Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 04
Introdução à Física Clássica II
Prof. Ronai Lisbôa
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Objetivos
Reconhecer a necessidade das oscilações forçadas para manter a oscilação natural.
Explicar o fenômeno de ressonância.
Estudar os modelos físico-matemáticos das oscilações forçadas e ressonância.
Como uma força propulsora aplicada a um oscilador na frequência certa pode provocar uma resposta muito intensa, ou ressonância?
Bibliografia:
Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.
Capítulo 13 - Movimento Periódico.
Seção: 13.8.
Motivação
O fenômeno de ressonância.
Oscilação forçada. A ideia.
No oscilador harmônico, a oscilação é permanente e a energia mecânica é conservada.
No oscilador harmônico amortecido, a amplitude da oscilação e a energia mecânica diminuem no exponencialmente com o tempo porque existe algum arrasto:
Como manter a amplitude da oscilação e contornar os efeitos dissipativos?
Seria possível garantir um movimento perpétuo, mas no mundo real não é esse o caso, pois existem forças de arrasto (aula 3).
E0=21mω02A2
E_0=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2
Não ocorre em sistemas físicos reais para sempre.
E=E0e−γt
E= E_0e^{-\gamma\, t}
Ocorre em sistemas físicos reais nos amortecimentos fracos.
A=A0e−2γt
A=A_0e^{-\frac{\gamma}{2}\, t}
A=A0
A=A_0
Oscilação forçada. A ideia.
Você tem algum ideia para manter o balanço oscilando?
Faça atuar sobre o oscilador uma força propulsora externa.
Transfira energia ao oscilador via trabalho motor.
Você vai produzir um movimento harmônico forçado.
Fonte: https://media3.giphy.comQuando você empurra alguém sentado em um balanço, dá à pessoa empurrões periódicos com o propósito geral de fazê-la balançar cada vez mais alto – ou seja, aumentar a amplitude das oscilações.
Você só consegue aumentar a amplitude do movimento de balanço da pessoa se empurrá-la aproximadamente com a mesma frequência com a qual o balanço já oscila.
Oscilação livre e amortecida. Revisão.
No oscilador harmônico livre:
mx¨+kx=0
m\ddot{x}+k x = 0
ω0=mk
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
A EDO:
tem como função movimento:
x(t)=Acos(ω0t+δ)
x(t) = A \cos(\omega_0t +\delta)
com a frequência angular natural do oscilador:
No oscilador harmônico amortecido:
mx¨+bx˙+kx=0
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x = 0
ω′=(mk)−(2mb)2
\omega ' = \sqrt{
\left(\frac{k}{m}\right)
-
\left(\frac{b}{2m}\right)^2
}
A EDO:
tem como função movimento:
x(t)=Ae−2γtcos(ω′t+δ)
x(t) = Ae^{-\frac{\gamma}{2}t} \cos(\omega 't +\delta)
com a frequência angular amortecida:
Como serão as equações do oscilador harmônico forçado?
Oscilação forçada. A EDO.
A EDO do oscilador harmônico amortecido forçado é:
mx¨+bx˙+kx=Fmcos(ωmt+φ)
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x = F_m\cos(\omega_mt+\varphi)
Há duas frequências angulares relevantes:
- A frequência natural:
- A frequência motriz:
ω0=mk
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}
ωm
\omega_m
Frequência angular motriz
Força motriz (dependente do tempo)
Para manter um sistema vibrando na presença de atrito (b), temos que continuar empurrando-o com uma força motriz periódica externa. A frequência dessa força (ωm=2πfm) é chamada de frequência motriz, fm, que é totalmente independente da frequência natural do sistema (ω0=2πf0).
Sistema
Externa
Fm
\vec F_m
Fm
\vec F_m
k
k
b
b
m
m
Fonte: Tiplerforça motriz
Oscilação forçada. A EDO.
A solução é a soma da parte transiente (quando a força externa é nula) com a parte estacionária (quando a força externa não é nula):
x=xestacionaria+xtransiente
x = x_{estacionaria}+x_{transiente}
mx¨+bx˙+kx=Fecos(ωet+δ)
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x = F_e\cos(\omega_et+\delta)
Dada a EDO do oscilador harmônico forçado:
A função movimento da parte transiente já conhecemos (oscilação amortecida). Precisamos descobrir a função movimento da parte estacionária.
Você tem idéia sobre como deve ser essa função estacionária?
transiente
estacionária
Oscilação forçada. A EDO.
Movimento transiente. Sem a força propulsora temos um oscilador harmônico amortecido de modo que a amplitude diminui exponencialmente no tempo.
Movimento estacionário. Com a força externa a amplitude das oscilações é fica constante ao aplicar uma força que varia periodicamente com o tempo.
O papel da força propulsora é manter a amplitude da oscilação.
Simule:
m=1,0 kg
k=2,0 N/m
F0=1,0 N
y0=5,0 N
b=0,2 Kg/s
Varie a frequência da força externa:
1.1≤ω≤1.8 rad/s
Para que valor de ω a amplitude xm é máxima?
xestacionaria=xmcos(ωmt+φ)
x_{estacionaria} = x_m\cos(\omega_mt+\varphi)
Oscilação forçada. A ressonância s/ amortecimento.
Se a constante de amortecimento é nula (b→0) ou o amortecimento é muito fraco:
A condição, ω0=ωm levaria a uma amplitude infinita, (xm→∞).
Fonte: https://youtu.be/rvwwQAfdBWsA condição, ωm<<ω0 levaria a uma amplitude finita, (xm→Fm/k). A força motora está em fase com o deslocamento.
A condição, ωm>>ω0 levaria a uma amplitude nula, (xm →0). A força motora está em oposição de fase com o deslocamento.
mx¨+kx=Fmcos(ωmt+δ)
m\ddot{x}+k x = F_m\cos(\omega_mt+\delta)
Oscilação forçada. A ressonância s/ amortecimento.
Para o amortecimento nulo, as segunda lei de Newton permite escrever a EDO do sistema:
Fe+Fm=ma
\vec F_e + \vec F_m=m\vec a
−kx+F0cos(ωt+δ)=ma
-kx+F_0\cos(\omega t+\delta)=ma
⇒ma+kx=Fmcos(ωmt+δ)
\Rightarrow ma+kx=F_m\cos(\omega_m t+\delta)
mx¨+kx=Fmcos(ωmt+δ)
m\ddot x+kx=F_m\cos(\omega_m t+\delta)
⇒−mω¨2Acos(ωmt+δ)+kAcos(ωmt+δ)=Fmcos(ωmt+δ)
\Rightarrow -m\ddot\omega^2A\cos(\omega_m t+\delta)+kA\cos(\omega_m t+\delta)=F_m\cos(\omega_m t+\delta)
x(t)
x(t)
Fm
F_m
k
k
Fe
\vec F_e
A solução da solução estacionária deve ter o mesmo comportamento da força motora:
x(t)=Acos(ωmt+δ)
x(t)=A\cos(\omega_mt+\delta)
x¨(t)=−ω2Acos(ωmt+δ)
\ddot x(t)=-\omega^2A\cos(\omega_m t+\delta)
A=m(ω02−ωm2)Fm
A = \frac{F_m}{m
(\omega_0^2-\omega_m^2)
}
A amplitude da solução estacionária é:
Oscilação forçada. A ressonância s/ amortecimento.
A=m(ω02−ωm2)Fm
A = \frac{F_m}{m
(\omega_0^2-\omega_m^2)
}
A condição, ω0=ωe levaria a uma amplitude infinita, (xm→∞).
A condição, ωe<<ω0 levaria a uma amplitude finita, (A→Fm/k). A força motora está em fase com o deslocamento, δ=0.
A condição, ωe>>ω0 levaria a uma amplitude nula, (A →Fm/(mωm2)). A força motora está em fase oposta ao deslocamento, δ=π.
Amplitude
Fase
0,ωm<ω0
0, \quad \omega_m<\omega_0
π,ωm>ω0
\pi, \quad \omega_m>\omega_0
δ=
\delta =
{
\left\{\right.
A
A
δ /π
\delta\ /\pi
Dada a amplitude da solução estacionária:
A fase depende da relação entre as frequências:
Uma frequência externa igual à frequência natural, quando (b→0), é algo que deve ser evitado porque pode ser catastrófico.
Há um colapso, pois a amplitude de oscilação ou a potência média do sistema serão máximas.
Fonte: https://youtu.be/jh_9KzCBcP0Fonte: https://youtu.be/Az1_Zv1gjVUOscilação forçada. A ressonância s/ amortecimento.
Em sistemas reais esse crescimento ilimitado não ocorre de fato. Sempre há algum amortecimento no sistema porque b=0.
A=m(ω02−ωe2)Fm
A = \frac{F_m}{m
(\omega_0^2-\omega_e^2)
}
Para sistemas com amortecimento, a EDO fica:
xestacionaria(t)=xmcos(ωmt)
x_{estacionaria}(t) = x_m\cos(\omega_mt)
A amplitude (xm) depende das frequências natural (ω0), externa (ωm), mas também da coeficiente de amortecimento (b).
Para que parâmetros do simulador a amplitude de oscilação será máxima?
A constante de fase é,
tanδ=(ω02−ωm2)ωmγ,
\tan \delta = \frac{\omega_m\gamma}{(\omega_0^2-\omega_m^2)},
xm=m(ω02−ωm2)2+γ2ωm2Fm
x_{m} = \frac{F_m}{m\sqrt{
(\omega_0^2-\omega_m^2)^2
+\gamma^2\omega_m^2
}}
Oscilação forçada. A ressonância c/ amortecimento.
mx¨+bx˙+kx=Fmcos(ωmt+δ)
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x = F_m\cos(\omega_mt+\delta)
A partir da solução estacionária:
x(t)
x(t)
f(t)
f(t)
b
b
k
k
Permite que ω0=ω!
γ=mb
\gamma = \frac{b}{m}
0≤δ≤π
0 \leq \delta\leq \pi
ω02=mk
\omega_0^2 = \frac{k}{m}
xm=m(ω02−ωm2)2+γ2ωm2Fm=bωmFm=bω0Fm
x_{m} = \frac{F_m}{m\sqrt{
(\omega_0^2-\omega_m^2)^2
+\gamma^2\omega_m^2
}}=\frac{F_m}{b\omega_m}
=\frac{F_m}{b\omega_0}
A ressonância ocorre em um sistema oscilante quando a frequência motriz se iguala à frequência natural:
Para este caso especial, a amplitude do movimento torna-se máxima.
ω0=ωm
\omega_0 = \omega_m
Fonte: Halliday & ResnickPara uma mesma força motora aplicada, a amplitude aumenta à medida que b diminui. A largura da amplitude aumenta com o aumento de b.
Oscilação forçada. A ressonância c/ amortecimento.
O sistema de molas de mesma constante elástica e diferentes massas oscilarão conforme a frequência da força motora (driver).
Para que parâmetros do simulador a amplitude de oscilação será máxima para cada massa?
Oscilação forçada. A ressonância c/ amortecimento.
A potência transferida ao sistema massa-mola vai depender dos coeficientes de amortecimento, da frequência natural e também da fase.
Quais as massas e frequências de ressonância de cada um dos osciladores massa-mola?
A solução completa da EDO não homogênea
Dada a equação da oscilação amortecida e forçada:
A solução completa é a soma da parte transiente e estacionária:
x(t)=Ae2γtcos(ω′t+δ)+m2(ω02−ωm2)+b2ωm2Fmcos(ωmt+δ)
x(t)=Ae^{\frac{\gamma}{2}t}\cos(\omega't+\delta)+\frac{F_m}{\sqrt{m^2(\omega_0^2-\omega_m^2)+b^2\omega_m^2}}\cos(\omega_mt+\delta)
mx¨+bx˙+kx=Fmcos(ωmt+φ)
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_m\cos(\omega_mt+\varphi)
onde para um sistema massa-mola:
ω0=mk
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}
γ=mb
\gamma = \frac{b}{m}
ω′=ω02−(2γ)2
\omega' = \sqrt{\omega_0^2-\left(\frac{\gamma}{2}\right)^2}
tanδ=(ω02−ωm2)ωmγ,
\tan \delta = \frac{\omega_m\gamma}{(\omega_0^2-\omega_m^2)},
0≤δ≤π
0 \leq \delta\leq \pi
Solução da EDO quando F0=0.
Solução transiente.
Solução da EDO quando F0=0.
Solução estacionária.
Oscilação forçada. A potência.
No regime estacionário a potência instantânea da força viscosa(*)
p(t)=−Fv⋅v(t)
p(t)=-{\vec F_v\cdot \vec v(t)}
Integrando no tempo (em um período), obtemos a potência média:
p(t)=−(−bv).v=bv(t)2
p(t)=-(-b{\vec v).\vec v}=b{v(t)^2}
p(t)=b(xm2ωm2)sen2(ωmt+δ)
{p} (t)=b(x_m^2\omega_m^2)\,{\text{sen}^2(\omega_mt+\delta)}
P=21b(xm2ωm2)
\overline{P} =\frac{1}{2}b(x_m^2\omega_m^2)
e
xm=m(ω02−ωm2)2+γ2ωm2Fm
x_{m} = \frac{F_m}{m\sqrt{
(\omega_0^2-\omega_m^2)^2
+\gamma^2\omega_m^2
}}
P=2Fm2bm2[(ω02−ωm2)+γ2ωm2]ωm2=2bFm2senδ
\overline{P} =\frac{F_m^2}{2}b\frac{\omega_m^2}{m^2[(\omega_0^2-\omega_m^2)+\gamma^2\omega_m^2]}=\frac{F_m^2}{2b}\text{sen} \,\delta
Sabendo que x(t)=xmcos(ωmt+δ) e v=dx/dt=−ωmxmsen(ωmt+δ) :
A potência média é máxima quando δ=π/2.
(*) o correto seria calcular a potência da força motora externa. LINK.
Contudo, a potência da força motora deve ser igual à potência da força de arrasto que está dissipando uma dada quantidade de energia no tempo.
⇒
\Rightarrow
Você saberia mostrar porque sen(δ) surgiu na última passagem? Isto vale bônus.
Oscilação forçada. A potência.
A condição de ressonância, ω0=ωe ocorre quando δ=π/2 e a potência média é máxima:
Pmax=2bFm2
\overline{P} _{max}=\frac{F_m^2}{2b}
Fonte: Prof. Tarciro MendesNo amortecimento fraco (b→0), o fator de qualidade (Q) é grande e a largura do pico (Δω) é pequeno.
No amortecimento forte (b→∞), o fator de qualidade (Q) é pequeno e (Δω) é grande.
Δω=Qω0
{\Delta\omega}=\frac{{\omega_0}}{Q}
Δω=mb
{\Delta\omega}=\frac{{b}}{m}
É possível mostrar que a largura de banda Δω (calculada à meia altura da potência média máxima) é inversamente proporcional ao fator de qualidade:
⇒
\Rightarrow
Oscilação forçada. Eletromagnetismo.
A ressonância ocorre em muitos tipos de sistemas. Num sistema RLC (radio AM):
Fonte: https://youtu.be/pQhMSOj5a98i(t)=iecos(ωet+φ)
i(t) = i_e\cos(\omega_e t +\varphi)
ie=(ωeL−ωeC1)2+R2E
i_e = \frac{\mathcal{E}}{\sqrt{(\omega_eL-\frac{1}{\omega_eC})^2+R^2}}
ωeL=ωeC1⇒ωe=LC1=ω0
\omega_eL=\frac{1}{\omega_eC}\Rightarrow \omega_e = \frac{1}{\sqrt{LC}}=\omega_0
A corrente elétrica no circuito:
A amplitude da corrente no circuito:
A ressonância no circuito:
Questão 1
Um corpo de 1,5 kg de massa, preso a uma mola de constante elástica igual a 600 N/m, perde 3,0 por cento de sua energia em cada ciclo. O mesmo sistema é excitado por uma força senoidal com o valor máximo F0 = 0,50 N. (a) Quanto vale Q para este sistema? (b) Qual é a frequência angular de ressonância? (c) Se a frequência de excitação varia lentamente através da ressonância, qual é a largura de ressonância ∆ω? (d) Qual é a amplitude, na ressonância? (e) Qual é a amplitude, se a frequência de excitação é ω = 19 rad/s?
Questão 2
Um oscilador amortecido perde 3,50 por cento de sua energia a cada ciclo. (a) Quantos ciclos decorrem, até que metade de sua energia seja dissipada? (b) Qual é o seu fator Q? (c) Se a frequência natural é 100 Hz, qual é a largura da curva de ressonância quando o oscilador é excitado por uma força senoidal?
Questão 3
Um sistema massa-mola linearmente amortecido oscila a 200 Hz. A constante de tempo do sistema é 2,0 s. Em t = 0, a amplitude de oscilaçÃo é 6,0 cm e a energia do sistema oscilante é 60 J. (a) Quais são as amplitudes de oscilação em t = 2,0 s e em t = 4,0 s? (b) Quanta energia é dissipada no primeiro intervalo de 2 segundos e no segundo intervalo de 2 segundos?
Questão 4
Sismólogos e geólogos constataram que a Terra vibra com um período de ressonância de 54 min e um fator Q de cerca de 400. Após um grande terremoto, a Terra continua vibrando por até 2 meses. (a) Determine a porcentagem de energia de vibração dissipada em cada ciclo, devido às forças de amortecimento. (b) Mostre que, após n períodos, a energia de vibração é dada por E=E0(0,984)n, onde E0 é a energia original. (c) Se a energia de vibração original de um terremoto é E0, quanto vale a energia após 2,0 dias?
Questão 5
Suponha que m = 1, k = 9, F0 = 80 e ωe = 5, de modo que a equação diferencial do MHS forçado não amortecido seja:
mx¨+kx=F0cos(ωet)
m\ddot x +kx=F_0\cos(\omega_e t)
x¨+9x=80cos(5t)
\ddot x +9x=80\cos(5 t)
Encontre a solução geral x(t) se x(0)=0 e x˙(0)=0. Encontrar a solução e determinar os valores de A, B e C.
Sabe-se que:
x(t)=xt(t)+xe(t)
x(t)=x_t(t) + x_e(t)
xt(t)=Acos(ω0t)+Bsen(ω0t)
x_t(t) = A \cos(\omega_0 t)+
B \text{sen}(\omega_0 t)
xe(t)=Ccos(ωet)
x_e(t) = C \cos(\omega_e t)
onde:
Não está resolvida no SIGAA e vale 1,0 ponto se entregue resolvida e explicada presencialmente ao professor em dada e horário a ser combinados.
Se possível construir o gráfico x por t.
Solução da EDO quando F0=0. Solução transiente.
Solução da EDO quando F0=0. Solução estacionária.
Questão 6
Suponha que m = 1, b= 2, k = 2, F0 = 20 e ωe = 2, de modo que a equação diferencial do MHS forçado amortecido seja:
mx¨+bx˙+kx=F0cos(ωet)
m\ddot x +b\dot x+kx=F_0\cos(\omega_e t)
x¨+2x˙+2x=20cos(2t)
\ddot x +2\dot x +2x=20\cos(2 t)
Encontre a solução geral x(t) se x(0)=0 e x˙(0)=0. Encontrar a solução e determinar os valores de A, B, C e D.
Sabe-se que:
x(t)=xt(t)+xe(t)
x(t)=x_t(t) + x_e(t)
xt(t)=e−2γt(Acos(ω′t)+Bsen(ω′t))
x_t(t) = e^{-\frac{\gamma}{2} t}(A \cos(\omega' t)+
B \text{sen}(\omega' t))
xe(t)=Ccos(ωet)+Dcos(ωet)
x_e(t) = C \cos(\omega_e t)+
D \cos(\omega_e t)
onde:
ω′=ω02+4γ2
\omega' =\sqrt{\omega_0^2+\frac{\gamma^2}{4}}
Não está resolvida no SIGAA e vale 1,0 ponto se entregue resolvida e explicada presencialmente ao professor em dada e horário a ser combinados.
Se possível construir o gráfico x por t.
Solução da EDO quando F0=0. Solução transiente.
Solução da EDO quando F0=0. Solução estacionária.
Aplicação
É possível construir esta estrutura e medir as frequências de ressonância utilizando um smartphone?
Fonte: https://youtu.be/q7Jh0zu8xUYAula 04 Introdução à Física Clássica II Prof. Ronai Lisbôa Não compreendeu algo? Algo está esquisito? Comente!
IFC 2 - Aula 04
By Ronai Lisboa
IFC 2 - Aula 04
UNIDADE 1 : Oscilações. Movimento Harmônico Amortecido e Forçado. Ressonância. Energia e Potência. Fator de Qualidade.
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