Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 10
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Estudar os seguintes sistemas dinâmicos:
Corpos sujeitos à força centrípeta.
Corpos sujeitos à força elástica (talvez!).
O giro da Terra em torno do Sol está sujeito a uma força central.
A força central não quer dizer que o objeto em movimento circular será atraído para centro.
A força central varia a direção do vetor velocidade tangencial.
Fr=mrvt2r^
\vec F_{r}=m\frac{v_t^2}{r}\hat r
Removendo a força centrípeta o objeto vai se mover em linha reta a partir da tangente da trajetória circular e com vt=constante.
Movimento sobre efeito de força central
Forças e movimento circular
Forças e movimento circular
A força centrípeta sobre um objeto em movimento circular à rapidez constante nos diz que a soma vetorial das forças exercidas no objeto deve ser direcionada para o centro do círculo, ajustando continuamente a direção do objeto.
Sem essa soma vetorial de forças apontando para dentro, o objeto se moveria em uma linha reta na direção da velocidade tangencial.
Fc
\vec F_c
vt
\vec v_t
Fc=mac
F_c = ma_c
A magnitude da força centrípeta:
Fc=mrvt2
F_c = m\frac{v_t^2}{r}
A força centrípeta é uma força central que varia a direção da velocidade tangencial.
Forças e movimento circular
A magnitude da força necessária para fazer um objeto mover em movimento circular à rapidez constante depende da rapidez do objeto e o raio da trajetória.
A força para dentro necessária para fazer um objeto se mover em movimento circular aumenta com o aumento da rapidez e diminui com o aumento do raio.
A força centrípeta é função da massa, da velocidade tangencial e do raio.
A magnitude da força centrípeta:
r∣Δr∣=vt∣Δvt∣
\frac{|\Delta \vec r|}{r} = \frac{|\Delta \vec v_t|}{v_t}
⇒ac=rvt2
\Rightarrow a_c =\frac{v_t^2}{r}
⇒Δt∣Δvt∣=rvtΔt∣Δr∣
\Rightarrow \frac{|\Delta \vec v_t|}{\Delta t} = \frac{v_t}{r}\frac{|\Delta \vec r|}{\Delta t}
Fc=mac
F_c = m a_c
⇒Fc=mrvt2
\Rightarrow F_c = m \frac{v_t^2}{r}
Fonte: Eric Mazur
Fonte: Eric Mazur
Quando os dois discos se movem a mesma rapidez sobre círculos de raios diferentes
o disco no círculo menor tem maior variação da velocidade em um dado intervalo de tempo.
Forças e movimento circular
Exemplo 1 (A11.P1-11)
Fonte: https://www.nicepng.com
A componente horizontal da força de contato da superfície (s) sobre a moto (m) - força de atrito
A força centrípeta se deve:
Fcp=mac
F_{cp}= ma_c
x
x
y
y
ac
\vec a_c
normal
N
\vec N
contato
Fsmc
\vec F^c_{sm}
atrito estático
Fat
\vec F^{at}
peso
P
\vec P
Fat=mac
F^{at}=ma_c
A força centrípeta é igual à força de atrito estático que permite fazer a curva.
vt=μerg
v_t = \sqrt{\mu_e r g}
r=μegvt2
r=\frac{v_t^2}{\mu_eg}
μe=rgvt2
\mu_e=\frac{v_t^2}{rg}
Fat=mrvt2
F^{at}=m\frac{v_t^2}{r}
r=2m
r=2 \text{m}
tan(θ)=rgvt2
\tan(\theta) =\frac{v_t^2}{rg}
θ
\theta
μe=tan(θ)
\mu_e = \tan(\theta)
Fsmccosθ=mg
F^c_{sm}\cos\theta = mg
Fsmcsinθ=macp
F^c_{sm}\sin\theta = ma_{cp}
Forças e movimento circular
Exemplo 2 (A11.P1-10)
componente horizontal da tensão
Tx
\vec T_x
componente vertical da tensão
Ty
\vec T_y
ac
\vec a_c
x
x
y
y
contato
Fcbc=T
\vec F^c_{cb}=\vec T
P
\vec P
peso
Fcp=mac
F_{cp}=ma_c
Tx=mac
T_x=ma_c
A componente horizontal da força de contato da corda (c) sobre a bola (e).
A força centrípeta se deve:
A força centrípeta é igual à componente horizontal da força de tensão:
vt=tan(θ)rg
v_t = \sqrt{\frac{r g} {\tan(\theta)}}
θ
\theta
r=2m
r=2 \text{m}
Fcbcsinθ=mg
F^c_{cb}\sin\theta= mg
→θ não pode ser zero!
Fcbccosθ=macp
F^c_{cb}\cos\theta= ma_{cp}
tan(θ)=vt2rg
\tan(\theta) =\frac{rg}{v_t^2}
Sobre a massa há apenas duas forças: Tração T de direção e magnitudes que variam e Peso P de direção e magnitudes que não variam.
No referencial adotado as forças peso e tração têm as seguintes componentes:
Ptan=Psenθ
P_{tan} = P \text{sen}\theta
Prad=Pcosθ
P_{rad} = P \text{cos}\theta
Ttan=0
T_{tan} = 0
Trad=T
T_{rad} = T
A força resultante ao longo da trajetória é Ptan.
−mgsen(θ)=mat
-mg\text{sen}(\theta)=ma_t
A força resultante normal à trajetória é T−Prad.
T−mgcos(θ)=mrvt2
T-mg\cos(\theta)=m\frac{v_t^2}{r}
W é a força peso (weight)
Forças e movimento circular
Exemplo 3: Pêndulo simples
tangencialradialEm cada direção as forças não são constantes.
Fonte: https://pin.it/2SEybXWForças e movimento circular
Os pequenos satélites da Starlink, orbitam a Terra em alturas entre 500 a 1200 km acima da superfície da Terra.
O objetivo é estabelecer um serviço mundial de Internet de banda larga confiável e fácil acesso.
Os satélites operam em órbita terrestre baixa (LEO), o que resulta em latência mais baixa e taxas de transferência de dados (20 milisegundos) mais rápidas do que os satélites geoestacionários típicos (600 milisegundos) que orbitam em altas altitudes (36 000 km).
É importante criar mecanismos que controlem a distância entre o satélite e o centro da Terra, pois isso afeta a velocidade e o período do satélite.
Exemplo 3: Satélites
O que mantém os satélites em órbita é a física newtoniana, em primeira aproximação:
Forças e movimento circular
A força centrípeta resultante que atua sobre este satélite em órbita é dada pela relação:
Fcp=msatRv2
F_{cp} = m_{sat}\frac{v^2}{R}
Fgrav=R2GMTmsat
F_{grav}=\frac{G M_T m_{sat}}{R^2}
A equação para a velocidade do satélite movendo-se em uma órbita circular em torno da Terra:
Fcp=Fgrav
F_{cp} = F_{grav}
v2=RGMT
v^2 = \frac{GM_T}{R}
A velocidade para completar a órbita circular ΔS=2πR num período T:
v=RGMT
v = \sqrt{\frac{GM_T}{R}}
v=T2πR
v = {\frac{2\pi R}{T}}
O período T e a velocidade não dependem da massa do satélite:
T2=GMT4π2R3
T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{G M_{T}}
T2=kR3
T^2 =kR^3
Terceira lei de Kepler
Exemplo 3: Satélites
Forças e movimento circular
STARLINK-30856
v=RT+hGMT
v = \sqrt{\frac{GM_T}{R_T+h}}
v=RT+hGMT
v = \sqrt{\frac{GM_T}{R_T+h}}
Os satélites estão sujeitos à terceira lei de Kepler
Exemplo 3: Satélites
Forças e movimento circular
Exemplo 4 (A11.P1-17):
Uma bola de 500 g move-se em um círculo vertical presa por um barbante de 102 cm de comprimento. Se a velocidade no topo vale 4,0 m/s, o valor da velocidade no fundo será 7,5 m/s.
a. Quanto vale a força gravitacional exercida sobre a bola?
b. Quanto vale a tensão no barbante quando a bola se encontra no topo?
c. Quanto vale a tensão no barbante quando a bola se encontra no fundo?
Forças e movimento circular
Exemplo 5 (A11-P1-09):
Um cubo está sobre uma plataforma giratória, girando inicialmente a rapidez constante.
A rapidez angular da plataforma giratória é aumentada lentamente e, em um instante, o cubo desliza para fora da plataforma giratória.
Explique por que isso acontece.
Forças e movimento circular
Exemplo 6:
Quando um avião viaja a velocidade (vetorial) constante na horizontal, suas turbinas ou hélices “sentem” uma força horizontal para a frente. A atuação do ar no corpo e nas asas do avião exerce uma força com uma componente horizontal para traz, que é uma força de atrito, e outra componente (E) vertical para cima, que sustenta o avião.
(a) Por que o avião não consegue fazer uma curva na horizontal sem inclinar as asas?
(b) Qual o ângulo que as asas devem ser inclinadas para que o avião realize uma curva na horizontal de raio R?
Forças e movimento circular
Exemplo 7 (A11-P1-13):
Uma curva de 30,0 m de raio é inclinada de um ângulo θ. Isto é, a normal da superfície da estrada forma um ângulo com a vertical. Encontre θ para que o carro percorra a curva a 40,0 km/h, mesmo se a estrada está coberta de gelo, o que a torna praticamente sem atrito.
A força elástica
Força elástica
Crédito: https://youtu.be/JhJzdtzl6KYCrédito: https://youtu.be/0EEHuh5q2p8Simulação
Mundo real
Força elástica
Crédito: https://youtu.be/z9oaeBcXKU4Mundo real
Tecnologia
Força elástica
Como chegar até lá? Passo 1: Aprender o básico.
Fpela mola=−Faplicada na mola
\vec F_{\text{pela mola}} = -\vec F_{\text{aplicada na mola}}
A força que a mola exerce tem mesma direção, magnitude e sentido oposto à força aplicada.
A força aplicada pela mola tem sentido oposto à deformação.
É conhecida por Lei de Hooke, apesar de ser válida apenas no regime elástico, isto é, para pequenas deformações.
Fpela mola=−k(x−x0)
F_{\text{pela mola}} = -k(x-x_0)
É chamada de uma força restauradora.
A força elástica (uma força de contato)
Diferente das demais forças (peso, normal, tensão, tração, atrito, etc.) a força elástica é uma força variável.
No intervalo elástico a deformação é proporcional à força elástica.
Felaˊstica=−k(x−x0)
F_{\text{elástica}} =- k(x-x_0)
É possível combinar molas para obter forças e deformações distintas.
A constante da mola k é uma medida quantitativa da rigidez da mola. Tem unidade S.I. de newton/metro: N/m.
Diferentes molas têm valores diferentes de k, dependendo de como elas respondem à compressão e ao alongamento.
A força elástica (uma força de contato)
É possível alterar a constante mola associando molas.
O gráfico mostra o componente x do deslocamento da extremidade livre da mola de sua posição relaxada em x0 versus a força aplicada à mola.
regime elástico
regime plástico
ponto de ruptura
k=ΔxΔF
k=\frac{\Delta F}{\Delta x}
k=0,01m25 N
k=\frac{25\text{ N}}{0,01\text{m}}
k=2,5×103 N/m
k=2,5\times 10^3\text{ N/m}
Na verdade é uma bola bastante rígida!
Intervalo elástico
x−x0 (cm)
Fa (N)
A força elástica (uma força de contato)
Mola macia
Mola dura
Poste de aço
Fmtc
\vec F^c_{mt}
Fmtc
\vec F^c_{mt}
Fmtc
\vec F^c_{mt}
FTtg
\vec F^g_{Tt}
FTtg
\vec F^g_{Tt}
FTtg
\vec F^g_{Tt}
Para uma mesma força aplicada (peso) a deformação é maior para a mola macia
Fonte: Eric Mazur
Fonte: Eric Mazur
Podemos modelar qualquer superfície como um conjunto de molas. Quanto mais rígida a superfície maior o valor da constante elástica e menor será a deformação para uma mesma força aplicada.
Fec=kΔx
F^c_{e}=k\Delta x
kmacia<kdura<kac¸o
k_{\text{macia}} < k_{\text{dura}} < k_{\text{aço}}
Δxmacia>Δxdura>Δxac¸o
\Delta x_{\text{macia}} > \Delta x_{\text{dura}} > \Delta x_{\text{aço}}
Δx=kmg
\Delta x=\frac{mg}{k}
A força elástica (uma força de contato)
Exemplo 8
Um livro de inércia de 1,2 kg é colocado no topo da mola na figura. Qual é o deslocamento da extremidade superior da mola da posição relaxada quando o livro está parado em cima da mola de constante de mola k=2,5×103 N/m?
Fmlc
\vec F^c_{ml}
FTlg
\vec F^g_{Tl}
⋅a=0
\cdot \quad\vec a =0
+x
+x
x0
x_0
x
x
Δx
\Delta x
∑F=mla
\sum \vec F = m_l\vec a
Fmlc+FTlg=mla
\vec F^c_{ml}+\vec F^g _{Tl}= m_l\vec a
Fe−P=ml0
F_e-P= m_l0
Fe−P=0
F_e-P= 0
−kΔx−mg=0
-k\Delta x-mg= 0
Δx=−kmg
\Delta x = -\frac{mg}{k}
Δx=−2,5×103 N/m(1,2 lg)(9,8m/s2)=
\Delta x = -\frac{(1,2\text{ lg})(9,8\text{m/s}^2)}{2,5\times 10^3\text{ N/m}}=
−4,7×10−3 m
-4,7\times 10^{-3}\text{ m}
O deslocamento é negativo, pois houve uma compressão da mola.
Fonte: Tipler & Mosca
A força elástica (uma força de contato)
Exemplo 9
Um jogador de basquete de 110 kg segura o aro enquanto enterra a bola (Figura 4-12). Antes de cair, ele fica suspenso seguro ao aro, cuja parte frontal fica defletida de uma distância de 15 cm. Suponha que o aro possa ser aproximado por uma mola e calcule a constante de força k.
Fe
\vec F_{e}
Fp
\vec F_{p}
⋅a=0
\cdot \quad\vec a =0
+x
+x
∑F=maroaaro
\sum \vec F = m_{aro}\vec a_{aro}
Fe+Fp=0
\vec F_e+\vec F_p = \vec 0
Fe−Fp=0
F_e-F_p=0
k=−Δxmg
k = -\frac{mg}{\Delta x}
k=−−0,15m(1,2 lg)(9,8m/s2)=
k = -\frac{(1,2\text{ lg})(9,8\text{m/s}^2)}{-0,15 \text{m}}=
7,2×103 N/m
7,2\times 10^{3}\text{ N/m}
O deslocamento é negativo, é contrário ao referencial que é positivo para cima.
Isso significa que a força elástica fica com valor positivo (sentido do referencial)
Fonte: Tipler & Mosca
−kΔx−mg=0
-k\Delta x -mg=0
A força elástica (uma força de contato)
Imagine que tenhamos uma mola alongada, de pequena massa, com uma dureza de k=100 N/m. Se pendurarmos um bloco de peso igual a 100 N (cerca de 10 kg de massa) na ponta da mola, a mola esticará 1,00 m.
keqΔxeq=mg
k_{eq}\Delta x_{eq}=mg
keq=Δxeqmg
k_{eq}=\frac{mg}{\Delta x_{eq}}
As molas em série têm a metade da dureza de uma única mola.
Exemplo 10
Fe=P
F_e=P
Fe=P
F_e=P
−k1Δx1−k2Δx2=−keqΔxeq
-k_1\Delta x_1-k_2\Delta x_2=-k_{eq}\Delta x_{eq}
−k1(x−x0)−k2(x−x0)=−keq(2x−2x0)
-k_1(x-x_0)-k_2(x-x_0)=-k_{eq}(2x-2x_0)
keq=2k1+k2
k_{eq}=\frac{k_1+k_2}{2}
keq=50 m N
k_{eq}=50
\frac{\text{ N}}{\text{ m}}
keq=50 m N
k_{eq}=50
\frac{\text{ N}}{\text{ m}}
⇒
\Rightarrow
kΔx=mg
k\Delta x=mg
⇒
\Rightarrow
100Δx=(10)(9,8)
100\Delta x = (10)(9,8)
⇒
\Rightarrow
Δx=0,98 m
\Delta x = 0,98\text{ m}
⇒
\Rightarrow
Fonte: https://www.cleanpng.com
x0
x_0
x
x
x0
x_0
x
x
Juntamos duas molas idênticas pelas pontas (em “série”) para fazer uma mola mais longa. Qual é a dureza da mola mais longa (mola equivalente)?
x0
x_0
x
x
A força elástica (uma força de contato)
Imagine que tenhamos uma mola alongada, de pequena massa, com uma dureza de k=100 N/m. Se pendurarmos um bloco de peso igual a 100 N (cerca de 10 kg de massa) na ponta da mola, a mola esticará 1,00 m.
keqΔxeq=mg
k_{eq}\Delta x_{eq}=mg
keq=Δxeqmg
k_{eq}=\frac{mg}{\Delta x_{eq}}
As molas em paralelo têm o dobro da dureza de uma única mola.
Exemplo 11
Fe=P
F_e=P
Fe=P
F_e=P
−k1Δx1−k2Δx2=−keqΔxeq
-k_1\Delta x_1-k_2\Delta x_2=-k_{eq}\Delta x_{eq}
−k1(x−x0)−k2(x−x0)=−keq(x−x0)
-k_1(x-x_0)-k_2(x-x_0)=-k_{eq}(x-x_0)
keq=k1+k2
k_{eq}={k_1+k_2}
keq=200 m N
k_{eq}=200
\frac{\text{ N}}{\text{ m}}
keq=200 m N
k_{eq}=200
\frac{\text{ N}}{\text{ m}}
⇒
\Rightarrow
kΔx=mg
k\Delta x=mg
⇒
\Rightarrow
100Δx=(10)(9,8)
100\Delta x = (10)(9,8)
⇒
\Rightarrow
Δx=0,98 m
\Delta x = 0,98\text{ m}
⇒
\Rightarrow
Fonte: https://www.cleanpng.com
Juntamos duas molas idênticas pelas pontas (em “paralelo”) para fazer uma mola mais larga. Qual é a dureza da mola mais larga (mola equivalente)?
x0
x_0
x
x
10kg
10\text{kg}
x0
x_0
x
x
A força elástica (uma força de contato)
Aula 10 Fundamentos da Mecânica Prof. Ronai Lisbôa UFRN - ECT - BCT
FM - Aula 10
By Ronai Lisboa
FM - Aula 10
Dinâmica. Aplicações das leis de Newton. Força centrípeta.
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