Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 06. Parte 2
Introdução à Física Clássica I
Prof. Ronai Lisbôa
Não compreendeu algo? Algo está esquisito? Comente!
Objetivos
Estudar a relatividade do movimento de Galileu
Calcular a posição, velocidade e aceleração do centro de massa
Estudar os princípios de conservação no referencial do centro de massa
Relatividade de Galileu
O movimento é relativo. Depende do observador.
Fonte: Juan Carlos Casado
Analema Solar
Fonte: Juan Carlos Casado
Eclipse da lua
Mas é possível descrever o movimento independentemente de quem observa um fenômeno?
Relatividade de Galileu
O movimento é relativo. Depende do observador.
Mas é possível descrever o movimento independentemente de quem observa um fenômeno?
Fonte: https://youtu.be/08LS9CEB9qI
Relatividade de Galileu
Dada uma lei física em um certo referencial, qual será sua forma em outro referencial, isto é, como a lei física se transforma ao passarmos de um referencial para outro?
y
y
x
x
y′
y'
x′
x'
No início do movimento (origem):
As origens coincidem: xPe=xEe=0 e yPe=yEe=0.
Os relógios estão sincronizados: tPe=tEe=0.
Relatividade de Galileu
Dada uma lei física em um certo referencial, qual será sua forma em outro referencial, isto é, como a lei física se transforma ao passarmos de um referencial para outro?
y
y
x
x
ΔrPE
\Delta \vec r_{PE}
As medidas do evento (giz lançado no ar).
Professor: xPe e tPe.
Estudante: xEe e tEe.
rpE
\vec r_{pE}
y′
y'
x′
x'
y
y
x
x
rEe
\vec r_{Ee}
Após o deslocamento relativo dos referenciais:
tEe = tPe = t.
O tempo é absoluto.
rPe
\vec r_{Pe}
rPe=ΔrPE+rEe
\vec r_{Pe} = \Delta \vec r_{PE} + \vec r_{Ee}
Relatividade de Galileu
As equações de transformação de Galileu.
y
y
x
x
rPe
\vec r_{Pe}
ΔrPE
\Delta \vec r_{PE}
rEe
\vec r_{Ee}
y′
y'
x′
x'
rPe=ΔrPE+rEe
\vec r_{Pe} = \Delta \vec r_{PE}+
\vec r_{Ee}
A posição do professor em relação ao evento é igual ao deslocamento relativo do professor em relação ao estudante mais a posição do estudante em relação ao evento.
O deslocamento relativo se dá em um intervalo de tempo Δt=te−0. Assim,
ΔrPE=vPE(te−0)
\Delta \vec r_{PE} = \vec v_{PE}(t_e-0)
A equação da relatividade de Galileu fornece:
rPe=vPEte+rEe
\vec r_{Pe} = \vec v_{PE}\,t_e
+
\vec r_{Ee}
Relatividade de Galileu
A partir da relatividade de Galileu:
y
y
x
x
rPe
\vec r_{Pe}
vPEt
\vec v_{PE}t
rEe
\vec r_{Ee}
y′
y'
x′
x'
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
rPe=vPEte+rEe
\vec r_{Pe} = \vec v_{PE}\,t_e
+
\vec r_{Ee}
vPe=vPE+vEe
\vec v_{Pe} = \vec v_{PE}
+
\vec v_{Ee}
A velocidade do evento (e) em relação ao professor (P) é igual à velocidade do evento (e) em relação ao professor (E) mais a velocidade relativa dos referenciais (PE).
rEe=rPe−ΔrPE
\vec r_{Ee} = \vec r_{Pe} - \Delta \vec r_{PE}
referencial do estudante
referencial do professor
Usualmente, essas equações são reescritas (se preferir também), como:
vEe=vPe−vPE
\vec v_{Ee} =
\vec v_{Pe}-
\vec v_{PE}
Relatividade de Galileu
Por exemplo, se um passageiro caminha com velocidade de 5 km/h no corredor de um trem que se deslocada com velocidade de 50 km/h, em relação à estação do trem. Qual será a velocidade do passageiro em relação a essa mesma estação?
Referencial em repouso: A estação (e).
Referencial em movimento: O trem (t). vet=50 km/h.
Evento: O passageiro (p) caminhando no trem (t). vtp′=5 km/h.
referencial do passageiro
referencial do observador
vtp′
v'_{tp}
=
=
vep
v_{ep}
vet
v_{et}
−
-
Se o passageiro caminha no sentido do movimento do trem:
Se o passageiro caminha no sentido contrário ao movimento do trem:
vep=vtp′+vet=55 km/h
v_{ep} = v'_{tp}+v_{et}=55\text{ km/h}
vep=−vtp′+vet=45 km/h
v_{ep} = -v'_{tp}+v_{et}=45\text{ km/h}
Relatividade de Galileu
A partir da relatividade de Galileu:
y
y
x
x
vAe
\vec v_{Ae}
vAB
\vec v_{AB}
rBe
\vec r_{Be}
y′
y'
x′
x'
A variação é:
vAe=vAB+vBe
\vec v_{Ae} = \vec v_{AB}
+
\vec v_{Be}
ΔvAe=vAe,f−vAe,i
\Delta \vec v_{Ae} =
\vec v_{Ae,f} -
\vec v_{Ae,i}
=(vAB+vBe,f)−(vAB+vBe,i)
=
(
\vec v_{AB} +
\vec v_{Be,f}
) -
(
\vec v_{AB} +
\vec v_{Be,i}
)
=vBe,f−vBe,i=ΔvBe
=
\vec v_{Be,f} -
\vec v_{Be,i} =
\Delta \vec v_{Be}
As variações na velocidade do evento (giz) são as mesmas nos dois quadros de referência que se movem a uma velocidade relativa constante.
A aceleração é:
aAo≡limΔt→0ΔtΔvBo≡aBo
\vec a_{Ao} \equiv
\lim_{\Delta t\rightarrow 0}
\frac{\Delta \vec v_{Bo}}{\Delta t} \equiv
\vec a_{Bo}
Os dois observadores em movimento com velocidade constante medem a mesma aceleração.
Relatividade de Galileu
A partir da relatividade de Galileu:
y
y
x
x
vAe
\vec v_{Ae}
vAB
\vec v_{AB}
rBe
\vec r_{Be}
y′
y'
x′
x'
vAe=vAB+vBe
\vec v_{Ae} = \vec v_{AB}
+
\vec v_{Be}
Qualquer referencial que se desloca com velocidade constante em relação a ele será também um referencial inercial.
As leis físicas conservam sua forma quando transformadas porque os referenciais são inerciais.
rAe=rAB+rBe
\vec r_{Ae} =
\vec r_{AB} +
\vec r_{Be}
aAe=aBe
\vec a_{Ae} =
\vec a_{Be}
Os dois observadores em movimento com velocidade constante medem a mesma aceleração.
Relatividade de Galileu
Fonte: https://youtu.be/jYMU6bn5GHY
Ponto de Verificação 6.8
Um corredor corre sobre uma esteira cujo cinto se move a vTBx = + 2,0 m/s em relação à Terra. Considere que a origem do referencial da Terra e do referencial B se movendo junto com a superfície superior do cinto coincidirem em t = 0.
(a) Qual é a posição do corredor no referencial do cinto em t = 10 s?
(b) Use abaixo para mostrar que a medição da posição do corredor por um observador da Terra é rTJx = 0 em todos os instantes.
\vec r_{Ae} = \Delta \vec r_{AB}+ \vec r\,'_{Be}
evento
ref. repouso
ref. movimento
Ponto de Verificação 6.9
Em um trem que segue para o norte a 3,1 m/s em relação à Terra, um passageiro carregando uma mala caminha para a frente no corredor a 1,2 m/s em relação ao trem. Uma aranha se arrasta ao longo do fundo da mala a 0,5 m/s para o sul em relação à mala. Qual é a velocidade da aranha em relação à Terra?
\vec r_{Ae} = \Delta \vec r_{AB}+ \vec r\,'_{Be}
evento
ref. repouso
ref. movimento
Exemplo 6.6
Você está dirigindo a 25 m/s em uma estrada reta e horizontal quando um caminhão que percorre 30 m/s na mesma direção ultrapassa você. Deixe a direção x positiva apontar na direção da viagem e deixe as origens dos referenciais fixados ao seu carro e ao caminhão coincidirem no instante em que o caminhão o ultrapassar. (a) Qual é a velocidade do seu carro, medida por alguém no caminhão? (b) Qual é a velocidade do caminhão em relação ao seu carro? (c) Qual é a posição do seu carro, medida por alguém no caminhão 60 s depois de ultrapassá-lo?
\vec r_{Ae} = \Delta \vec r_{AB}+ \vec r\,'_{Be}
evento
ref. repouso
ref. movimento
Centro de massa
Obtemos a inércia de um objeto desconhecido (d) colidindo com um objeto de inércia padrão (p):
md≡−ΔvdΔvpmp
m_d\equiv -\frac{\Delta v_{p}}{\Delta v_{d}}m_p
As variações na velocidade são as mesmas nos dois quadros de referência que se movem a uma velocidade relativa constante Δvp=Δvd. Dois observadores medirão a mesma inércia.
mAd=mBd=md
m_{Ad}=m_{Bd}=m_d
O momento de um objeto medido em dois quadros de referência A e B são relacionados por:
pAd≡mdvAd=md(vAB+vBd)≡mdvAB+pBd
\vec p_{Ad} \equiv m_d\vec v_{Ad}=
m_d(\vec v_{AB}+\vec v_{Bd}) \equiv
m_d \vec v_{AB} +\vec p_{Bd}
O momento medido no referencial B é diferente do momento medido no quadro de referência A.
Centro de massa
Podemos fazer com que o momento de um sistema de objetos seja zero:
pA,sys=pA1+pA2+⋯
\vec p_{A,sys} =
\vec p_{A1}+
\vec p_{A2}+
\cdots
=(m1vAB+pB1)+(m2vAB+pB2)+⋯
=(m_1\vec v_{AB} + \vec p_{B1}) +
(m_2\vec v_{AB} + \vec p_{B2}) + \cdots
=(m1+m2+⋯)vAB+(pB1+pB2+⋯)=mvAB+pBsys
=(m_1+m_2+\cdots )\vec v_{AB} +
(\vec p_{B1} +
\vec p_{B2} + \cdots ) =
m\vec v_{AB} + \vec p_{B\,sys}
pAd≡mdvAB+pBd
\vec p_{Ad}
\equiv
m_d \vec v_{AB} +\vec p_{Bd}
m=m1+m2+⋯ é a inércia do sistema.
Se ajustarmos a velocidade vAB do quadro de referência B em relação ao quadro de referência A:
vAB=mpBsys
\vec v_{AB} =
\frac{\vec p_{B\,sys}}{m}
O quadro de referência B é um quadro de referência de momento zero:
pBsys=pAsys−mvAB=pAsys−mmpAsys=0
\vec p_{B\, sys} = \vec p_{A\,sys} -m\vec v_{AB} =
\vec p_{A\,sys} -m \frac{\vec p_{A\,sys}}{m}=\vec 0
Centro de massa
Em relação à Terra, a velocidade do referencial de momento zero Z para um sistema de objetos é igual ao momento do sistema medido no referencial da Terra dividido pela inércia do sistema:
vEZ=mpEsys=m1+m2+⋯m1vE1+m2vE2+⋯
\vec v_{EZ} = \frac{\vec p_{E\,sys}}{m} =
\frac{m_1\vec v_{E1}+m_2\vec v_{E2}+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}
A velocidade do referencial de momento zero está relacionada à posição do centro de massa de um sistema:
rcm≡m1+m2+⋯m1r1+m2r2+⋯
\vec r_{cm} \equiv
\frac{m_1\vec r_{1}+m_2\vec r_{2}+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}
dtdrcm=m1+m2+⋯m1(dr1/dt)+m2(dr2/dt)+⋯
\frac{d\vec r_{cm}}{dt} =
\frac{m_1(d\vec r_{1}/dt)+m_2(d\vec r_{2}/dt)+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}
vcm≡dtdrcm=m1+m2+⋯m1v1+m2v2+⋯
\vec v_{cm} \equiv \frac{d\vec r_{cm}}{dt} =
\frac{m_1\vec v_{1}+m_2\vec v_{2}+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}
Centro de massa
Para determinar o centro de massa de dois objetos de mesma inércia em relação a dois referenciais:
xAcm=m1+m2m1xA1+m2xA2=2mm(xA1+xA2)=2(xA1+xA2)
x_{A\,cm} =
\frac{m_1 x_{A1}+m_2x_{A2}}{m_1+m_2} =
\frac{m(x_{A1}+x_{A2})}{2m} =
\frac{(x_{A1}+x_{A2})}{2}
xBcm=m+mmxB1+mxB2=2mm(0+xB2)=2xB
x_{B\,cm} =
\frac{m x_{B1}+mx_{B2}}{m+m} =
\frac{m(0+x_{B2})}{2m} =
\frac{x_{B}}{2}
O CM Esta posição está a 1/2 do caminho entre os dois carros.
Para inércias diferentes:
xAcm=2m+m2mxA1+mxA2=32xA1+xA2
x_{A\,cm} =
\frac{2m x_{A1}+mx_{A2}}{2m+m} =
\frac{2x_{A1}+x_{A2}}{3}
xBcm=2m+m2m.0+mxB2=3xB2
x_{B\,cm} =
\frac{2m .0+mx_{B2}}{2m+m} =
\frac{x_{B2}}{3}
O CM Esta posição está a 1/3 do caminho entre os dois carros.
Centro de massa
A posição do centro de massa de um sistema é uma propriedade do sistema independente da escolha do quadro de referência.
rcm≡m1+m2+⋯m1r1+m2r2+⋯
\vec r_{cm} \equiv
\frac{m_1\vec r_{1}+m_2\vec r_{2}+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}
A equação sugere que o centro de massa representa uma espécie de posição "média ponderada" de um sistema, mas o centro de massa é mais importante que isso.
O centro de massa nos permite especificar uma posição fixa em um sistema de acordo com uma prescrição exata.
Centro de massa
Para objetos discretos o centro de massa é calculado por meio da equação:
rcm≡m1+m2+⋯m1r1+m2r2+⋯
\vec r_{cm} \equiv
\frac{m_1\vec r_{1}+m_2\vec r_{2}+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}
Para objetos simétricos com uma inércia uniformemente distribuída o centro de massa está em um eixo de simetria e em qualquer plano de simetria.
xcm≡m1+m2+m3m1x1+m2x2+m3x3
x_{cm} \equiv
\frac{m_1x_{1}+m_2x_{2}+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}
ycm≡m1+m2+m3m1y1+m2y2+m3y3
y_{cm} \equiv
\frac{m_1y_{1}+m_2y_{2}+m_3y_3}{m_1+m_2+m_3}
Centro de massa
O centro de massa também é uma ferramenta importante em nossa busca pela simplificação: nos permite ser precisos mesmo para sistemas onde o movimento é complexo.
O movimento do centro de massa não é alterado quando não há uma força externa resultante em um sistema isolado.
O movimento do centro de massa é alterado quando o momento linear do sistema muda.
Fonte: @physicsfun
Energia cinética conversível
A energia cinética de um sistema de partículas no quadro de referência da Terra:
KEsis=21m1vE1x2+21m2vE2x2+⋯
K_{E\,sis} =
\frac{1}{2}m_1 v_{E1\,x}^2 +
\frac{1}{2}m_2 v_{E2\,x}^2 + \cdots
em termos da energia cinética correspondente KZsis medida no quadro de referência de momento zero:
KEsis=21m1(vcmx+vZ1)2+21m2(vcmx+vZ2)2+⋯
K_{E\,sis}=
\frac{1}{2}m_1 (v_{cm\,x}+ v_{Z1})^2 +
\frac{1}{2}m_2 (v_{cm\,x} + v_{Z2})^2 + \cdots
KEsis=21m1vcmx2+m1vcmxvZ1+21m1vZ12+21m2vcmx2+m2vcmxvZ2+21m2vZ22
K_{E\, sis} =
\frac{1}{2}m_1 v_{cm\,x}^2 +
m_1 v_{cm\,x}v_{Z1} +
\frac{1}{2}m_1v_{Z1}^2
+
\frac{1}{2}m_2 v_{cm\,x}^2 +
m_2 v_{cm\,x}v_{Z2} +
\frac{1}{2}m_2v_{Z2}^2
onde
vEo=vEZ+vZo
v_{Eo} = v_{EZ} + v_{Zo}
vEZ=vcm
v_{EZ}=v_{cm}
KEsis=21(m1+m2+⋯)vcm2+(m1vZ1x+m2vZ2x+⋯)vcmx+(21m1vZ12+21m2vZ22+⋯)
K_{E\,sis} = \frac{1}{2}(m_1+m_2+\cdots)v_{cm}^2 +
(m_1 v_{Z1\,x}+m_2 v_{Z2\,x}+\cdots)v_{cm\,x} +
\left(
\frac{1}{2}m_1v_{Z1}^2+
\frac{1}{2}m_2v_{Z2}^2+\cdots\right)
KEsis=21mvcm2+KZsis
K_{E\,sis} =
\frac{1}{2}mv_{cm}^2 + K_{Z\,sis}
pZsis=0
p_{Z\,sis}=0
Energia cinética conversível
A energia cinética do sistema é soma:
O primeiro termo à direita nesta equação, chamado de energia cinética de translação do sistema, é a energia cinética associada ao movimento do centro de massa do sistema:
KEsis=21mvcm2+KZsis
K_{E\,sis} =
\frac{1}{2}mv_{cm}^2 + K_{Z\,sis}
Kcm≡21mvcm2
K_{cm}\equiv \frac{1}{2}mv_{cm}^2
Este termo tem a forma da energia cinética de um objeto de inércia m movendo-se à velocidade vcm.
Para um sistema isolado, a energia cinética de translação Kcm não é conversível, o que significa que não pode ser convertida em energia interna. Essa energia cinética é uma função da velocidade do centro de massa do sistema, que não pode mudar para um sistema isolado!
Energia cinética conversível
A energia cinética do sistema é soma:
O segundo termo à direita nesta equação é a energia cinética conversível do sistema.
KEsis=21mvcm2+KZsis
K_{E\,sis} =
\frac{1}{2}mv_{cm}^2 + K_{Z\,sis}
Kconv=KZsis=KEsis−21mvcm2
K_{conv}=K_{Z\,sis}=K_{E\,sis}- \frac{1}{2}mv_{cm}^2
é a quantidade que pode ser convertida em energia interna sem alterar a dinâmica do sistema.
Com esta última equação, podemos eliminar qualquer referência ao referencial de momento zero, deixando apenas as quantidades medidas no quadro de referência da Terra:
KEsis=Kcm+Kconv
K_{E\,sis} = K_{cm} + K_{conv}
Kconv=(21m1v12+21m2v22+⋯)−21mvcm2
K_{conv} = \left(
\frac{1}{2}m_1v_1^2 +
\frac{1}{2}m_2v_2^2 + \cdots
\right)
-
\frac{1}{2}mv_{cm}^2
Energia cinética conversível
A energia cinética de um sistema pode ser dividida em uma parte conversível e uma parte não conversível. A parte não conversível é a energia cinética de translação do sistema Kcm=(1/2)mvcm2. O restante da energia cinética é conversível.
Para um sistema de dois objetos em colisão, a energia cinética conversível é:
Kconv=K−21mvcm2=(21m1v12+21m2v22)−21(m1+m2)vcm2
K_{conv} = K -\frac{1}{2}mv_{cm}^2 =
\left(
\frac{1}{2}m_1v_1^2+
\frac{1}{2}m_2v_2^2
\right)
-
\frac{1}{2}(m_1 + m_2) v_{cm}^2
como:
vcm≡m1+m2m1v1+m2v2
\vec v_{cm} \equiv \frac{m_1\vec v_{1}+m_2\vec v_{2}}{m_1+m_2}
Kconv=21(m1+m2m1m2)v122
K_{conv} = \frac{1}{2}
\left(
\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}
\right)v_{12}^2
onde define-se a inércia reduzida (μ) do sistema e a velocidade relativa (v12) dos dois objetos:
μ≡m1+m2m1m2
\mu \equiv \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}
v12=v2−v1
v_{12}=v_2-v_1
Kconv=21μv122
K_{conv} = \frac{1}{2}
\mu
v_{12}^2
Energia cinética conversível
Em uma colisão elástica de dois corpos:
A velocidade relativa inicial dos dois carros é:
v12=∣v2−v1∣=∣0−(+6,7)∣=6,7 m/s
v_{12} = |v_2 - v_1| = |0-(+6,7)| = 6,7 \text{ m/s}
A energia cinética conversível:
Kconv=21(500 kg)(6,7 m/s2)=11 kJ
K_{conv} =
\frac{1}{2}(500\text{ kg})(6,7\text{ m/s}^2)=11\text{ kJ}
A energia cinética inicial do sistema é :
Ki=K1,i=21(1000)(6,7)2=22kJ
K_i = K_{1,i} = \frac{1}{2}(1000)(6,7)^2 = 22 \text{kJ}
A velocidade relativa inicial dos dois carros é:
v12=∣v2−v1∣=∣6,7−(+6,7)∣=13,4 m/s
v_{12} = |v_2 - v_1| = |6,7-(+6,7)| = 13,4 \text{ m/s}
A energia cinética conversível:
Kconv=21(500 kg)(13,4 m/s2)=45 kJ
K_{conv} =
\frac{1}{2}(500\text{ kg})(13,4\text{ m/s}^2)=45\text{ kJ}
A energia cinética inicial do sistema é :
Ki=K1,i=21(500)(13,4)2=45kJ
K_i = K_{1,i} = \frac{1}{2}(500)(13,4)^2 = 45 \text{kJ}
Energia cinética conversível
Em uma colisão inelástica de dois corpos a rapidez relativa e a energia cinética variam. A energia cinética do sistema:
ΔK=ΔKcm+ΔKconv
\Delta K = \Delta K_{cm} + \Delta K_{conv}
0
0
ΔK=21μv12f2−21μv12,f2=21μ(v12,i2−v12,i2)
\Delta K = \frac{1}{2}\mu v_{12\,f}^2 -
\frac{1}{2}\mu v_{12,f}^2 =
\frac{1}{2}\mu(v_{12,i}^2-v_{12,i}^2)
ΔK=21μv12,i2(v12i2v12,f2−1)=21μv12,i2(e2−1)
\Delta K =
\frac{1}{2}\mu v_{12,i}^2
\left(
\frac{v_{12,f}^2}{v_{12\,i}^2}-1
\right)
=
\frac{1}{2}\mu v_{12,i}^2(e^2-1)
Este valor representa a quantidade de energia cinética convertida em energia interna durante a colisão inelástica. A variação máxima na energia cinética do sistema ocorre em uma colisão totalmente inelástica e=0:
ΔK=−21μv12,i2
\Delta K =
-\frac{1}{2}\mu v_{12,i}^2
Em uma colisão elástica e=1:
ΔK=0
\Delta K = 0
Leis de conservação e relatividade
Para um sistema de dois referenciais, A e B, que se movem a uma velocidade vAB em relação um ao outro:
ΔpAo=moΔvAo
\Delta \vec p_{Ao} = m_o \Delta \vec v_{Ao}
Porque uma variação na velocidade no referencial A é a mesma que uma variação no quadro de referência B:
ΔpAo=moΔvAo=moΔvBo=ΔpBo
\Delta \vec p_{Ao} = m_o \Delta \vec v_{Ao} = m_o \Delta \vec v_{Bo} = \Delta \vec p _{Bo}
que nos diz que a variação no momento de um objeto é a mesma nos referenciais A e B. Então, para o momento de um sistema de objetos, temos:
ΔpAsis=ΔpBsis
\Delta \vec p_{A\,sis} =
\Delta \vec p_{B\,sis}
As variações no momento de um sistema são as mesmas em quaisquer dois referenciais que se movem a velocidade constante um em relação ao outro.
Leis de conservação e relatividade
A energia interna é uma medida quantitativa de uma mudança de estado e o estado de qualquer objeto ou sistema não pode depender do movimento do observador.
ΔEAint=ΔEBint
\Delta E_{A\,int} =
\Delta E_{B\,int}
A energia interna deve ser independente do referencial:
Se a velocidade de um objeto no referencial A aumenta para vAo,i+ΔvAo de um valor inicial vAo,i, a energia cinética aumenta em um valor:
ΔKAo=21mo[(vAo,i+ΔvAo)2−(vAo,i)2]
\Delta K_{Ao} =
\frac{1}{2}m_o
\left[
(v_{Ao,i} + \Delta v_{Ao})^2
-
(v_{Ao,i})^2
\right]
=movAox,iΔvAo+21mo(ΔvAo)2
=
m_o v_{Aox,i}\Delta v_{Ao}
+
\frac{1}{2}m_o(\Delta v_{Ao})^2
ΔKAo=mo(vAB+vBo,i)ΔvBo+21mo(ΔvBo)2
\Delta K_{Ao} =
m_o
(v_{AB} + v_{Bo,i})\Delta v_{Bo}
+
\frac{1}{2}m_o (\Delta v_{Bo})^2
No quadro referencial B:
ΔKBo=movBox,iΔvBox+21mo(ΔvBox)2
\Delta K_{Bo} =
m_o
v_{Box,i}\Delta v_{Box}
+
\frac{1}{2}m_o (\Delta v_{Box})^2
Leis de conservação e relatividade
Se a velocidade de um objeto no referencial A aumenta para vAo,i+ΔvAo de um valor inicial vAo,i, a energia cinética aumenta em um valor:
ΔKAo=21mo[(vAo,i+ΔvAo)2−(vAo,i)2]
\Delta K_{Ao} =
\frac{1}{2}m_o
\left[
(v_{Ao,i} + \Delta v_{Ao})^2
-
(v_{Ao,i})^2
\right]
=movAox,iΔvAo+21mo(ΔvAo)2
=
m_o v_{Aox,i}\Delta v_{Ao}
+
\frac{1}{2}m_o(\Delta v_{Ao})^2
ΔKAo=mo(vAB+vBo,i)ΔvBo+21mo(ΔvBo)2
\Delta K_{Ao} =
m_o
(v_{AB} + v_{Bo,i})\Delta v_{Bo}
+
\frac{1}{2}m_o (\Delta v_{Bo})^2
No quadro referencial B:
ΔKBo=movBo,iΔvBo+21mo(ΔvBo)2
\Delta K_{Bo} =
m_o
v_{Bo,i}\Delta v_{Bo}
+
\frac{1}{2}m_o (\Delta v_{Bo})^2
Assim:
ΔKAo=movABΔvBo+ΔKBo=ΔKBo
\Delta K_{Ao} =
m_o v_{AB}\Delta v_{Bo}
+\Delta K_{Bo}
\neq \Delta K_{Bo}
o que significa que a variação na energia cinética de um objeto depende do quadro de referência em que essa variação é medida.
Leis de conservação e relatividade
Vamos examinar a energia cinética convertida em energia interna. No quadro de referência A, temos:
ΔKA=21μ(vA12,f2−vA12,i2)
\Delta K_A =
\frac{1}{2}\mu(v_{A12,f}^2-v_{A12,i}^2)
Como as velocidades relativas são diferenças nas velocidades, vB12=vA12 e, portanto, a variação na energia cinética do sistema também deve ser a mesma em quaisquer dois referenciais inerciais:
ΔKA=ΔKB
\Delta K_A =
\Delta K_B
Generalizando o resultado para um sistema de mais de dois objetos, obtemos:
ΔKB+ΔKB,int=ΔKA+ΔKA,int
\Delta K_B + \Delta K_{B,int} =
\Delta K_A + \Delta K_{A,int}
ΔKB,sis=ΔKA,sis
\Delta K_{B,sis} =
\Delta K_{A,sis}
As variações na energia de um sistema são as mesmas em quaisquer dois referenciais que se movem a velocidade constante um em relação ao outro.
Leis de conservação e relatividade
Objetos 1 m1=1,0 kg e 2 m2=3,0 kg colidem inelasticamente. As velocidades são v1,i=+4,0 m/s, v2,i=0, v1,f=−0,50 m/s e v2,f=+1,5 m/s. O coeficiente de restituição e:
A energia cinética convertida em energia interna tanto no referencial da Terra quanto em um referencial se movendo em vEM=−1,0 m/s em relação à Terra.
v12i=∣0−(+4,0)∣=4,0 m/s
v12f=∣(+1,5)−(−0,50)=2,0 m/s
⇒e=(2,0 m/s)/(4,0 m/s)=0,50.
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By Ronai Lisboa
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Relatividade de Galileu. Centro de massa. Princípios de conservação do momento linear e da energia cinética no referencial do centro de massa.
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