18c. 0-1 Integer linear programming
2021-04-30
slides.com/jod/pt_18c
Docent: Jo Devriendt
Assistent: Ann Philips
Coördinator: Joost Vennekens
voornaam.achternaam@kuleuven.be
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
IDP under the hood
\forall r\colon \exists_1 c \colon \text{queen}(r,c)\\
\forall c\colon \exists_1 r \colon \text{queen}(r,c)\\
\forall d\colon \#\{(r, c) ~|~ \text{diag1}(r,c)=d \wedge \text{queen}(r,c)\} \leq 1\\
\forall d\colon \#\{(r, c) ~|~ \text{diag2}(r,c)=d \wedge \text{queen}(r,c)\} \leq 1\\
Hoe vindt een systeem als IDP een interpretatie voor queen die de volgende formules waar maakt?
Door deze "hoogniveau" constraints te reduceren naar eenvoudiger constraints.
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
IDP under the hood
\forall r\colon \exists_1 c \colon \text{queen}(r,c)\\
\forall c\colon \exists_1 r \colon \text{queen}(r,c)\\
\forall d\colon \#\{(r, c) ~|~ \text{diag1}(r,c)=d \wedge \text{queen}(r,c)\} \leq 1\\
\forall d\colon \#\{(r, c) ~|~ \text{diag2}(r,c)=d \wedge \text{queen}(r,c)\} \leq 1\\
wordt
met een variabele die waarde 0 of 1 kan hebben, en aangeeft of er een koningin staat op vakje (r,c)
x_{rc}
\sum_{c \in \text{Index}} x_{rc} = 1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \forall r \in \text{Index}\\
\sum_{r \in \text{Index}} x_{rc} = 1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \forall c \in \text{Index}\\
\sum_{\{r, c ~|~ \text{diag1}(r,c)=d\}} x_{rc} \leq 1 ~~~ \forall d \in \text{Diag}\\
\sum_{\{r, c ~|~ \text{diag2}(r,c)=d\}} x_{rc} \leq 1 ~~~ \forall d \in \text{Diag}\\
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
0-1 integer linear program
(0-1 ILP)
\sum_{c \in \text{Index}} x_{rc} = 1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \forall r \in \text{Index}\\
\sum_{r \in \text{Index}} x_{rc} = 1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \forall c \in \text{Index}\\
\sum_{\{r, c ~|~ \text{diag1}(r,c)=d\}} x_{rc} \leq 1 ~~~ \forall d \in \text{Diag}\\
\sum_{\{r, c ~|~ \text{diag2}(r,c)=d\}} x_{rc} \leq 1 ~~~ \forall d \in \text{Diag}\\
Dit is een 0-1 ILP, waar gespecialiseerde solvers voor bestaan.
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
0-1 integer linear program
(0-1 ILP)
\text{optimaliseer } \sum_j c_{j}x_j \\
\text{zodat } \sum_j a_{ij}x_j \leq b_i ~~~ \forall i \\
\text{met } c_j, a_{ij}, b_i \in \mathbb{Z} \\
\text{en } x_j \mapsto \{0,1\}
Algemene vorm van 0-1 ILP
- In het algemeen:
- Veel interessante problemen kunnen uitgedrukt worden als 0-1 ILP
- Simpel voorbeeld: knapzakprobleem
O(2^n)
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Knapzakprobleem
Beslis welke objecten j, met gewicht en waarde , in je knapzak te steken. De knapzak heeft een maximum totaalgewicht b, en je wil een zo groot mogelijke totale waarde in de knapzak.
\text{Algemene vorm: }\\
\text{maximaliseer } \sum_j c_{j}x_j \\
\text{zodat } \sum_j a_{j}x_j \leq b \\
\text{Specifiek voorbeeld: }\\
\text{maximaliseer } x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5 \\
\text{zodat } x_1+x_2+2x_3+2x_4+4x_5 \leq 4\\
\text{Twee oplossingen: }\\
x_1=x_2=x_5=0, x_3=x_4=1 \\
x_3=x_5=0, x_1=x_2=x_4=1 \\
en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem
a_j
c_j
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Mathematical programming
- 0-1 ILP is een vorm van mathematical programming (MP)
- Een mathematical program is een verzameling rekenkundige vergelijkingen waar een oplossing voor gezocht moet worden
- Meest bekende is linear programming, waar de variabelen rationale getallen kunnen aannemen, en de vergelijkingen lineaire ongelijkheden zijn
- Andere mogelijkheden voor variabelen (bvb. geheeltallig of enkel 0-1) of vergelijkingen (bvb. veeltermen) zijn ook mogelijk
- Vergelijkingen worden opgelost met gespecialiseerde solvers
- Bvb. RoundingSat voor 0-1 ILPs
Programmeertechnieken [B-KUL-YI0855]
De Nayer, IIW, E-ICT, 2Ba + schakel, 2020-2021
Samenvatting
- Systemen die oplossingen zoeken voor logische formules of constraints vertalen naar 0-1 ILPs onder de motorkap
- 0-1 ILPs zijn programma's bestaande uit lineaire ongelijkheden over 0-1 (Booleaanse) variabelen, waar een optimale oplossing voor moet gevonden worden
- 0-1 ILPs behoren tot de algemenere klasse van mathematical programs
18c. 0-1 Integer linear programming
By Jo Devriendt
