Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 14
Introdução à Física Clássica II
Prof. Ronai Lisbôa
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Objetivos
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Bibliografia
Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.
Seções: 14.4, 14.5.
Distinguir um fluido laminar de um fluido turbulento, e como a velocidade do escoamento em um tubo depende do tamanho desse tubo.
Aplicar a equação de Bernoulli em certos tipos de escoamento para relacionar a pressão à velocidade do escoamento em diferentes pontos.
Perceber como o fluido viscoso e o turbulento diferem do ideal.
Fonte: BauerSimulação computacional da NASA, mostrando o fluxo aerodinâmico do ar do sistema de propulsão do jato Harrier em voo. As cores das linhas de fluxo aerodinâmico indicam o tempo decorrido desde que a exaustão iniciou.
Capítulo 14 - Mecânica dos Fluidos
Motivação
Estudos aerodinâmicos permitem entender como o design dos objetos interfere no fluxo de ar ao redor deles, o que é fundamental, no futebol, para determinar a velocidade e a trajetória que podem tomar.
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
O movimento dos fluidos é visível por meio de marcadores.
Num gas: utiliza-se fumaça.
Num líquido: utiliza-se corante.
As linhas de fluxo definem um campo de velocidades e um campo de densidades a cada posição e tempo.
IMPORTANTE!
Fonte: RandallFonte: RandallHidrodinâmica: fluidos em movimento.
Na abordagem de campos de velocidades, a velocidade em um região do fluido muda de um ponto para outro (espaço) e de um instante para outro (tempo).
\vec v (\vec r, t)=\text{constante}
\vec v (\vec r, t)\neq\text{constante}
Método de Euler x Lagrange
Dá-se atenção aos valores da velocidade e densidade das diversas “células do fluido” que passam num dado ponto fixo r do espaço à medida que o tempo t avança.
O fluido é subdividido em elementos de volume suficientemente pequenos para tratar cada um deles como uma partícula e depois descrever o movimento de cada partícula do fluido.
Fonte: Bauer.(Regime Laminar - Estacionário)
(Regime Turbulento - Não estacionário)
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
Fluido ideal
É um fluido com escoamento ideal ou escoamento com viscosidade nula, é aquele no qual não existem tensões de cisalhamento atuando no movimento do fluido.
Regime laminar.
A velocidade do fluido, em cada ponto do mesmo, é constante; ele não se altera com decorrer do tempo.
Trajetórias paralelas.
Regime turbulento.
A velocidade do fluido, em cada ponto do mesmo, não é constante.; ele se altera com decorrer do tempo.
Trajetórias irregulares.
Fonte: Randall
Fonte: Randall
Com boa aproximação o regime laminar pode ser considerado como um fluido ideal.
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
Regime laminar
A velocidade e pressão em cada ponto do fluido não mudam com o tempo.
As linhas de corrente e os tubos de corrente não mudam com o tempo.
Se incompressível, a densidade não varia no tempo.
Fonte: https://youtu.be/vzFVsDE97b0
Fonte: Randall
\frac{\partial v(r,t)}{\partial t} =0
\frac{\partial p(r,t)}{\partial t} =0
\frac{\partial \rho(r,t)}{\partial t} =0
v(r,t)=\text{constante}
p(r,t)=\text{constante}
\rho(r,t)=\text{constante}
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A vazão mássica através de uma superfície. A conservação de massa.
Fonte: HallidaySuperfície de entrada do tubo
Superfície de saída do tubo
Tubo de corrente
ponto 1
ponto 2
Para um fluido incompressível, se o escoamento é laminar (baixas velocidades), estacionário (velocidade constante), ideal (sem viscosidade) e sem fontes ou sumidouros de fluido:
Fonte: Eric Mazurdm_1 = dm_2
A massa que entrou em 1 é igual à massa que saiu em 2.
dm_1
dm_2
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A vazão mássica através de uma superfície. A equação da continuidade.
Vazão mássica é a taxa (em kg/s) com que o fluido atravessa uma superfície por unidade de tempo:
I_m = \frac{dm}{dt} = \rho A v
dm = \rho A\,dx
dm=\rho A\,v\,dt
dm=\rho dV
Para um elemento de massa:
Fonte: Eric Mazurponto 1
ponto 2
\frac{\text{kg}}{\text{s}}
A
dx
dm_1 = dm_2
A massa que entrou em 1 é igual à massa que saiu em 2:
A vazão de entrada é igual à vazão de saída. Então, a equação da continuidade:
I_{m,1} = I_{m,2}
\rho_1 A_1 v_1 =
\rho_2 A_2 v_2
massa por tempo
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A vazão volumétrica através de uma superfície. A equação da continuidade.
Vazão volumétrica é a taxa (em m\(^3\)/s) com que o fluido atravessa uma superfície por unidade de tempo:
A vazão volumétrica deve ser uma constante em qualquer seção do tubo. Então, a equação da continuidade:
I_V = A v
Para um fluido incompressível, a densidade não varia:
\rho_1=\rho_2=\rho
A_1v_1 = A_2v_2
A velocidade é maior na parte mais baixa do tubo de fluxo. Assim, O diâmetro do tubo de fluxo muda à medida que a velocidade aumenta.
\Rightarrow A_2 =\frac{v_1}{v_2}A_1
A_1
A_2
\vec v_1
\vec v_2
v_2 > v_1
\frac{\text{m}^3}{\text{s}}
Fonte: Halliday & ResnickFonte: Halliday & Resnickvolume por tempo
\rightarrow A_2 < A_1
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli.
Seja um fluido sem viscosidade (ideal), incompressível (densidade constante), em regime laminar (baixas velocidades) e estacionário (velocidade independe do tempo).
No tempo \(t_1\) o fluido está na altura \(y_1\) com velocidade \(v_1\).
A pressão que o fluido exerce no tubo de corrente a sua frente é \(p_1\).
No tempo \(t_2\) o fluido está na altura \(y_2\) com velocidade \(v_2\).
A pressão que o fluido exerce no tubo de corrente a sua frente é \(p_2\).
O fluido de massa \(\Delta m\) passou de um ponto de pressão \(p_1\) e altura \(y_1\) para outro de pressão \(p_2\) e altura \(y_2\).
Fonte: Adaptado RandallHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli.
Para um fluido ideal, incompressível, laminar e estacionário a energia é conservada.
W=\Delta K
A partir do teorema trabalho-energia cinética:
onde
\Delta K = \frac{1}{2}(\Delta m)v_2^2-\frac{1}{2}(\Delta m)v_1^2
\Rightarrow W_{v}+W_{c}=\Delta K
W_v=-(\Delta m)g(y_2-y_1)
W_c=(p_1A_1)\Delta x_1-(p_2A_2)\Delta x_2
Sendo que:
V=A\Delta x
\Delta m = \rho V
e
Obtemos a equação de Bernoulli:
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
e
\Delta x = v\Delta t
Fonte: Adaptado RandallHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli.
A soma da pressão com densidade de energia cinética com a densidade de energia potencial é uniforme ao longo de uma linha de corrente:
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
A soma da altura piezométrica com a altura cinética com com a altura geométrica é uniforme ao longo de uma linha de corrente.
\frac{p_1}{\rho g}+
\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{g}+h_1 =
\frac{p_2}{\rho g}+
\frac{1}{2}\frac{v_2^2}{g}+h_2
Física
Engenharia
Todas as parcelas têm dimensão de pressão!!!!
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Aplicações. Manômetro.
Fluido em equilíbrio estático (\(v_1=v_2=0\))
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
p_1+\rho g h_1=
p_2+\rho g h_2
p_2=
p_1+\rho g( h_1 -h_2)
Recuperamos a equação de Stevin da hidrostática!
Use Bernoulli quando há movimento do fluido.
Use Stevin quando não há movimento do fluido.
p_2=
p_1+\rho gH
\rightarrow p_B=
p_A
h_1
h_2
1
2
A
B
H
2
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Aplicações. Reservatórios.
Tubos abertos para a atmosfera (\(p_1=p_2=p_{atm}\))
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
\rho g (h_1 - h_2)=
\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)
A velocidade no ponto 1 é muito menor que a velocidade em 2, \(v_1 << v_2\):
1
2
h_1
h_2
\Delta h
v_2 = \sqrt{2g\Delta h}{}
Fonte: Tiplerv_2^2=v_1^2 + 2g\Delta h
É a equação de Torricelli!
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Aplicações. Medidor Pitô.
p_A+\frac{1}{2}\rho_{ar} v_A^2=
p_B+\frac{1}{2}\rho_{ar} v_B^2
Utilizado para medir a velocidade do ar nos aviões e carros de F1.
Eq. de Bernoulli sem elevação:
Calcula-se a velocidade de escoamento de um fluido se \(v_A\approx 0\):
v_B=\sqrt{2gh\frac{\rho_f}{\rho_{ar}}}
Fonte: https://youtu.be/udQI1E5vTPIFonte: Halliday & Resnickv_A \approx 0
\rho_f
\rho_{ar}
p_A-p_B=\rho_f gh
Eq. de Bernoulli no equilíbrio:
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Aplicações. Efeito Venturi.
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2
p+\frac{1}{2}\rho v^2=\text{constante}
p_1>p_2 \Rightarrow v_1 < v_2
Ao longo de uma linha de fluxo, se o fluido passa por um estrangulamento, a velocidade do fluido aumenta e a pressão do fluido diminui, e vice-versa.
A coluna do líquido vermelho sobe porque a pressão no estrangulamento é menor do que a pressão nas outra regiões do tubo.
Estrangulamento. Escoamento sem elevação (\(h_1=h_2=h\)).
Fonte: Wolfgang & BauerA_1v_1=A_2v_2
p_2
A_2
v_2
v_1
p_1
A_1
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Efeito Venturi.
Fonte: https://openstax.orgMantenha uma distância de 1,50 metros de um ciclista ao passar lateralmente por ele.
Fonte: https://youtu.be/MZQby7_SpFwHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Aplicações. Efeito Venturi.
Medidor Venturi. Escoamento sem elevação (\(h_1=h_2=h\))
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
p_1+\frac{1}{2}\rho_1 v_1^2=
p_2+\frac{1}{2}\rho_2 v_2^2
Desnível no líquido devido à diferença de pressão no fluido.
Eq. de Bernoulli sem elevação:
Eq. da vazão volumétrica:
v_1A_1=v_2A_2
Calcula-se a velocidade de escoamento de um fluido com auxílio das Eqs. de Stevin:
v_2=\sqrt{\frac{2(\rho_L-\rho_f)gA_1^2\Delta h}{\rho_f(A_1^2-A_2^2)}}
\rho_f\equiv \rho_{ar}
\rho_f\equiv \rho_{ar}
\rho_L
p_3
p_4
p_5
p_2
p_1
\odot
\odot
\odot
\odot
\odot
Fonte: Wolfgang & BauerFonte: Wolfgang & BauerHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Como o avião voa?
As linhas de escoamento seguem a aerodinâmica da asa.
A asa é um aerofólio assimétrico.
Para uma porção do fluido ao longo da linha de escoamento, a eq. de movimento:
\vec f +\vec\nabla p=\vec 0
\vec\nabla p=-\rho\vec a
A densidade das linhas de fluxo é maior acima da asa. Logo, a velocidade \(v_1 > v_2\).
Se \(v_1 > v_2\), então a pressão é tal que \(p_1 < p_2\).
Logo, a força resultante é orientada para cima.
A força tem a orientação da diminuição da pressão.
p_1 < p_2
Fonte: Alaor ChavesHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Empuxo Aerodinâmico.
Para quaisquer porções de ar acima ou abaixo da asa há uma força centrípeta que orienta para o centro de curvatura das linhas de fluxo.
Linha de fluxo
Volume
Centro de curvatura
Acima da asa
p_{T} > p_{ST}
p_{atm} > p_{ST}
Abaixo da asa:
p_{B} < p_{SB}
p_{atm} < p_{SB}
Fonte: Alaor ChavesFonte: Alaor ChavesFonte: TiplerHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Empuxo Aerodinâmico.
A diferença de pressão entre as superfícies superior e inferior da asa é responsável pela sustentação do avião:
p_{SB} > p_{ST}
Através da asa o gradiente da pressão cresce de baixo para cima.
Fonte: Alaor ChavesHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Como o avião voa?
Na figura, \(p_1\) bem adiante da asa é maior do que \(p_2\):
p_{1} > p_{2}
Porções de ar ganham rapidez quando entram em regiões de baixa pressão.
p_{1} = p_{atm}
A porção de ar ao passar de 1 para 2 ganha rapidez:
v_{1} < v_{2}
A equação de Bernoulli, com boa aproximação de 1 para 2:
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2
Fonte: Alaor ChavesFonte: https://youtu.be/b8lQfIr-XCgHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Como o avião voa?
A variação de pressão é, portanto:
p_2-p_1=-\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)
Definindo:
\overline v =\frac{v_2+v_1}{2}
\Delta v={v_2-v_1}
Reescrevemos:
p_2-p_1=-\rho \overline{v}\Delta v
O empuxo sobre a asa do avião:
E=F_1-F_2=(p_1-p_2)A
Combinando (1), (2) e (3):
E=\rho\overline v\Delta v A = \frac{1}{2}\rho(v_2^2-v_1^2)A
(1)
(2)
(3)
Fonte: Alaor ChavesHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Como o avião voa?
O empuxo
E= \frac{1}{2}\rho v_1^2\left(\frac{v_2^2}{v_1^2}-1\right)A
A vazão volumétrica para um fluido incompressível:
A_1 v_1 = A_2 v_2
O empuxo
E= \frac{1}{2}\rho v_1^2\left(\frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right)A
E= \frac{1}{2}\rho v^2RA
onde \(R\) é o coeficiente de sustentação (aerodinâmica ao ângulo de ataque):
R=\left(\frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right)
Fonte: Alaor ChavesHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Como o avião voa?
Para que exista sustentação:
E\geq P
A velocidade do avião:
Dados: \(M = 3,5 \times 10^5\) kg; \(g = 9,8 \text{m/s}^2 \); \(R=0,5\); \(\rho = 1,3 \text{kg/m}^3\):
\frac{1}{2}\rho v^2RA \geq Mg
Para um avião de massa \(M\):
v^2 \geq \frac{2Mg}{R\rho A}
v = 540\text{ km/h}
Para manter um Boing 747 no ar. Se ρ é menor do que \(1,3 \text{kg/m}^3\) o tamanho da pista deve ser maior para garantir a velocidade mínima de sustentação.
Fonte: Alaor ChavesHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Efeito Magnus.
Uma bola lançada com efeito mostra um desvio lateral em sua trajetória.
O plano da curvatura é determinado pela direção do eixo de giro da bola
O ar adjacente à bola tende a acompanhar o movimento da bola.
Translada
Rotaciona
Composto
v_E>v_D
p_E< p_D
A força \(\vec F_M\) tem a orientação da diminuição da pressão.
Fonte: Alaor ChavesHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Efeito Magnus.
Aplicando um pouco de álgebra vetorial é possível calcular a força do efeito Magnus:
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2
v_1 > v_2 \Rightarrow p_1 < p_2
\vec\nabla p=-\vec f_M
\vec f_M = c(\vec\omega \times \vec v)
\vec f_M = -c\omega v\hat i
Fonte: Alaor ChavesQuestão 1
O sangue flui a 25 cm/s em uma aorta de 9,0 mm de raio. Calcule a vazão volumétrica em litros por minuto.
Questão 2
O sangue flui de uma artéria de 0,30 cm de raio, onde sua rapidez é 10 cm/s, para uma região onde o raio foi reduzido para 0,20 cm em virtude do espessamento das paredes arteriais (arteriosclerose). Qual é a rapidez do sangue na região mais estreita?
Questão 3
Água escoa a 2,0m/s em um cano horizontal, sob a pressão manométrica de 200 kPa. O cano se estreita à metade de seu diâmetro original. Qual é a pressão manométrica na secção estreita?
Questão 4
A água flui pelos canos mostrados na figura. A velocidade da água pelo cano mais baixo é de 5,0 m/s, e um manômetro marca 75 kPa. Qual é a leitura do manômetro no cano superior?
Questão 5
Pequenas usinas hidroelétricas em montanhas às vezes trazem água de um reservatório para a usina de energia através de tubos embutidos. Em uma dessas usinas, o tubo de captação de 100 cm de diâmetro, na base da represa, localiza-se 50 m abaixo da superfície do reservatório. A água desce 200 m através do tubo antes de entrar na turbina por um bocal de 50 cm de diâmetro.
-
a.Qual é a velocidade da água na turbina?
-
b.Em quanto a pressão de entrada difere da presão hidrostática àquela profundidade?
Questão 6
A água entra em uma casa através de um tubo com diâmetro interno de 2,0 cm, com uma pressão absoluta igual a 4,0 x 10^5 Pa. Um tubo com diâmetro interno de 1, 0 cm conduz ao banheiro do segundo andar a 5,0 m de altura. Sabendo que no tubo de entrada a velocidade é igual a 1, 5 m/s, ache a pressão na tubulação do banheiro.
Questão 7
Considere a situação em que você toma água através de um canudo, onde sua boca é colocada na extremidade superior do canudo. A velocidade que a água deve ter ao entrar em sua boca é v_boca = 0,7 m/s. A altura de elevação da água até sua boca é h = 22 cm, como indicado na figura. A densidade da água é 1000 kg/m^3, o diâmetro do copo é muito maior que o diâmetro do canudo e a aceleração da gravidade é g = 9,8 m/s^2. Qual é a pressão manométrica necessária dentro de sua boca para esta situação ocorrer? p_atm = 1 x 10^5 Pa.
Questão 8
Um grande tanque aberto de raio R está parcialmente cheio com água. É feito no tanque um pequeno furo de área Af, situado a uma profundidade h com relação à superfície livre da água. Quanto tempo leva para escoar toda a água?
Questão 9
São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo ( η= 0,0083 Pa.s), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo?
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
Para um mesmo tempo, o campo de velocidades muda de uma região para outra.
\vec v (r=1, t)\neq
\vec v (r=2, t)
Para um mesma região, o campo de velocidades muda de um tempo para outro.
\vec v (r, t=0)\neq
\vec v (r, t=1)
Fonte: Cortesia Prof. André BessaFonte: Cortesia Prof. André BessaHidrodinâmica: fluidos em movimento.
Fluido real
A viscosidade do fluido real, que determina o grau de atrito entre as camadas de fluido e entre o fluido e a parede sólida, é responsável pela variação de velocidade (gradiente de velocidade) entre as camadas.
Viscoso x Não viscoso
Newtonianos => a viscosidade dinâmica é constante para uma dada pressão e temperatura.
Não Newtonianos => a viscosidade dinâmica não é constante para uma dada pressão e temperatura.
Fonte: Eric Mazur(a) baixa velocidade sem viscosidade.
(b) baixa velocidade com viscosidade.
(c) alta velocidade com viscosidade.
(a)
(b)
(c)
A viscosidade é uma resistência ao fluxo.
Um fluido não viscoso é o mesmo que presumir que não existe atrito.
ou AQUI
(ideal)
(real)
(real)
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
Viscoso x Não viscoso e Aerodinâmica
Quando o fluido passa na região onde há um objeto estacionário o regime laminar ou turbulento depende da velocidade e da viscosidade do fluido e da forma do objeto.
Velocidade baixa e sem viscosidadeVelocidade baixa e com viscosidadeVelocidade alta e com turbulênciaVelocidade alta e sem turbulência Fonte: Eric MazurAERODINÂMICA diminui a turbulência, mesmo com viscosidade.
IFC 2 - Aula 14
By Ronai Lisboa
IFC 2 - Aula 14
UNIDADE 2 : Fluidos. Hidrodinâmica. Escoamento de fluidos viscosos. Equação de continuidade. Equação de Bernoulli.
