區間資料結構 |
| （前綴、差分、線段樹、BIT、Sparse Table） |
前綴
給一個序列 \(A\) 長度為 \(N\)
有 \(Q\) 筆詢問，求 \(\sum\limits_{i = l}^r{A_i}\)
Naive 作法：
一個迴圈搞定 ?
複雜度 \(O(QN)\)
\(N \leq 10^5, Q \leq 10^5\)
定義 \(B_i := \sum\limits_{j=1}^{i}A_j\)
\(\sum\limits_{i=l}^{r}A_i = B_r - B_{l-1}\)
時間複雜度 :
- 預處理 : \(O(N)\)
- 查詢 : \(O(1)\)
Atcoder Regular Contest 93 C
差分
給定序列 \(A\)
定義序列 \(B_i := A_i - A_{i-1}\)
為 \(A\) 的差分序列
數線上有\(N\)個線段
第 \(i\) 個線段為 \([L_i, R_i]\)
並且有\(Q\)組詢問 \(X_i\)
回答在座標 \(X_i\) 上面是否有線段經過
\(N, Q, L_i, R_i, X_i \leq 10^5\)
想辦法算出 \(C_i := 座標 i 上的線段個數\)
對於所有線段 只要
在 \(C_{L_i}\) 加一,
在\(C_{R_i+1}\) 減一
最後做一次前綴
有\(n\)個線段 起點終點分別為\(L_i, R_i\)
並且有\(m\)組詢問
\(ql_i, qr_i\)
回答是否存在線段 \(L_j, R_j\)使得
\(L_j \leq ql_i , qr_i \leq R_j\)
\(n, m, L_i, R_i, ql_i, qr_i \leq 10^5\)
定義 \(right_i := \forall L_j \leq i, max(R_j)\)
可透過前綴 max 來取得
Codeforces 1358F
給正整數序列 \(A, B\) 長度皆為 \(N\)
你可以做很多次操作
- 幫 \(A\) 做一次前綴和
- 把 \(A\) reverse
你想要把 \(A\) 變成 \(B\)
如果有解，請輸出一組可行解
\(N \leq 10^5\)
\( A_i, B_i \leq 10^{18}\)
sparse table
TIOJ 1603
給一個陣列 \(A\)
有 \(Q\) 筆詢問
求 \((\forall L_i \leq j \leq R_i, max(A_j))\) -
\((\forall L_i \leq j \leq R_i, min(A_j))\)
定義\(dp_{i,j}:= \forall i \leq k < i + 2^j, max(a_k)\)
我們可得到下列關係式
\(dp_{i,j} = max(dp_{i, j-1}, dp_{i+2^{j-1}, j-1})\)
\(dp_{i, 0} = a_i\)
詢問 \([L, R)\)
\(k = \lfloor log_2 (R-L)\rfloor \)
\(max(dp_{L, k}, dp_{R-2^k, k})\)
線段樹
Title Text
關於線段樹節點
假如一個節點 代表了區間 \([L, R]\) 的資訊
而且有左右子樹 \([L, M], [M+1, R]\)
當我想要算出\( max[L, R] \)
我只要求 \(max(leftchild, rightchild)\) 就好了
以指標來記錄左右子樹
struct segment_tree{
struct node{
int val;
node* left = NULL, * right = NULL;
node(int v):val(v){}
void update() { val = max(left->val, right->val); }
node(node* a, node* b){
val = max(a->val, b->val);
left = a, right = b;
}
};
node* root;
node* init(int l, int r, int* v){
if(l == r)return new node(v[l]);
int m = l + r >> 1;
return new node(init(l, m, v), init(m+1, r, v));
}
void modify(int pos, int nv, node* now, int l = 1, int r = n){
if(l == r) return now->val = nv, void();
if(pos > r || pos < l)return;
int m = l + r >> 1;
modify(pos, nv, now->left, l, m);
modify(pos, nv, now->right, m+1, r);
now->update();
}
int query(int ql, int qr, node* now, int l = 1, int r = n){
if(ql > r || qr < l) return -(1 << 29);
if(ql <= l && r <= qr) return now->val;
int m = l + r >> 1;
return max(query(ql, qr, now->left, l, m),
query(ql, qr, now->right, m+1, r));
}
};
陣列形線段樹
以 1 作為根
對於節點 \(i\) 以 \(i*2, i*2+1\) 分別作為左右子樹
const int maxn = 1 << 20;
const int inf = 1 << 29;
struct segment_tree{
int max_val[maxn << 1];
void modify(int pos, int new_val, int l = 1, int r = n, int i = 1){
if (l > pos || r < pos) return;
if (l == r) return max_val[i] = new_val, void();
int m = l + r >> 1;
modify(pos, new_val, l, m, i<<1);
modify(pos, new_val, m+1, r, i<<1|1);
max_val[i] = max(max_val[i<<1], max_val[i<<1|1]);
}
int query_max(int ql, int qr, int l = 1, int r = n, int i = 1) {
if (ql > r || qr < l) return -inf;
if (ql <= l && qr >= r) return max_val[i];
int m = l + r >> 1;
return max(query_max(ql, qr, l, m, i<<1),
query_max(ql, qr, m+1, r, i<<1|1);
}
};
Binary Indexed Tree
(Fenwick Tree)
定義 \(V_i := \sum\limits_{i - lowbit(i)+1}^{i} a_i \)
\(lowbit(i) := 2^{least significant bit(i)}\)
x : 011010100
lowbit(x) : 000000100
Code
struct bit {
int v[maxn];
void add(int i, int val) {
for (;i <= n;i += i&-i)
v[i] += val;
}
int query(int i) {
int res = 0;
for (;i;i ^= i&-i)
res += v[i];
return res;
}
}tree;
codeforces 1191F
區間資料結構
By Kevin Zhang
區間資料結構
（前綴、差分、線段樹、BIT、Sparse Table）
