Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 13
Fundamentos de Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Saber como obter a energia potencial a partir da força.
Saber como obter a força a partir da energia potencial.
Analisar os tipos/pontos de equilíbrio em uma curva de energia potencial.
Verificar se uma força é conservativa ou não.
Referência: Tipler & Mosca. Capítulo 7
e Seção 11.3
Verifique no SIGAA questões recomendadas
Qual caminho seguir?
Para a força gravitacional, tanto faz o caminho.
Para o seu organismo é preferível o sinuoso, pois leva mais tempo, enquanto que o trabalho seja o mesmo (a velocidade deve ser constante).
Potência=\frac{W}{\Delta t}
A força gravitacional é uma força dita conservativa.
Um carrinho, inicialmente viajando para a direita, bate em uma mola. O carrinho interage com a mola, que está ancorada na Terra.
A força elástica é uma força dita conservativa.
A interação é reversível porque você não pode dizer se o tempo vai de \(t_1\) a \(t_5\) ou vice-versa.
A energia cinética do carrinho em uma determinada posição x deve ser a mesma no caminho da ida e no caminho da volta. Por exemplo, nos instantes inicial e final enquanto há interação:
E= 9\text{J}+0\text{J}
E= 2\text{J}+7\text{J}
E= 0\text{J}+9\text{J}
E= 2\text{J}+7\text{J}
E= 9\text{J}+0\text{J}
ida
volta
Identificando forças conservativas
W_{total} = \Delta K
\Delta K +\Delta U = 0
\Delta U = -\Delta K
W_{total} = 0
\Delta U = 0
\Delta K +\Delta U = 0
E_{mec} = 9 J
Uma força é conservativa se o trabalho em um caminho fechado é nulo!
A partir da definição do trabalho de uma força:
W_{P\rightarrow Q} = \int_P^Q \vec F_c\cdot d\vec r
Se a força é conservativa, o trabalho tem sempre o mesmo valor independente da trajetória escolhida.
W^1_{P\rightarrow Q} = W^2_{P\rightarrow Q}
Identificando forças conservativas
No sentido contrário, ao longo do caminho 2:
W^2_{Q\rightarrow P} = -W^2_{P\rightarrow Q}
W = \oint \vec F_c\cdot d\vec r \equiv 0
W =W^2_{P\rightarrow Q}-W^2_{P \rightarrow Q}
O trabalho total no caminho fechado:
W =W^1_{P\rightarrow Q}+W^2_{Q \rightarrow P}
Trabalho feito sobre 2 durante o movimetno de P a Q é o mesmo para ambos os caminhos
Para o caminho fechado, o trabalho feito sobre 2 é zero.
Fonte: Eric Mazur
Se a força é conservativa, então existe uma função energia potencial:
podemos multiplicar ambos lados da equação pelo produto escalar pelo deslocamento infinitesimal \(dr\,\hat r\):
Integrando de uma posição inicial até outra final, temos uma integral de linha:
\vec F = -\frac{dU}{dr}\hat r
\vec F \cdot dr \hat r
=
-\frac{dU}{dr} \hat r
\cdot
dr\hat r
\vec F \cdot d\vec r
=
-dU
\int_{r_i}^{r_f}dU=-\int_{r_i}^{r_f}\vec F \cdot d\vec r
ou
\int_{r_i}^{r_f}dU=-\int_{r_i}^{r_f}dW
\Rightarrow \Delta U = -W
\Delta U = -\Delta K
\Rightarrow
\vec F \cdot d\vec r
=
-\frac{dU}{dr} dr\,
\hat r\cdot
\hat r
=1
\Delta U + \Delta K = 0
\Delta E = 0
Identificando forças conservativas
A energia potencial é uma função única da posição.
U=U(x)
No ponto de equilíbrio a energia potencial é mínima e a energia cinética é máxima.
Nos pontos de retorno a energia potencial é máxima e a energia cinética é mínima.
A Energia Mecânica é conservada no sistema massa-mola porque a força elástica é conservativa.
=K
+U
Se não houver dissipação, a soma das energias cinética e potencial deste sistema fechado é constante.
E_{mec}
Identificando forças conservativas
O objeto tende a ser acelerado na direção em que a energia potencial é menor, independentemente da direção original do movimento porque a força elástica é conservativa
Do ponto 1 para o ponto 2: Equilíbrio p/ Retorno.
A energia cinética diminui e a energia potencial aumenta. A velocidade diminui à medida que a mola comprimi-se. O movimento é retardado.
Do ponto 2 para o ponto 1:
A energia cinética aumenta e a energia potencial diminui. A velocidade aumenta à medida que a mola alonga-se. O movimento é acelerado.
1
2
2
1
Identificando forças conservativas
Qual a energia necessária para sair do poço de potencial?
A pipoca vai saltar mais facilmente na panela mais rasa.
O poço de potencial é maior para a panela mais funda.
A pipoca vai pular da panela quando no mínimo, a sua energia cinética for igual à energia potencial.
E = K + U
E = \frac{1}{2}mv^2 + mg(y_f-y_i)
v_{escape}=\sqrt{-2g(y_f-y_i)}{}
A velocidade de escape quando \(K=U\) é:
E
K=E-U<0
U
A pipoca fica ligada à panela:
y_f
y_i
-h
pois não tem energia cinética suficiente para escapar do poço de potencial.
Qual a energia necessária para sair do poço de potencial?
A energia cinética para lançar algo para fora do poço deve ser, no mínimo, igual à energia potencial do poço.
E = K + U
E = \frac{1}{2}mv^2 + mg(y_f-y_i)
y_f
y_i
v_{escape}=\sqrt{-2g(y_f-y_i)}{}
A velocidade de escape quando \(K=U\) é:
E
K=E-U\geq 0
U
Algo não fica ligado ao poço
y_f
y_i
-h
pois tem energia cinética suficiente para escapar do poço de potencial.
Qual a energia necessária para sair do poço de potencial?
A energia cinética para lançar um foguete para fora do poço de potencial da Terra deve ser, no mínimo, igual à energia potencial do poço.
E = K + U
E = \frac{1}{2}mv^2 -\frac{GMm}{R_T}
y_f
v_{escape}=\sqrt{\frac{2GM}{R_T}}
A velocidade de escape quando \(K=U\) é:
y_i
Por que próximo à superfície da Terra?
\Delta U(y)=mg\Delta y
Por que longe da superfície da Terra?
\Delta U(y)=-\frac{GMm}{r}
A função energia potencial
A força conservativa é numericamente igual à inclinação da curva em um gráfico de U(x) verus x.
F = -\frac{dU}{dx}
Fonte: Randall Knight
A função energia potencial
É interessante analisar os pontos de retorno e os pontos de equilíbrio.
F = -\frac{dU}{dx}
Considere uma energia total E = 5,0 J
E = U + K
Se K = E - U, temos que U ≤ E;
A partícula não será observada na região \(x<x_1\).
A força é positiva e atua no sentido do eixo x positivo;
K não pode ser negativa;
K será mínima em \(x_1\): K = 0 J.
U será máxima em \(x_1\): U = E =5,0 J.
Em \(x_2\):
K será máxima: K = E = 5,0 J.
U será mínima: U = 0 J.
Em \(x_5\):
A partícula é livre e se move com velocidade constante.
Fonte: Wolfgang & Bauer
A função energia potencial
Para E = 4 J.
Os pontos de retorno são \(x_1\) e \(x_5\).
Para \(x > x_5\) o equilíbrio é dito indiferente.
Para E = 3 J.
Os pontos de retorno estão entre \(x_1,x_3\) e \(x_3,x_5\).
Para \(x = x_3\) o equilíbrio é instável.
Para E = 1 J. A partícula oscila em torno do ponto de equilíbrio estável \(x=x_2\). Há uma força restauradora.
No ponto de equilíbrio estável \(x=x_4\) a partícula não se move.
É interessante analisar os pontos de retorno e os pontos de equilíbrio.
F = -\frac{dU}{dx}
E = U + K
Fonte: Wolfgang & Bauer
A função energia potencial
As ligações moleculares obedecem a uma função energia potencial. A força pode ser repulsiva ou atrativa dependendo da região onde se definir a energia do sistema.
Potencial de Lennard-Jones:
Força de Lennard-Jones:
Ponto de mínimo, \(F(x_{min}) =0\) e \(U ''(x)=0\):
Exemplo 1 (A10.P2-01)
Para calcular o trabalho realizado por uma força \(\vec F\) ao longo de uma curva fechada (ou de um caminho fechado) C, calculamos \(\oint \vec F\cdot d\vec l\) , onde o círculo no sinal de integral significa que a integração é efetuada para um percurso completo ao longo de C. Para \(\vec F(x) = Ax\hat i\) , calcule \(\oint \vec F\cdot d\vec l\) para o caminho C mostrado na figura.
Fonte: Tipler & Mosca
Exemplo 2 (A10.P2-02)
A Figura mostra o gráfico de uma função energia potencial U versus x. (a) Para cada ponto indicado, informe se a componente x da força associada a esta função é positiva, negativa ou zero. (b) Em que ponto a força tem a maior magnitude? (c) Identifique possíveis pontos de equilíbrio, indicando se o equilíbrio é estável, instável ou indiferente.
Fonte: Tipler & Mosca
Exemplo 3 (A10.P2-03)
A energia potencial de um corpo restrito ao eixo \(x\) é dada \(U(x) = 8x^2-x^4\). Determine a força \(F_x\) associada a esta função energia potencial. (b) Supondo que não haja outras forças atuando sobre o corpo, em que posições o corpo está em equilíbrio? (c) Quais destas posições de equilíbrio são estáveis e quais são instáveis?
Exemplo 4 (A10.P2-04)
Uma força é dada por \(F(x) = Ax^{-3}\), onde A = 8,0 \(N.m^3\). (a) Para valores positivos de \(x\), a energia potencial associada a esta força aumenta ou diminui com o aumento de \(x\)? (Você pode encontrar a resposta para esta questão imaginando o que acontece com uma partícula que é colocada em repouso em algum ponto \(x\) e depois largada.) (b) Encontre a função energia potencial U associada a esta força, tal que \(U\) tende a zero quando x tende a infinito. (c) Esboce \(U\) versus \(x\).
Exemplo 5
A energia potencial de um corpo restrito ao eixo x é dada \(U(x) = 3x^2 - 2x^3\). Determine a força \(F_x\) associada a esta função energia potencial. (b) Supondo que não haja outras forças atuando sobre o corpo, em que posições o corpo está em equilíbrio? (c) Quais destas posições de equilíbrio são estáveis e quais são instáveis?
Exemplo 6 (A7.P2-02)
Escolha um nível de referência para a energia potencial gravitacional de uma preguiça. Este exemplo ilustra um ponto importante: A escolha da configuração de referência para a energia potencial é arbitrária, mas deve ser mantida durante toda a resolução do problema. Uma preguiça, pesando 2,0 kg, está pendurada a 5,0 m acima do solo (a) Qual é a energia potencial gravitacional U do sistema preguiça-Terra se tomarmos o ponto de referência y = 0 como estando (1) no solo, (2) no piso de uma varanda que está a 3,0 m acima do solo, (3) no galho onde está a preguiça, e (4) 1,0 m acima do galho? Considere a energia potencial como nula em y = 0. (b) A preguiça desce da árvore. Para cada escolha do ponto de referência, qual é a variação ΔU da energia potencial do sistema preguiça-Terra?
Fonte: Halliday & Resnick
Exemplo 7
Uma partícula participa de apenas uma interação com um objeto fixo. A interação faz com que a energia potencial seja armazenada no sistema de objeto de partícula conforme a partícula se move ao longo de um eixo x. A partícula é liberada do repouso em x0 = -3,0 m, e a quantidade de energia potencial armazenada (em joules) é dada por \(U(x) = ax + bx^2+cx^3\), onde a = +12 J/m, b = +3,0 J/m^2, e c = -2,0 J/m^3. (a) Faça um gráfico da energia potencial que também exiba a energia mecânica da partícula. (b) Em qual direção a partícula se move inicialmente? (c) Descreva o movimento da partícula após a posição x0. (d) Em quais posições ao longo da curva que você desenhou na parte (a) a partícula está acelerando e em quais posições ela está desacelerando? (e) Qual é a energia cinética da partícula em x = -1,0 m, x = + 1,0 m, e x = +3,0 m.
Exemplo 8
Em 2013, um grande meteoro, com uma massa estimada em 1,2 × 10^7 kg, caiu na Terra em uma região próxima a Chelyabinsk, na Rússia. (Esse meteoro explodiu de modo espetacular a uma altura de cerca de 30 km, causando um dano considerável em objetos na superfície da Terra.) Considere um meteoro de mesma massa caindo em direção à Terra. Escolha a Terra mais o meteoro como sistema. Qual é a variação da energia cinética do meteoro, quando ele cai desde uma altura de 1 × 10^8 m do centro da Terra até uma altura de 1 × 10^7 m? Explique os sinais das variações de energia cinética e energia potencial do sistema.
Exemplo 9
Uma nave espacial robô aterriza em um asteroide, coleta uma amostra e parte de volta em direção à Terra; sua massa total é 1500 kg. Quando ela está a uma distância de 200 km (2 × 10^5 m) do centro do asteroide, sua velocidade escalar é 5,0 m/s e os seus foguetes são desligados. Ela segue viagem, e, quando está a 500 km (5 × 10^5 m) do centro do asteroide, sua velocidade escalar diminui para 4,1 m/s. (a) Faça um diagrama mostrando os estados inicial e final, identificando-os. (b) Faça um gráfico de energia do sistema. (c) Considere uma velocidade de lançamento inicial menor.
Fonte: Ruth & Sherwood
Não ministrado
A energia potencial gravitacional
Se escolhermos o eixo x apontando para a direita, conforme indicado na figura, a componente x da força exercida pelo objeto 1 no objeto 2 quando o objeto 2 está em alguma posição arbitrária x é
F^G_{12}=-G\frac{m_1m_2}{x^2}=F(x)
A força gravitacional varia com a distância e, portanto, para avaliar o trabalho feito pelo objeto 1 no objeto 2:
W_{12}=\int_{x_i}^{x_f} F(x)dx
W_{12}=Gm_1m_2
\left(\frac{1}{x_f}-\frac{1}{x_i}
\right)
Fonte: Erick Mazur
Fonte: Erick Mazur
W=Gm_1m_2
\left(\frac{1}{x_f}-\frac{1}{x_i}
\right)
Como a força e o deslocamento apontam na mesma direção, sabemos que o trabalho deve ser positivo. De fato, o lado direito também é positivo porque \(x_f < x_i\).
À medida que o objeto 2 se move de \(x_i\) para \(x_f\), ele acelera e, portanto, sua energia cinética aumenta.
Como nenhuma outra energia associada a ele muda, o aumento na energia cinética deve ser igual ao trabalho feito nele pelo objeto 1:
W_{12}=\Delta K_2 > 0
A energia potencial gravitacional
Fonte: Erick Mazur
\Delta U^G=-\Delta K_2
Agora, consideramos o sistema (fechado) dos dois objetos interativos como um todo, então o aumento na energia cinética do objeto 2 não se deve ao trabalho feito pela força gravitacional externa exercida pelo objeto 1 sobre ele, mas a uma diminuição na energia potencial gravitacional do sistema
Essa energia potencial gravitacional é uma medida da configuração do sistema. A mudança na energia potencial gravitacional do sistema é, portanto,
A energia potencial gravitacional
À medida que o objeto 2 se move de \(x_i\) para \(x_f\), ele acelera e, portanto, sua energia cinética aumenta.
Fonte: Erick Mazur
\Delta U^G=-\Delta K_2
Então, se deixarmos o objeto 2 se mover de x = ∞ para uma posição arbitrária x sob a influência da aceleração gravitacional devido ao objeto 1:
\Delta U^G=-Gm_1m_2
\left(\frac{1}{x_f}-\frac{1}{x_i}
\right)
\Delta U^G=Gm_1m_2
\left(\frac{1}{x_i}-\frac{1}{x_f}
\right)
A variação energia potencial gravitacional, em relação ao infinito:
\Delta U^G=-
\left(\frac{Gm_1m_2}{x}
\right)
A energia potencial gravitacional
A força gravitacional que a Terra exerce sobre um satélite é conservativa.
Ao longo do segmento RQ (arco de um círculo), tal força é perpendicular ao deslocamento. O trabalho é nulo.
Ao longo do segmento PR (reta), a força tem a mesma direção e sentido contrário ao deslocamento e não é nulo.
W_{R\rightarrow Q} = \int_R^Q \vec F^G_{12}\cdot d\vec r=0
Força gravitacional sobre o satélite
trajetória real
W_{P\rightarrow R} = \int_P^R \vec F^G_{12}\cdot d\vec r\neq 0
F^G_{12}(x)=-G\frac{m_1m_2}{x^2}
A energia potencial gravitacional
Fonte: Erick Mazur
O trabalho da força gravitacional nos segmentos PQ ( próximo da trajetória real) é,
Uma melhor aproximação do caminho real do objeto 2 pode ser obtida dividindo o movimento em pequenos segmentos e aproximando cada segmento pela soma dos deslocamentos radiais e circulares:
Nenhum trabalho é feito aqui
Segmentos radiais se somam até o comprimento de PR
W_{P\rightarrow Q} = \sum W_{P\rightarrow r} + \sum W_{r\rightarrow q}
W_{P\rightarrow Q} = \int_P^r \vec F^G_{12}\cdot d\vec r
+
\int_r^Q \vec F^G_{12}\cdot d\vec r
W_{P\rightarrow Q} = \int_P^Q \vec F^G_{12}\cdot d\vec r
W_{P\rightarrow Q}=Gm_1m_2
\left(\frac{1}{r_Q}-\frac{1}{r_P}
\right)
O trabalho de uma força conservativa depende apenas dos pontos inicial (\(r_Q\)) e final \(r_P\) e não depende da trajetória.
A energia potencial gravitacional
Fonte: Erick Mazur
Para um satélite em órbita, nós temos:
F_r=\frac{mv^2}{r}
A energia potencial gravitacional
\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}
mv^2 =\frac{GMm}{r}
Dividindo ambos os lados por um fator 2:
\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\frac{GMm}{r}
A energia mecânica do sistema:
E=K+U
E = \frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}
K = \frac{1}{2}|U|
E =- \frac{GMm}{2r}
E=-K
A velocidade orbital e escape são:
v_t=\sqrt{\frac{GM}{r}}
A energia total do sistema é negativa e igual, em valor absoluto, à energia cinética nessa órbita.
v_e=\sqrt{2}v_t
Fonte: Erick Mazur
Para \(E_{mec}\) negativa, o satélite está ligado ao planeta: ele não pode escapar para o infinito porque não tem energia cinética suficiente. As órbitas são circulares ou elípticas.
Para \(E_{mec}\) positiva, o satélite não está ligado porque tem energia suficiente para “escapar” para o infinito. Nesse caso, a energia potencial gravitacional é sempre menor do que \(E_{mec}\), ainda há uma quantidade positiva de energia cinética. As órbitas são hipérboloes ou parábolas.
A energia potencial gravitacional
Fonte: Alonso & Finn
Fonte: Eric Mazur
E = \frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}
Para um satélite, nós temos:
onde \(v\) é a velocidade do satélite e \(r\) é a distância entre o satélite e a planeta.
E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}
Se a energia \(E\) do sistema for negativa, então há um valor \(r = r_{max}\) para o qual \(U^G = E_{mec}\) — toda a energia mecânica está na forma de energia potencial e, portanto, a energia cinética do satélite é zero.
A energia potencial gravitacional
Nessa distância, \(U^G = E\) e \(K=0\).
Região proivida, \(U^G > E\) e \(K<0\).
Para \(r > r_{max}\) para o qual \(U^G > E_{mec}\) a energia cinética do satélite seria negativa e isso não pode ocorrer.
r_{max}=\frac{GMm}{-E_{mec}}
Fonte: Erick Mazur
K
U
FM - Aula 13
By Ronai Lisboa
FM - Aula 13
Energia. A função energia potencial. Pontos de equilíbrio e retorno.
