,1)=0 \Rightarrow P(0,0) \wedge P(0,1)\\
f(0,1)=1 \Rightarrow P(1,0) \wedge P(1,1)
\ldots
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Interpretaties
- Nieuwe interpretaties
- Beide formules zijn nu onwaar
\forall x,y,z\colon f(x,y)=z \Rightarrow P(z,x) \wedge P(z,y)
\exists x \colon f(x,x)=x
P^{I'} = \color{red}\{\}\color{black}\\
f^{I'} = \{(0,0)\mapsto \color{red}1\color{black}, (0,1)\mapsto 0, (1,0)\mapsto 0,(1,1)\mapsto 0\}
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Variabelen
\forall x,y,z\colon f(x,y)=z \Rightarrow P(z,x) \wedge P(z,y)
\exists x \colon f(x,x)=x
Merk op
- Invulling voor variabelen x, y, z kun je niet zelf kiezen
- ze nemen alle mogelijke waarden aan, en kwantor bepaalt of één/alle waarde(s) moeten passen
- Wat je wél zelf kan kiezen zijn de interpretaties voor de predikaten en functiesymbolen
P^{I'} = \color{red}\{\}\color{black}\\
f^{I'} = \{(0,0)\mapsto \color{red}1\color{black}, (0,1)\mapsto 0, (1,0)\mapsto 0,(1,1)\mapsto 0\}
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Samenvatting
-
Formules in predikatenlogica worden gebouwd met
- connectieven
- kwantoren
- variabelen
- predikaten
- functiesymbolen
- Formule krijgt betekenis door interpretaties op te stellen
- interpretatie van predikaat is een relatie
- interpretatie van functiesymbool is een functie
18a. Predikatenlogica
By Jo Devriendt
