分塊

比較快的暴力

每 \(K\)個數字分為一塊,最多有\(n / K\)塊。

查詢時複雜度為\(\mathcal{O}(n / K + K)\)

修改時複雜度為\(\mathcal{O}(K)\)

整體複雜度\(\mathcal{O}(n / K + K)\)

如果我們想要讓\(n/k + k\)最小

根據算幾不等式 \(k + n/k \geq 2\sqrt {n/k\times k}\)

所以我們發現當\(k = n / k\)時

複雜度最好

中國人插隊問題

有\(n\)個人要排隊,但是因為有關係就沒關係,所以他們會插隊

 


\(1\ x\ id:\)編號為\(id\)的人直接插隊,排到第\(x\)個位置

\(2\ x:\)排在第\(x\)個位置的人走了

\(3\ x:\)詢問排在第\(x\)個位置的人的編號

有\(n\)筆操作

維護\(\sqrt n \)個 linked_list

每個 linked_list的大小為\(\sqrt n \)

 

插入時就到那一個 linked_list 暴力重建

並且把後面的 linked_list 都

把第一個元素塞到前一個 linked_list

 

刪除時亦然

查詢時複雜度為\(\mathcal{O}(\sqrt n)\)

修改時複雜度為\(\mathcal{O}(\sqrt n)\)

整體複雜度\(\mathcal{O}(n\sqrt n)\)

實做小技巧:

linked_list 寫起來很煩,所以既然std::deque 也有同樣的複雜度,那就用吧

題源:資訊之芽2019算法班講義

不那麼直覺的分塊

Codeforces 1207 F

給一個長度為\(n\)的序列,有\(m\)筆操作

\(1\ x\ y:\)把第 \(x\) 個數字加上 \(y\)

\(2\ x\ y: \)詢問 \( \sum_{i\in R(x, y)}  a_i \)

定義\(R(x, y) = \{t : x \vert (t - y)\}\)

\(n,  m \leq 500000\)

Counting Triangles

 

給一張圖,\(n\)個點 \(m\)條邊

詢問圖中有多少個三角形

對於三個點 \(a,  b,  c\) 如果 \(a,  b\) 和 \(b,  c\) 和 \(c,  a\) 有邊,而且 \(a < b < c\) 那 \(a,  b,  c\) 就是一個三角形

\(n,  m \leq 100000\)

  • 假設我們能夠 \(\mathcal{O}(1) \)回答某個給定的 \(pair (x, y)\) 是否為圖上的一條邊
  • 那麼指定任一個點 v,我們能夠
  1. 在 \(\mathcal{O}(m)\) 時間內算出圖中有幾個包含 v 的三角形
  2. 在 \(\mathcal{O}(d^2)\) 時間內算出圖中有幾個包含 v 的三角形 (其中 \(d\) 為 v 的點度) 

對於點度\(\leq K\)的點 我們花\(\mathcal{O}(K^2)\)的時間做

剩下的點可以花\(\mathcal{O}(m \times c ^ 2)\)的時間做

定義\(c\)為點度\(\geq K\)的點的數量

如果令\(K := \sqrt m\)則

\(C \leq \sqrt m\)

所以每一個小點的時間需要\(\mathcal{O}(K^2)\)

所有大點需要\(\mathcal{O}(m \times c ^ 2)\)
小點最多有\(n\)個

最終複雜度為\(\mathcal{O}(m \sqrt m)\)

題源:資訊之芽2019算法班講義

TIOJ 1674

分塊

By Kevin Zhang

分塊

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