Stochastic Properties of the Random Waypoint
Mobility Model
資訊所 P76064570 瞿旭民
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Outline
- Introduction & Motivation
- Formal Manner
- Transition length
- Transition time
- Spatial distribution
- Movement direction on known position
- Discussion of cell change rate
Introduction & Movtivation
本篇論文的幾項重點:
- Transition time & length
- 探討 mobile node 於兩個 waypoint 之間移動距離與時間
- Spatial distribution
- 探討 nodes 於 system area 上的空間分佈關係
- Direction angle
- 探討 node 於出發時(e.g. movement transition)選擇其行進方向的行為(與角度有關)
- Cell change rate
- 探討於一次移動時,穿越多少個 cell
動機說明
- Mobile network 當中的效能分析
- 對 Mobility model 的行為做進一步的認識
而在 mobile network (wireless) 當中,許多 simulation 都需透過許多種不同的 model 來做完成; 像是 wireless communication 以及 mobile computing community 等等。
而最常並廣泛使用的 mobility model 則是 Random waypoint (RWP) model。
章節分配
- 定義 RWP
- 透過幾何分佈理論來得到 node 移動的距離、時間的參數(stochastic parameter),並探討 system area(rect/circular) 之間的差異以及 pause time 的影響。
- 對 RWP 中 node 的空間分佈做深入討論
- 計算在一個已知位置上的下個行進方向的機率分佈
- 使用 RWP model 來研究 cellular-structured network 當中 mobile station 的移動行為(e.g. movement),並獲得 cell change 的期望值,分別有 per movement period、per unit time (e.g. cell change rate)
Formal Manner of RWP
定義模型
為了後面的數學所需,這邊會先做定義與規劃:
RWP 的問題首先看到範圍定義 :
- 一維,像是 line segment
- 二維,定義為 a x b 的四方形面積
再來看到 RWP 中的 node 定義 (i 表示 movement period、j 表示第幾個 node):
定義模型 (conti.)
再來看到 V (speed)、T (pause time) 的選擇來決定 complete movement process,且這兩者皆為 random distribution :
這麼一來,一個 movement period "i" 可由向量(如下)做描述:
Transition Length
Transition Length
Stochastic Process:
Expectation of Stochastic Process:
time average of node j
ensemble average at period i
One-dimensional
由於是 uniform distribution,所以 Point's location 的 pdf:
One-dimensional (conti.)
由於 L=|Px1 - Px2|,D = |x1-x2| <= l,所以我們可以求 P(L<=l) 進而得知:
透過 0<= l <= a,我們得知當 l > a 時,P(L <= l) =1。 因此透過邊界指定我們可以計算得知:
One-dimensional (conti.)
對剛剛算出的 CDF 做微分,便可得:
因此我們可算出期望值:
Expected distance:
Second moment:
Rectangular Area
對於四方形同樣可得:
而二維的 Length 部份我們可以使用兩個 1-dimension 做相乘(independent),分別代表 x,y 軸的 Lx, Ly:
Rectangular Area (conti.)
同樣地,我們就可以透過剛剛的 PDF 來算 CDF:
再來對 CDF 做微分:
Rectangular Area (conti.)
這樣就可以得到期望值:
Expected value:
Second moment:
同理,Circular area 的作法也是相同的概念!
Transition Time
討論
- 速度的行為
- 定值、或是從 speed distribution 中挑選
- 改變速度的時間點
- 改變速度的原因與方式
空間從一維開始分析與討論、再到四方形及圓形區域。
最後再解釋距離與時間關係 ,並討論加入 pause time 的影響。
討論
考慮幾個速度選擇 - 常數 or 隨機變數:
- 速度 V 為常數:
討論
- 速度 V 從 random distribution 中挑選:
決定速度 model
而這時我們就可以探討使用什麼 random distribution 來作為速度:
- Uniform speed distribution
-
Discrete speed distribution
- choose from a set of values
-
Beta speed distribution
- non-uniform, continuous speed distribution bounded by v_min ~ v_max.
- 是個適合用於表示隨機行為所佔比例的模型!
Time between direction change
有了時間計算方式後,我們再來看到 pause time 的影響:
原本的移動時間:
Pause time:
而 Expected value 為以下,其代表方向改變所需的平均時間:
從而可以獲得 PDF:
Spatial Distribution
Nodes in RWP
討論
在有了 length 跟 time 後,我們接著考慮 node 在 waypoints 之中移動所經過直線上的 locations, 而單一 node 位置 X = (x,y),我們可以透過此定義來表示空間分佈的 PDF:
而計算一個 node 位於特定區域(A', A' ⊆ A )底下的機率,就可以透過對上式做積分來得到:
Without Pause time
沒有 pause time 的情況,就是一個持續進行的移動過程。
而上方 fx(x) 的 PDF 所示,不管是四方形或是圓形區域,都會在中心有最大的機率。這說明了所有 node 於 RWP 當中,在中心位置出現的機率最高。
With Pause time
而考慮 pause time 影響的情況,則 spatial distribution:
pause component
mobility component
代表當前正在目標點暫停的所有 nodes 的空間分佈
(uniform distribution)
代表所有移動 nodes 的空間分佈
(e.g. without pause time 的機率分佈)
With Pause time (conti.)
而 E{T_p} 與 p 的關係如下(四方形):
再來看到 p (pause probability):
Movement Direction
On known position
討論
由於 node 在開始移動前並非以 uniformly distributed 的方式來選擇下個行進方向的角度,導致前面的空間分佈也不會是 uniformly distribution 的方式做分佈。
我們便來探討角度的選擇,在本篇中角度的 PDF 是由 node 所在的 system area 的形狀以及其出發的位置來做決定,接下來便會開始從一維的線段開始分析,再到二維的 circular system area。
One-dimensional line
在線段上,在定點上行動只有左、右兩種選擇; 並且移動目的的選擇為 uniform distribution,所以我們可得角度的 PDF:
Circular Area
行進方向與中心的夾角
行進方向
起點與中心的夾角
Circular Area (conti.)
我們可以歸納出4個規則:
- 方向的獨立性,於每個 starting waypoints 上 PDF 相同:
- 於 Pr = 0 時,方向為一 uniform distribution PDF:
- 當 Pr != 0 時,方向會在 theta 接近 0 時最大、接近 pi 時最小(由於前面提過的空間分佈、愈近中心其機率愈高):
- 最後,其機率分佈呈現對稱性:
Circular Area (conti.)
接下來一樣透過 CDF 的 conditional probability (條件為 r,為 starting point 到圓心的距離) 的微分來獲得 theta 角度的機率分佈關係!
為灰色區域的部份(也是 destination 的可能位置)
而 A 的面積會跟移動距離( l )以及與圓心距離( r ) 有關
Circular Area (conti.)
對 CDF 做微分來獲得方向的機率分佈(都有 conditional):
取隨機變數(r, phi)的邊界做積分消除 conditional probability,獲得方向的機率分佈:
Circular Area (conti.)
結果顯示:
Cell Change Rate
Discussion
討論
在前面的部份主要都是在 cell 內做討論(length、time、direction),現在則開始討論不同 cell 間的問題,也就是 cell change rate。
為何討論 cell change rate? 有兩個原因:
- 使用 network service 時,在切換不同 cell 間需要傳送 signaling traffic 給兩邊的 cell
- RWP model 可以於 cellular network 中塑造 node 的 mobility 行為
而這兩個行為都會傳送 signaling traffic,並且這個 traffic 量會與 cell change rate 有關聯!
Cell change per transition
首先我們來討論,在 "一次移動過程" 中,會需要幾次的 cell changes:
其中 m 代表 transition 的數量,c_i 則代表第 i 次 transition 中的 cell changes 數量。接著我們只要能夠對 c_i 做討論,就可以得到 cell changes 總數的期望值。
Cell changes per unit time
針對每個 unit time 中每個 node 的平均 cell change 次數:
而這個值的意義是為 cell change rate、或是 cell change frequency,對於一個 node 或是一個特定 scenario 中 degree of mobility 很好的測量單位。
Examination
我們來看從速度與 cell 數量調整,來看 cell change rate 的變化:
Conclusion
本篇貢獻
- 對現有 RWP model 的隨機性質做數學分析,並給予其正式的定義與描述
- 本篇分析了幾項性質:
- 兩個 waypoint 之間的 Length、Duration
- nodes 的空間分佈性質,以及對於 pause time 的相依性
- 在移動前選擇的方向( direction angle)
- 於 cellular-structured network 的 RWP model 中 cell changes 的數量 (cell change rate)
- 並通過分析得知,node 的空間分佈會讓 node 趨向於中心做移動的特性
- 本篇透過數學分析的過程,來達到去隨機化的結果,提供 RWP Model 一個數學表示,讓我們在使用這個 model 時,能夠更加了解其性質,與對應的 simulation 結果之間的關係。
Reference
Stochastic Properties of RWP Mobility model.
By Kevin Cyu
Stochastic Properties of RWP Mobility model.
Presentation of course in a 2018 spring.
- 2,036