Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 06
Introdução à Física Clássica II
Prof. Ronai Lisbôa
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Objetivos
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Bibliografia
Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.
Capítulo 15 - Ondas Mecânicas.
Seções: 15.4, 15.5
Calcular a energia e potência em uma onda.
Enunciar o princípio de superposição.
Calcular a reflexão e transmissão de ondas em um ponto de junção.
Calcular a rapidez de propagação de uma onda em uma corda.
Qualquer onda se propagando é descrita pela equação de onda, quer ela seja periódica, quer não. A solução da equação da onda deve ter a forma:
Ondas. A equação da onda.
F_t\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}
=
\mu\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}
Alternativamente,
Fonte: Tipler\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}
=
\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}
onde a rapidez de propagação da onda é:
v=\sqrt{\frac{F_t}{\mu}}
Para produzir o movimento de qualquer em um meio elástico é necessário fornecer energia mediante um trabalho mecânico realizado sobre esse meio.
As forças que as partes esquerda e direita da corda exercem sobre o sistema em estudo
a porção da corda é o sistema (meio elástico)
A equação da onda é um E.D.O. de 2a. ordem:
y(x,t)=f(x\pm vt)
A equação de movimento de onda (ou pulso) é uma EDO de segunda ordem:
Ondas. A equação da onda.
\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}
=
\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}
A curvatura e aceleração são proporcionais a menos de um fator multiplicativo e constante \(v^2\).
A rapidez de propagação da onda é \(v\) e tem as seguintes propriedades:
\(v\) depende da tensão aplicada.
\(v\) depende do meio de propagação.
v=\sqrt{
\frac{
\text{propriedade elástica}
}{
\text{propriedade inercial}
}
}
Curvatura
Aceleração
Força, compressibilidade, tensão, tração, etc.
Massa e densidade.
A rapidez de propagação do pulso depende apenas da força aplicada ao meio e da densidade do meio.
A velocidade transversal (\(v_y\)) de um ponto material do meio não afeta a rapidez de propagação (\(v\)).
Para o segmento de corda (B), via semelhança de triângulos:
\frac{F_y}{F_x}=\frac{v_t\Delta t}{v\Delta t}
\Rightarrow {F_y}=F_x\frac{v_t}{v}
A taxa de transferência de momento da componente da força \(F_y\):
m\Delta v_t=F_y\Delta t
(\mu\Delta x)v_t=F_y\Delta t
\Rightarrow(\mu v\Delta t)v_t=F_y\Delta t
\Rightarrow v=\sqrt{\frac{F_x}{\mu}}
Fonte: Eric MazurFonte: Eric MazurFonte: Eric MazurOndas. A equação da onda.
v\Delta t
vt
v_t
v_tt
densidade linear de massa: \(\mu= m/\Delta x\)
\vec F^c_{AB}
\frac{\partial^2 E(x,t)}{\partial x^2}
=
\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 E(x,t)}{\partial t^2}
onde as constantes de permissividade e permeabilidade são
Fonte: Giphyonde,
v=\sqrt{\frac{1}{\epsilon_0\mu_0}}
A rapidez de propagação da onda eletromagnética no vácuo é constante.
\epsilon_0 = 8,854\times 10^{-12} \text{C}^2\text{/N.m}^2
\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7} \text{N/A}^2
v=2,99796\times 10^{8}\text{m/s}=c
Ondas. A equação da onda.
A rapidez de propagação da luz no vácuo. Para o campo elétrico:
e
\Rightarrow \frac{\partial^2 E(x,t)}{\partial x^2}
=
\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 E(x,t)}{\partial t^2}
Temos uma onda eletromagnética e transversal que não precisa de um meio para se propagar.
Energia e Potência no movimento ondulatório
Onda é uma perturbação ou variação que transfere energia e momento progressivamente de um ponto ao outro em um meio que pode ter a forma de uma deformação elástica, ou de uma variação de pressão, ou de uma indensidade eletromagnética, ou temperatura.
Na Aula 5, vimos três características comuns as ondas. Entre elas, a energia.
Para produzir qualquer onda, devemos aplicar força a uma parte do meio onde a onda se propaga; o ponto sobre o qual a força é exercida se move, portanto, realizamos trabalho sobre o sistema.
À medida que a onda se propaga, cada porção do meio exerce uma força e realiza um trabalho sobre a porção adjacente.
Energia e Potência no movimento ondulatório
A força tangencial \(\vec F_T\) é a força que a corda do lado esquerdo (não mostrada) exerce sobre o lado direito da corda (cor laranja).
Essa força transfere energia e potência para a corda.
Se a velocidade transversal é máxima, a deformação também é máxima.
Se a aceleração é nula, a curvatura também é nula.
Quando as energias cinéticas e potencial elástica assumem seus valores máximos a energia mecânica tem a forma:
\overline{\frac{dE}{dx}}=
\overline{\frac{dK}{dx}}
+
\overline{\frac{dU}{dx}}
Quais as expressões para estas densidades energias?
Fonte: Tiplerdx
\frac{dy}{dx}
\vec v_t
Fonte: Eric MazurEnergia cinética é devido ao movimento da corda
Energia potencial é devido à deformação da corda
v
Energia potencial no movimento ondulatório
Fonte: Halliday & Resnick\Delta x
\Delta r
\theta
\Delta y
\Delta L = \Delta r - \Delta x
\Delta L = \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2} - \Delta x
\Delta L = \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2} - \Delta x
\Delta L = \Delta x\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2} - \Delta x
dL \approx \frac{1}{2}d x\left(
\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2
A energia potencial depende da deformação do meio, \(\Delta L\). Para uma corda:
dU=FdL
\Rightarrow dU=F \frac{1}{2}d x\left(
\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2
A energia potencial por unidade de comprimento do meio de propagação da onda:
\Rightarrow \frac{dU}{dx}=\frac{1}{2}F \left(
\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2
Se\, \theta \approx 0
Inclinação da corda
Há energia potencial quando existe uma força de tensão e alguma inclinação na corda.
Energia potencial no movimento ondulatório
Para uma onda periódica:
\overline{{\frac{dU}{dx}}}=\frac{1}{4}\mu\omega^2A^2=\frac{1}{2}\mu\, v_{0,y}^2
\Rightarrow\frac{dU}{dx}=\frac{1}{2}F k^2A^2\text{sen}^2(kx-\omega t)
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)
A densidade de energia potencial é uma função da posição e do tempo.
A densidade de energia potencial é máxima se \(\text{sen}^2(kx-\omega t) =1\) e mínima se \(\text{sen}^2(kx-\omega t) =0\)
\frac{dU}{dx}|_{max}=\frac{1}{2}\mu\omega^2A^2
A densidade de energia potencial média, em um período, é:
\frac{dU}{dx}=\frac{1}{2}F \left(
\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2
\frac{dU}{dx}|_{mín}=0
\frac{\partial y}{\partial x} = -kA\text{sen}(kx-\omega t)
\omega=vk
F = v^2\mu
ATENÇÃO
v_{0,y}=\omega_0A
Energia cinética no movimento ondulatório
A densidade de energia cinética é uma função da posição e do tempo:
dK=\frac{1}{2}(dm)v_y^2
A densidade de energia cinética é máxima se \(\text{sen}^2(kx-\omega_0 t) =1\) e mínima se \(\text{sen}^2(kx-\omega t) =0\)
\frac{dK}{dx}=\frac{1}{2}\mu\left(
\frac{\partial y}{\partial t}
\right)^2
A densidade de energia, em um período, para uma onda periódica:
\overline{\frac{dK}{dx}}=\frac{1}{4}\mu\omega^2A^2
=
\frac{1}{2}\mu\, v_{0,y}^2
Para uma onda periódica:
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)
\frac{\partial y}{\partial t} = -\omega A\text{sen}(kx-\omega t)
\Rightarrow\frac{dK}{dx}=\frac{1}{2}\mu\, \omega_0^2 A^2\text{sen}^2(kx-\omega t)
dm = \mu dx
\frac{dK}{dx}|_{max}=\frac{1}{2}\mu\, \omega^2A^2
=
\frac{1}{2}\mu v_{0,y}^2
\frac{dK}{dx}|_{min}=0
\omega=vk
F = v^2\mu
ATENÇÃO
v_{0,y}=\omega_0 A
Energia e Potência no movimento ondulatório
A densidade de energia total máxima de uma onda se propagando em um meio homogêneo é a soma das densidades de energia cinética e potencial:
{\frac{dE}{dx}}=
{\frac{dK}{dx}}+
{\frac{dU}{dx}}
\Rightarrow {\frac{dE}{dx}}= \mu\omega^2A^2
A energia mecânica total média:
\overline{{dE}}=
\frac{1}{2}\mu\omega^2A^2{dx}=\frac{1}{2}\mu\,v_{0,y}^2dx
A potência total média,
\overline{{P}}=
\overline{\frac{dE}{dt}}=
\frac{1}{2}\mu\omega^2A^2\frac{dx}{dt}
=
\frac{1}{2}\mu\,v_{0,y}^2v
As figuras mostram como se dá o processo de transferência de energia à medida que o tempo avança.
Observe que \(d\overline{K}/dx = d\overline{U}/dx\). Um pulso contém iguais quantidades de energia cinética e potencial elástica.
\Rightarrow {\frac{dE}{dx}}= \mu\,v_{0,y}^2
Nestas expressões não confunda \(v_{0,y}\) com \(v\), a rapidez de propagação da onda.
Fonte: Eric MazurEnergia cinética é devido ao movimento da corda
Energia potencial é devido à deformação da corda
v_{0,y}
v
Fonte: Eric MazurSe nenhuma energia é dissipada, a energia total é inalterada quando a onda viaja.
v_{0,y}
v
Potência no movimento ondulatório
A força tangencial \(\vec F_T\) é a força que a corda do lado esquerdo (não mostrada) exerce sobre o lado direito da corda (cor laranja).
No referencial mostrado:
\vec F_T = \vec F_x\hat i + \vec F_y j
E a potência instantânea é:
F_y = -F_T \text{sen}\theta\approx -F_T\tan\theta
Fonte: TiplerFonte: Sears & ZemanskyA potência somente é transferida quando existe uma inclinação e uma velocidade de perturbação da corda. A força transversal (\(F_y\)) realiza trabalho na direção da velocidade transversal (\(v_y\)).
P=\vec F_y\cdot \vec v_y
\Rightarrow P=-F_T \text{sen}\theta\,v_y
\Rightarrow P\approx-F_T \,\text{tan}\theta\, v_y
\text{Se } \theta << 1
P(x,t) = -F_T \frac{\partial y(x,t)}{\partial x}
\frac{\partial y(x,t)}{\partial t}
Força que tira a corda do equilíbrio
Velocidade trasnversal
Potência no movimento ondulatório
A potência instantânea é válida para qualquer onda se propagando em uma corda seja a onda periódica ou não.
Para ondas periódicas:
A potência instantânea é:
P(x,t) = F_T\,k\,\omega\,A^2\text{sen}^2(kx-\omega t)
Fonte: Sears & ZemanskyA potência instantânea é máxima quando \(\text{sen}^2(kx-\omega t)=1\) e mínima se \(\text{sen}^2(kx-\omega t)=0\).
y(x,t) = A \cos(kx-\omega_0 t)
P_{max} =\mu \,v\,\omega^2\,A^2
A potência média (em um período) é:
P_{med} =\frac{1}{2} \mu\,v\,\omega^2\,A^2
\omega=vk
F_T = v^2\mu
ATENÇÃO
A potência média não depende do tempo. É conservada!!!
P_{min} =0
Potência no movimento ondulatório
Em geral, para ondas mecânicas de todos os tipos, a equação é sempre válida:
Para ondas sísmicas, a potência quadruplica se a frequência for dobrada (para a mesma amplitude) ou se a amplitude for dobrada (para a mesma frequência).
Fonte: Sears & ZemanskyP_{med} =\frac{1}{2} \mu\,v\,\omega^2\,A^2
P_{med} =\frac{1}{2} \sqrt{\mu F_T}\,\omega^2\,A^2
ou
ou
P_{med} =\frac{1}{2} \mu\,v\,v_{0,y}^2
A superposição de ondas
A interferência é um fenômeno que se refere ao que acontece quando duas ou mais ondas passam pela mesma região ao mesmo tempo.
Duas ondas (ou mais) podem ocupar a mesma região do espaço no mesmo instante!
Interferência construtiva
Interferência destrutiva
Se duas ondas interferem em um meio que obedece à Lei de Hooke, então a função de onda resultante a qualquer instante é a soma algébrica das funções de onda individuais.
\frac{\partial^2 \Psi_1(x,t)}{\partial x^2}
=
\frac{1}{v^2}
\frac{\partial^2 \Psi_1(x,t)}{\partial t^2}
\frac{\partial^2 \Psi_2(x,t)}{\partial x^2}
=
\frac{1}{v^2}
\frac{\partial^2 \Psi_2(x,t)}{\partial t^2}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}
=
\frac{1}{v^2}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial t^2}
\Psi_1(x,t)=c_1y_1(x,t)
\Psi_2(x,t)=c_2y_2(x,t)
\Psi(x,t)=c_1y_1(x,t)+c_2y_2(x,t)
Onda 1
Onda 2
Interferência
Se \(y_1(x,t)\) é solução da equação da onda 1 e \(y_2(x,t)\) é solução da equação da onda 2, então a combinação linear também é solução da onda total.
Duas ondas podem passar uma através da outra sem mudança da forma da outra.
A superposição de ondas
Uma onda passa pela outra como se nada tivesse ocorrido.
É possível ouvir música e ouvir alguém falando porque o som total é a soma algébrica do som produzido pela voz de quem fala e da onda produzida pelo alto-falante do aparelho de som.
Supondo que os perfis têm a mesma forma, \(|y_1(x-vt)| = |y_2(x+vt)|\), a interferência pode ser:
Construtiva: \(c_1 = c_2\)
Destrutiva: \(c_1 = - c_2\)
Destrutiva/Construtiva parcial: \(c_1 = -0,5 c_2 \text{ ou } c_1 = +0,5 c_2\)
A superposição de ondas
Para ondas idênticas, as energias devem ser as mesmas para cada onda porque cada onda contém quantidades iguais de energia cinética e energia potencial. A energia total é conservada.
Fonte: Eric MazurAtenção: Na interferência destrutiva a energia potencial elástica é nula, mas não a cinética!
E_1 = K_1+U_1
E_2 = K_2+U_2
Fonte: Eric MazurE_{t,i} = 2K_1+2U_1
E_{t,f} = 4K_1
\Rightarrow K_1 = U_1
A velocidade trasnversal é \(v_y\).
A velocidade transversal é \(2v_y\).
A superposição de ondas
Aplicação. Transmissão e Reflexão de ondas.
Quando uma onda atinge as fronteiras de um meio, ocorre reflexão da onda inteira ou de uma parte dela. Caso seja parcial, uma parte da onda é transmitida.
Fonte: https://youtu.be/eEbM8G6YmJcFonte: https://youtu.be/O7aydScRbxcQuando há uma descontinuidade do meio de propagação há uma alteração da rapidez,
Assim, pode existir ou não uma reflexão e/ou transmissão da onda incidente.
v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}
Aplicação. Transmissão e Reflexão de ondas.
Ocorre superposição entre a onda incidente e a refletida na mesma região do meio quando há uma reflexão (invertida ou direita) que depende das propriedades do meio e das condições de contorno.
Corda com extremidade fixa em uma parede.
Corda com extremidade livre em uma parede.
Assemelha-se a uma interferência destrutiva.
Assemelha-se a uma interferência construtiva.
pulso refletido é invertido
pulso refletido é direito
Repare que a onda que é transmitida nunca é invertida (veja seta azul).
Fonte: Sears & ZemanxkyFonte: Sears & ZemanxkyFonte: Sears & ZemanxkyFonte: Sears & ZemanxkyF_y(x,t)=-F\frac{\partial y(x,t)}{\partial y}
O pulso será parcialmente refletido (\(r\)) e parcialmente transmitido (\(t\)). Os valores de (\(r\)) e (\(t\)) dependerão da rapidez de propagação (\(v\)).
f_r=r f_i
f_t=t f_i
A reflexão e transmissão dependerão das propriedades do material em ambos os lados da junção.
Aplicação. Transmissão e Reflexão de ondas.
x=0
Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State
r=\frac{v_2-v_1}{v_2+v_1}
t=\frac{2v_2}{v_1+v_2}
onde \(r,t\) são os coeficientes de reflexão e transmissão:
Caso 1: Densidades iguais.
Fonte: Halliday & ResnickCaso 2: Densidade diminui.
Caso 3: Densidade aumenta.
v_1=v_2
(\mu_1=\mu_2)
v_1< v_2
(\mu_1>\mu_2)
v_1> v_2
(\mu_1<\mu_2)
r=0
t>0
r>0
t>0
r<0
t>0
notamos que pulso transmitido nunca é invertido. O pulso refletido é invertido se \(v_1 > v_2\).
Aplicação. Transmissão e Reflexão de ondas.
r=\frac{v_2-v_1}{v_2+v_1}
t=\frac{2v_2}{v_1+v_2}
A partir dos coeficientes de reflexão e transmissão:
A onda incidente é \(f\), a onda refletida é \(f_r\) e a transmitida é \(f_t\). Portanto,
f_r(x,t)=rf(x,t)
f_t(x,t)=tf(x,t)
r=\frac{v_2-v_1}{v_2+v_1}
t=\frac{2v_2}{v_2+v_1}
onde
e
Chamam-se de refletividade \(\rho\) e transmissividade \(\tau\) as alturas dos pulsos refletido e transmitido,
\rho=\frac{\overline{P_r}}{\overline{P_i}}
\tau=\frac{\overline{P_t}}{\overline{P_i}}
De modo que:
\rho+\tau = 1
\overline{P_r}
+
\overline{P_t}
=
\overline{P_i}
Aplicação. Transmissão e Reflexão de ondas.
A potência é conservada.
Você pode mostrar que a potência é conservada utilizando a expressão abaixo na refletividade e transmissividade, acima.
\overline{P} = \frac{1}{2}\mu v\omega^2 A^2
Uma onda em uma corda é dada pela função y(x,t) = 0,075 cos[1,05 x - 12,6 t].
(a) Mostre que essa função satisfaz a equação de onda.
(b) Suponha que a densidade linear da corda seja μ = 0,250 kg/m e que a tensão aplicada a corda seja F = 36,0 N, qual é a potência instantanea máxima?
(c) Qual é a potência média?
Questão 1
Seja a função de onda y(x,t) = 1,0 cos[x+2t]. (a) Faça um gráfico y versus x dessa função para t = 0. (b) Sobre os mesmo eixos, faça um desenho da potência instantânea P(x,t). Considere uma tensão aplicada de 0,5 N. (c) Explique a relação entre o valor de P(x,t) e a inclinação da curva y(x,t) em função de x. Em particular, explique o que ocorre no ponto P = 0, no qual não existe nenhuma transferência de energia instantânea. (d) A grandeza P(x,t) possui sempre valor negativo. O que isso implica sobre o sentido da transferência de energia?
Questão 2
Uma das extremidades de uma corda de náilon está presa a um suporte fixo no topo de um poço vertical de uma mina com profundidade igual a 80,0 m. A corda fica esticada pela ação do peso de uma caixa de minérios com massa igual a 20,0 kg presa na extremidade inferior da corda. A massa da corda é igula a 2,0 kg. Um geólogo no fundo da mina, balançando a corda lateralmente, envia um sinal para seu colega que está no topo da mina.
(a) Qual é a velocidade da onda transversal que se propaga na corda?
(b) Considerando a massa da corda na extremidade inferior, no meio e na extremidade superior da corda.
Questão 3
Suponha que a declividade de uma praia abaixo da água seja de 12 cm de variação vertical por cada 1,0 m de distância horizontal. Uma onda se move em direção à terra e desacelera ao entrar em águas mais rasas. Qual será sua aceleração quando ela estiver a 10 m da linha da praia?
Questão 4
Questão 5
Você segura uma ponta de um barbante que está preso à parede pela outra ponta. A corda tem uma densidade de massa linear de 0,067 kg/m. Você eleva sua extremidade rapidamente a 12 m/s por 0,016 s, criando uma onda transversal que se move a 31 m/s. (a) Quanto trabalho você realizou na corda? Quais são (b) a energia, (c) a energia potencial e (d) a energia cinética da onda?
Questão 6
Dois fios de diferentes densidades lineares estão soldados um ao outro, pelas pontas, e depois submetidos a uma tração F (a mesma para os dois fios). A rapidez de onda no primeiro fio é o dobro daquela no segundo fio. Uma onda senoidal, viajando no primeiro fio, inicide sobre a emenda dos dois fios.
(a) Se a amplitude da onda incidente é A, quais são as amplitudes das ondas refletidas e transimitida?
(b) Qual é a razão entre as densidades de massa?
(c) Que fração da potência média incidente é refletida na emenda e que fração é transmitida?
Uma corda com densidade de massa linear de 0,360 kg/m está presa a um oscilador harmônico que tem uma potência máxima de 200 W. (a) Com o oscilador operando nesta potência máxima e a tensão na corda fixada em 30,0 N, uma onda de amplitude de 8,00 × 10^(-3) m é criada. Qual é o comprimento de onda mínimo possível para uma onda desta amplitude? (b) Qual é a potência de saída do oscilador se a onda gerada tiver a mesma amplitude, mas o dobro do comprimento de onda calculado na parte a, e a tensão for 15,0 N?
Questão 7
Mostre que f(x, t) = e^b(x−vt), onde b e v são constantes, é uma solução para a equação da onda.
Questão 8
Motivação
Um pulso pode revelar o tipo de matéria a altas profundidades.
Basta estudar as transmissões e reflexões dos pulsos sonoros no meio.
Ondas. A equação da onda.
A rapidez de propagação na superfície de um líquido:
v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi \gamma}{\rho\lambda}}
h<<\lambda/2\pi
v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}
v\approx\sqrt{gh}
Fonte: GiphyOndas capilares (Galinhos)
Ondas de gravidade (Tsunamis)
h>>\lambda/2\pi
v=\sqrt{\frac{2\pi \gamma}{\rho\lambda}}
v\approx\sqrt{\frac{\gamma}{\rho\,h}}
Em mar aberto, onde a profundidade é de h ~ 5 km, o comprimento de onda é da ordem de \(\lambda\) ~ 100 km:
\frac{h}{\lambda}=\frac{5}{100}\Rightarrow v = \sqrt{gh} = 221\text{m/s}
Em baías, onde a profundidade é de h ~ 10 m, o comprimento de onda é da ordem de \(\lambda\) ~ 2 cm:
\frac{h}{\lambda}=50\Rightarrow v = \sqrt{\frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda}}= 0,15\text{ m/s}
\(\gamma\) é a tensão superficial do fluido (newton/metro): LINK
As condições iniciais e as condições de contorno
O problema típico da teoria ondulatória é encontrar a solução geral
\Psi(x,0)=f_0(x)
# O deslocamento inicial (perfil):
As condições de contorno:
# A velocidade inicial (repouso):
\frac{\Psi(x,0)}{\partial t}=0
# Extremidades fixas (deslocamento nulo):
\Psi(0,t)=
\Psi(L,t)=0
As condições iniciais.
que deve satisfazer a equação da onda. Isto é, a razão entre a curvatura e aceleração deve ser um número independente de x e t, a rapidez da onda.
É necessário especificar algumas condições físicas para se conhecer as amplitudes: \(c_1,c_2\)
\Psi(x,t)=c_1y_1(x,t)+c_2y_2(x,t)
\Psi(0,t)=0
\Psi(10,t)=0
\Psi(x,t)=f_0(x)
Geralmente, em \(t = 0\).
Geralmente, nos extremos.
A solução geral de d'Alembert
Dada a equação de onda,
qualquer solução é uma superposição de uma onda progressiva que se propaga para a direita com uma onda progressiva que se propaga para a esquerda.
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}
=
\frac{1}{v^2}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial t^2}
\Psi(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)
# uma onda progressiva que se propaga para a direita (\(f(x-vt)\)).
# uma onda progressiva que se propaga para a esquerda (\(g(x+vt)\)).
Essa solução geral é a solução de d'Alembert.
Fonte: https://youtu.be/9O3VEXzuOKIA solução geral de d'Alembert
Suponhamos que a corda tenha um perfil inicial triangular. Como será o momento futuro?
\Psi(x,0)=f_0(x)
é solto a partir do repouso (velocidade inicial):
\frac{\Psi(x,0)}{\partial t}=0
A solução geral tem a forma:
\Psi(x,t)=\frac{1}{2}f_0(x-vt)+\frac{1}{2}f_0(x+vt)
Simule
A condição inicial (perfil):
f_0(x)
\frac{1}{2}f_0(x-vt)
\frac{1}{2}f_0(x+vt)
Um pulso atinge a extremidade fixa de uma corda muito longa com extremidade fixa na parede.
A solução de D'Alembert:
A condição de contorno (na parede), \(\forall \,t\):
\Psi(x,t)=g(x+vt)+f(x-vt)
\Psi(0,t)=0
A condição inicial, \(t=0\):
f(x-vt)\neq 0
g(x+vt)= 0
A solução do problema:
\Psi(x,t)=g(x+vt)-g(-x+vt)
e
x=0
O pulso reflete invertido. Na reflexão, em uma extremidade fixa há uma inversão do pulso.
Aplicação. Transmissão e Reflexão de ondas.
x<0
x>0
Aplicação. Transmissão e Reflexão de ondas.
A solução de D'Alembert:
A condição de contorno, \(\forall \,t\):
\Psi(x,t)=g(x+vt)+f(x-vt)
\frac{\partial \Psi(0,t)}{\partial x}=0
A condição de contorno, \(x=0\):
A solução do problema:
\Psi(x,t)=g(-x+vt)+g(x+vt)
x=0
O pulso reflete sem inversão. Na reflexão, em uma extremidade livre não há uma inversão do pulso.
\Rightarrow f'(-vt)+g'(+vt)=0
Um pulso atinge a extremidade fixa de uma corda muito longa com extremidade livre na parede.
Questão 7
Dada a EDO y’’ + 2 y = 0,
a) Mostre que y(x) = c1 cos (√2 x) + c2 sen (√2 x) satisfaz a EDO.
b) Aplique as condições de contorno y(0) = 1 e y(π) =0 à função e determine os coeficientes c1 e c2.
Atenção: A EDO não tem a forma da equação de onda. Esse exercício tem o objeto do aprendizado na aplicação de condições de contorno.
IFC 2 - Aula 06
By Ronai Lisboa
IFC 2 - Aula 06
UNIDADE 1 : Ondas. Equação da onda. Energia e potência de uma onda. Reflexão e Transmissão de ondas. Princípio de D'Alembert.
