Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 08
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Estudar os seguintes sistemas dinâmicos:
Corpos sujeitos à força de atrito.
Corpos sujeitos à força de arrasto.
Força de atrito estático e cinético
A força de atrito é observada enquanto o objeto não se move e após entrar em movimento.
Antes do movimento há o regime da Força de Atrito de Estático:
F_{at,e}\leq\mu_eN
O valor máximo da força de atrito estático é \(\mu_e N\) e ocorre na iminência do movimento.
Força de atrito estático e cinético
Após o movimento há o regime da Força de Atrito Cinético:
F_{at,c}=\mu_cN
O coeficiente de atrito cinético é menor do que o coeficiente de atrito estático (\(\mu_c < \mu_e\)) e ambos dependem das superfícies em contato.
Devido as superfícies em contato a força de atrito se ajusta à força aplicada. Um gráfico típico da força de atrito pela força aplicada é observado abaixo.
Força de atrito estático e cinético
F_a < F_{at,e}
F_a < F_{at,e}
F_a > F_{at,c}
A força atrito estático se ajusta à força aplicada até à iminência do movimento.
Forças de atrito
Fonte: https://www.gratispng.com
Fonte: https://pt.wikipedia.org/
Fonte: Chabay & Sherwood
\vec F^c_{bs}
\vec F^c_{sb\|}
\vec F^c_{sb,x}
\vec F^c_{mb}
\vec a = \vec 0
\vec F^c_{sb,x}
\vec F^c_{mb}
\vec a = \vec 0
\vec F^c_{sb,x}
\vec F^c_{mb}
\vec a = \vec 0
Esse atrito exercido por superfícies que não se movem em relação uma a outra é chamado atrito estático.
\vec F_{at,e} \equiv \vec F^c_{sb,x}
Forças de atrito
Fonte: https://www.gratispng.com
Fonte: https://pt.wikipedia.org/
Fonte: Chabay & Sherwood
\vec F^c_{bp}
\vec F^c_{pb,x}
\vec F^c_{sb,x}
\vec F^c_{mb}
\vec a = \vec 0
Esse atrito exercido por superfícies que se movem em relação uma a outra é chamado atrito cinético.
\vec F_{Ro,x}=m_b \vec a
\vec F^c_{mb}
\vec F^c_{sb,x}
\vec a \neq \vec 0
A força de atrito cinético é menor do que a força de atrito estático.
\vec F_{at,c} \equiv \vec F^c_{sb,x}
\mu_c < \mu_e
A força atrito cinético se opõe à velocidade relativa do movimento movimento.
Forças de atrito
A artroplastia artificial do joelho é um procedimento realizado há mais de 20 anos.
Crédito: OpenStax
\mu_c < \mu_e
A força de atrito estático exercida por uma superfície em um objeto é proporcional à força com que o objeto pressiona a superfície e não depende da área de contato.
Para quaisquer duas superfícies 1 e 2:
F_{at,e} \leq \mu_e N
A magnitude máxima da força de atrito estático entre duas superfícies é proporcional à magnitude da força normal exercida pelas superfícies uma sobre a outra.
F_{at,max} = \mu_e N
\theta
\vec v
\cdot
x
y
\vec F^G_{Tb}
\vec F^G_{Tb,y}
\vec F^G_{Tb,x}
\vec N
\vec F_{at,e}
\vec F^c_{sb}
Plano inclinado
A força de atrito cinético exercida por uma superfície em um objeto é proporcional à força com que o objeto pressiona a superfície e não depende da área de contato.
Para quaisquer duas superfícies 1 e 2:
F_{at,c} = \mu_c N
\vec a
\theta
x
y
\vec F^G_{Tb}
\vec F^G_{Tb,y}
\vec F^G_{Tb,x}
\vec N
\vec F_{at,c}
\vec F^c_{sb}
A força atrito cinético entre duas superfícies é proporcional à magnitude da força normal exercida pelas superfícies uma sobre a outra.
F_{at,c} = \mu_c N
Plano inclinado
Exemplo 1
Vamos reconsiderar a situação do praticante de skibunda do exemplo 4, mas agora incluímos o atrito. Um praticante de skibunda desce uma montanha com θ = 22°. Suponha que o coeficiente de atrito cinético entre sua prancha e a neve seja de 0,21, e sua velocidade, que é no sentido da montanha, é de 8,3 m/s em um determinado instante.
- Presumindo uma inclinação constante, qual será a velocidade da pessoa no sentido da montanha após ter percorrido 100 m?
- Quanto tempo leva para que o praticante de snowboard atinja sua velocidade?
- Dado o mesmo coeficiente de atrito, qual teria que ser o ângulo da montanha para que a pessoa deslizasse com velocidade constante?
Exemplo 2
O coeficiente de atrito estático entre o bloco 1 (massa m1 = 2,3 kg) e sua superfície de apoio tem um valor de 0,73, e o coeficiente de atrito cinético tem um valor de 0,60. Se o bloco 2 tem massa m2 = 1,9 kg, o bloco 1 acelerará a partir do repouso?
Exemplo 3
Dois blocos retangulares estão empilhados sobre uma mesa, conforme mostra a Figura. O bloco de cima tem massa de 3,40 kg, e a massa do bloco de baixo é de 38,6 kg. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de baixo e a mesa é 0,260. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é 0,551. Um barbante é preso ao bloco de baixo, e uma força externa é aplicada horizontalmente, puxando o barbante conforme mostrado. Qual é a força máxima que pode ser aplicada ao barbante sem que o bloco de cima deslize?
Você pega um bloco de metal de 3 kg e faz com que deslize sobre um piso cujo coeficiente de atrito é apenas 0,4. Você solta o bloco com uma velocidade inicial de 6,0 m/s. Quanto tempo vai demorar para que o bloco pare? Qual a distância percorrida por ele?
Exemplo 4
\vec v
+y
\otimes
\vec N
\vec P
\vec F_{at}
\vec N
\vec F_{at}
\vec P
+x
Um bloco repousa em um piso.
(a) Qual é o módulo da força de atrito que o piso exerce sobre o bloco?
(b) Se uma força horizontal de 5 N é aplicada ao bloco, mas o bloco não se move, qual é o módulo da força de atrito?
(c) Se o valor máximo \(f_{s,máx}\) da força de atrito estático que age sobre o bloco é 10 N, o bloco se move se o módulo da força aplicada horizontalmente for aumentado para 8 N?
(d) E se o módulo da força for aumentado para 12 N?
(e) Qual é o módulo da força de atrito no item (c)?
Exemplo 5
Exemplo 6
Um caminhante está ajudando um amigo a subir uma colina que faz um ângulo de 30° com o nível do solo. O caminhante, que está mais acima da colina, está puxando um cabo preso ao amigo. O cabo é paralelo ao morro, de modo que também faça um ângulo de 30° com a horizontal. Se o coeficiente de atrito estático entre as solas das botas do caminhante e a superfície da colina for 0,80 e sua inércia for 65 kg, qual é a magnitude máxima da força que ele pode exercer no cabo sem escorregar?
\vec T
\vec N
\vec F_{at,e}
\vec P_{y}
\vec P_{x}
Exemplo 7
Ao projetar um sistema de correia transportadora para um novo aeroporto, você determina que, em uma inclinação de 20°, a magnitude da máxima da aceleração que um cinto de borracha pode dar a uma mala típica antes que a mala comece a escorregar é de 4,0 m/s^2. Qual é o coeficiente de atrito estático para uma mala típica de borracha
belt
\vec N
\vec F_{at,e}
\vec P_{y}
\vec P_{x}
Exemplo 8
Um bloco de motor de massa M está sobre a carroceria de uma caminhonete que viaja em linha reta sobre uma estrada plana com velocidade inicial de 30 m/s. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a carroceria é 𝜇e = 0,540. Encontre a distância mínima em que a caminhonete consegue parar sem que o bloco de motor deslize na direção da cabine.
As forças sobre um bloco sobre um plano que pode ser inclinado.
As forças exercidas no bloco são a força gravitacional e a força de contato.
Plano inclinado
Força de arrasto
Crédito: Red Bull.
Crédito: Guiness World Records.
Força de arrasto
Força de arrasto
No ínicio do salto (h = 38 970 m) a aceleração de queda livre foi de 9,675 m/s\(^2\) e no nível do solo foi de 9,791 m/s\(^2\). A aceleração variou apenas 1%.
v(t) = 1,0+9,65 t
Até \(t = 24\) s o paraquedista caiu cerca de 2 791 m e a função velocidade é quase linear no tempo:
e \(v(24) = 232,6\) m/s.
A queda vertical de um paraquedista durando mais de 20 s e por quase 3 km, com a aceleração de queda coincidindo com a aceleração gravitacional foi um recorde.
Isso é queda livre!
Crédito: https://www.scielo.br
a=g
Força de arrasto
A partir de \(t=24 \) s, a velocidade se afasta do regime linear devido a questões de dinâmica do vôo. Mas ainda sem abrir o paraquedas.
Em \(t = 50\) s, tendo descido 11 120 km, aconteceu a máxima velocidade de queda, portanto neste momento foi batido o recorde de velocidade, sendo o seu valor 379 m/s.
A velocidade do som* em um gás acaba por depender apenas da temperatura \(T\), da massa molar \(M\) e da razão \(\gamma\) entre os calores específicos molares:
v_{s}=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}
M=0,0289 \text{ kg}
\gamma=1,4
T=1225\text{ K}
v_{s}=300\text{ m/s}
v_{s}=1,25\text{mach}
Crédito: https://www.scielo.br
* na altura em que se encontra
Força de arrasto
A partir de \(t = 50\) s de queda, a velocidade começou a se reduzir lentamente. O paraquedas foi aberto somente no ponto F. Mas já se observa um efeito do arrasto sobre o paraquedista devido à atmosfera mais densa.
F_{arrasto} = \frac{1}{2}CdAv^2
A força de arrasto tem a seguinte forma empírica:
\(d \rightarrow\) densidade do ar.
\(A \rightarrow\) área do corpo.
\(v \rightarrow\) rapidez do corpo.
\(C \rightarrow\) coef. aerodinâmico.
Crédito: https://www.scielo.br
Força de arrasto
O coeficiente aerodinâmico depende da geometria do corpo.
Força de arrasto
Se o paraquedista atinge a velocidade terminal \(v_t\) , a resultante das forças sobre ele é nula:
\vec F_{arrasto} + \vec P = \vec 0
\frac{1}{2}CdAv_t^2-mg=0
v_t=\sqrt{\frac{2mg}{CAd}}
A velocidade terminal \(v_t\) diminui com a densidade do ar.
v_t=\frac{c}{\sqrt{d}}
onde para o Felix \(c =\sqrt{{2mg}/{Ad}} = 66 \text{ kg}^{0,5}.\text{s}^{-1}.\text{m}^{-0,5}\).
O gráfico da velocidade em função da densidade, onde em linha contínua está representada a função de ajuste.
Crédito: https://www.scielo.br
Modelo
Força de arrasto
Quando um objeto se move através de um fluido como ar ou água, o fluido exerce uma força de arraste, ou força retardadora, que se opõe ao movimento do objeto.
A força de arraste depende da forma do objeto, das propriedades do fluido e da rapidez do objeto em relação ao fluido.
F_{arrasto} = b v^n
Para valores muito pequenos de rapidez, a força de arraste é aproximadamente proporcional à rapidez do objeto: \(n = 1\).
Para valores maiores de rapidez, ela é mais próxima de ser proporcional ao quadrado da rapidez: : \(n = 2\).
Crédito: Tipler & Mosca
F_{arrasto} = \frac{1}{2}CdAv_T^2
Força de arrasto
Para um objeto em movimento em meio a um fluido, enquanto não atinge a velocidade terminal, a segunda lei de Newton, fornece:
a=g-\frac{b}{m}v^n
\frac{dv}{dt}=g-\frac{b}{m}v^n
Integrando, via separação de variáveis para um caso com baixa velocidade, \(n = 1\):
\int_0^v\frac{dv'}{g-\frac{b}{m}v'}=\int_0 ^tdt'
-\frac{m}{b}\ln\left(
g-\frac{b}{m}v'
\right)|_0^v=t'|_0^t
-\frac{m}{b}\left[\ln\left(
g-\frac{b}{m}v'
\right)-\ln(g)\right]=t
Simplicando:
v(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{-bt/m})
Considerando \(y=0\) quanto \(t=0\) e aplicando a definição de velocidade \(v=dy/dt\):
y(t)=\frac{mg}{b}t-\frac{m^2g}{b^2}(1-e^{-bt/m})
Força de arrasto
Para um objeto em movimento em meio a um fluido, enquanto não atinge a velocidade terminal, a segunda lei de Newton:
mg-bv^n = ma
a=g-\frac{b}{m}v^n
Em \(t=0\) se \(v=0\), então, \(a = g\). Temos uma queda livre!
Em \(t\neq 0\) se \(v\neq 0\), então, a aceleração começa a diminuir.
Vai chegar um ponto em que \(a=0\), e temos a velocidade terminal:
v_t=\left(\frac{mg}{b}\right)^{1/n}
Carros são projetados para minimizar \(b\), para minimizar o efeito da resistência do vento.
Um pára-quedas é projetado para maximizar \(b\), de forma que a rapidez terminal seja pequena.
Força de arrasto para n = 1.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def drag_function(m, g, b, t):
v_t = (m * g / b) * (1 - np.exp(-b * t / m))
y_t = (m * g / b) * t - (m**2 * g / b**2) * (1 - np.exp(-b * t / m))
return v_t, y_t
# Parâmetros
m = 1.0 # massa em kg
g = 9.81 # aceleração devido à gravidade em m/s^2
b = 0.5 # coeficiente de arrasto
# Tempo de 0 a 10 segundos
t_values = np.linspace(0, 10, 300)
v_values, y_values = drag_function(m, g, b, t_values)
# Plotando os resultados
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t_values, v_values, label="v(t)", color='blue')
plt.title("Velocidade (v) em função do tempo (t)")
plt.xlabel("Tempo (s)")
plt.ylabel("Velocidade (m/s)")
plt.grid()
plt.legend()
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(t_values, y_values, label="y(t)", color='green')
plt.title("Posição (y) em função do tempo (t)")
plt.xlabel("Tempo (s)")
plt.ylabel("Posição (m)")
plt.grid()
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()
Para \(t\rightarrow 0, v(0) = 0\),
v(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{-bt/m})
Para \(t \rightarrow \infty, v(\infty) = v_t\),
v(t)=v_t(1-e^{-bt/m})
v_t
O valor \(t\sim 10 \) s se comporta como o "infinito" para esse sistema, pois a velocidade atingiu seu valor terminal (constante).
v_t=\left(\frac{mg}{b}\right)^{1/1}
Exemplo 9
Uma pára-quedista de 64 kg cai com uma rapidez terminal de 180 km/h, com seus braços e pernas estendidos.
(a) Qual é a magnitude da força de arraste, para cima, sobre o pára-quedista?
(b) Se a força de arraste é igual a \(bv^2\) , qual é o valor de \(b\)?
Exemplo 10
Um barco a motor está se movendo através de um lago a uma velocidade \(v_0\) quando seu motor congela repentinamente e para. O barco então desacelera sob a força de atrito \(f=-bv\).
(a) Quais são a velocidade e a posição do barco como funções do tempo?
(b) Se o barco desacelera de 4,0 m/s para 1,0 m/s.
Exemplo 11
A dependência quadrática acima da resistência do ar sobre a velocidade não se sustenta se o objeto for muito pequeno, estiver muito lento ou estiver em um meio mais denso que o ar. Então, descobrimos que a força de arrasto é proporcional apenas à velocidade. Essa relação é dada pela lei de Stokes, que afirma que
F_{arrasto} =6\pi r \eta v
onde r é o raio do objeto, η é a viscosidade do fluido e v é a velocidade do objeto.
Esse exercício não está resolvido.
Como seria o cálculo da velocidade terrminal utilizando a Lei de Stokes?
Exemplo 12
Simplificações:
1) Rampa sem atrito.
2) Não há atrito no salto inicial na queda livre.
3) Arrasto com n = 1 ao abrir o paraquedas.
Esse exercício não está resolvido.
Como seria a modelagem de todo o movimento:
1) Velocidade do salto a partir da rampa inclinada;
2) Velocidade da queda sem paraquedas;
3) Velocidade da queda com paraquedas.
Provavelmente foi uma boa equipe de engenheiros trabalhando nesse projeto!
Revisão 1
Revisão 2
Revisão 3
Revisão 4
Revisão 5
FM - Aula 08
By Ronai Lisboa
FM - Aula 08
Dinâmica. Aplicações das leis de Newton. Força de atrito. Força de arrasto.
