Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 14
Introdução à Física Clássica II
Prof. Ronai Lisbôa
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Objetivos
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Bibliografia
Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.
Seções: 14.4, 14.5.
Distinguir um fluido laminar de um fluido turbulento, e como a velocidade do escoamento em um tubo depende do tamanho desse tubo.
Aplicar a equação de Bernoulli em certos tipos de escoamento para relacionar a pressão à velocidade do escoamento em diferentes pontos.
Perceber como o fluido viscoso e o turbulento diferem do ideal.
Fonte: BauerSimulação computacional da NASA, mostrando o fluxo aerodinâmico do ar do sistema de propulsão do jato Harrier em voo. As cores das linhas de fluxo aerodinâmico indicam o tempo decorrido desde que a exaustão iniciou.
Capítulo 14 - Mecânica dos Fluidos
Motivação
Estudos aerodinâmicos permitem entender como o design dos objetos interfere no fluxo de ar ao redor deles, o que é fundamental, no futebol, para determinar a velocidade e a trajetória que podem tomar.
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
O movimento dos fluidos é visível por meio de marcadores.
Num gas: utiliza-se fumaça.
Num líquido: utiliza-se corante.
As linhas de fluxo definem um campo de velocidades e um campo de densidades a cada posição e tempo.
IMPORTANTE!
Fonte: RandallFonte: RandallHidrodinâmica: fluidos em movimento.
Na abordagem de campos de velocidades, a velocidade em um região do fluido muda de um ponto para outro (espaço) e de um instante para outro (tempo).
v(r,t)=constante
\vec v (\vec r, t)=\text{constante}
v(r,t)=constante
\vec v (\vec r, t)\neq\text{constante}
Método de Euler x Lagrange
Dá-se atenção aos valores da velocidade e densidade das diversas “células do fluido” que passam num dado ponto fixo r do espaço à medida que o tempo t avança.
O fluido é subdividido em elementos de volume suficientemente pequenos para tratar cada um deles como uma partícula e depois descrever o movimento de cada partícula do fluido.
Fonte: Bauer.(Regime Laminar - Estacionário)
(Regime Turbulento - Não estacionário)
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
Fluido ideal
É um fluido com escoamento ideal ou escoamento com viscosidade nula, é aquele no qual não existem tensões de cisalhamento atuando no movimento do fluido.
Regime laminar.
A velocidade do fluido, em cada ponto do mesmo, é constante; ele não se altera com decorrer do tempo.
Trajetórias paralelas.
Regime turbulento.
A velocidade do fluido, em cada ponto do mesmo, não é constante.; ele se altera com decorrer do tempo.
Trajetórias irregulares.
Fonte: Randall
Fonte: Randall
Com boa aproximação o regime laminar pode ser considerado como um fluido ideal.
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
Regime laminar
A velocidade e pressão em cada ponto do fluido não mudam com o tempo.
As linhas de corrente e os tubos de corrente não mudam com o tempo.
Se incompressível, a densidade não varia no tempo.
Fonte: https://youtu.be/vzFVsDE97b0
Fonte: Randall
∂t∂v(r,t)=0
\frac{\partial v(r,t)}{\partial t} =0
∂t∂p(r,t)=0
\frac{\partial p(r,t)}{\partial t} =0
∂t∂ρ(r,t)=0
\frac{\partial \rho(r,t)}{\partial t} =0
v(r,t)=constante
v(r,t)=\text{constante}
p(r,t)=constante
p(r,t)=\text{constante}
ρ(r,t)=constante
\rho(r,t)=\text{constante}
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A vazão mássica através de uma superfície. A conservação de massa.
Fonte: HallidaySuperfície de entrada do tubo
Superfície de saída do tubo
Tubo de corrente
ponto 1
ponto 2
Para um fluido incompressível, se o escoamento é laminar (baixas velocidades), estacionário (velocidade constante), ideal (sem viscosidade) e sem fontes ou sumidouros de fluido:
Fonte: Eric Mazurdm1=dm2
dm_1 = dm_2
A massa que entrou em 1 é igual à massa que saiu em 2.
dm1
dm_1
dm2
dm_2
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A vazão mássica através de uma superfície. A equação da continuidade.
Vazão mássica é a taxa (em kg/s) com que o fluido atravessa uma superfície por unidade de tempo:
Im=dtdm=ρAv
I_m = \frac{dm}{dt} = \rho A v
dm=ρAdx
dm = \rho A\,dx
dm=ρAvdt
dm=\rho A\,v\,dt
dm=ρdV
dm=\rho dV
Para um elemento de massa:
Fonte: Eric Mazurponto 1
ponto 2
skg
\frac{\text{kg}}{\text{s}}
A
A
dx
dx
dm1=dm2
dm_1 = dm_2
A massa que entrou em 1 é igual à massa que saiu em 2:
A vazão de entrada é igual à vazão de saída. Então, a equação da continuidade:
Im,1=Im,2
I_{m,1} = I_{m,2}
ρ1A1v1=ρ2A2v2
\rho_1 A_1 v_1 =
\rho_2 A_2 v_2
massa por tempo
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A vazão volumétrica através de uma superfície. A equação da continuidade.
Vazão volumétrica é a taxa (em m3/s) com que o fluido atravessa uma superfície por unidade de tempo:
A vazão volumétrica deve ser uma constante em qualquer seção do tubo. Então, a equação da continuidade:
IV=Av
I_V = A v
Para um fluido incompressível, a densidade não varia:
ρ1=ρ2=ρ
\rho_1=\rho_2=\rho
A1v1=A2v2
A_1v_1 = A_2v_2
A velocidade é maior na parte mais baixa do tubo de fluxo. Assim, O diâmetro do tubo de fluxo muda à medida que a velocidade aumenta.
⇒A2=v2v1A1
\Rightarrow A_2 =\frac{v_1}{v_2}A_1
A1
A_1
A2
A_2
v1
\vec v_1
v2
\vec v_2
v2>v1
v_2 > v_1
sm3
\frac{\text{m}^3}{\text{s}}
Fonte: Halliday & ResnickFonte: Halliday & Resnickvolume por tempo
→A2<A1
\rightarrow A_2 < A_1
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli.
Seja um fluido sem viscosidade (ideal), incompressível (densidade constante), em regime laminar (baixas velocidades) e estacionário (velocidade independe do tempo).
No tempo t1 o fluido está na altura y1 com velocidade v1.
A pressão que o fluido exerce no tubo de corrente a sua frente é p1.
No tempo t2 o fluido está na altura y2 com velocidade v2.
A pressão que o fluido exerce no tubo de corrente a sua frente é p2.
O fluido de massa Δm passou de um ponto de pressão p1 e altura y1 para outro de pressão p2 e altura y2.
Fonte: Adaptado RandallHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli.
Para um fluido ideal, incompressível, laminar e estacionário a energia é conservada.
W=ΔK
W=\Delta K
A partir do teorema trabalho-energia cinética:
onde
ΔK=21(Δm)v22−21(Δm)v12
\Delta K = \frac{1}{2}(\Delta m)v_2^2-\frac{1}{2}(\Delta m)v_1^2
⇒Wv+Wc=ΔK
\Rightarrow W_{v}+W_{c}=\Delta K
Wv=−(Δm)g(y2−y1)
W_v=-(\Delta m)g(y_2-y_1)
Wc=(p1A1)Δx1−(p2A2)Δx2
W_c=(p_1A_1)\Delta x_1-(p_2A_2)\Delta x_2
Sendo que:
V=AΔx
V=A\Delta x
Δm=ρV
\Delta m = \rho V
e
Obtemos a equação de Bernoulli:
p1+21ρv12+ρgh1=p2+21ρv22+ρgh2
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
e
Δx=vΔt
\Delta x = v\Delta t
Fonte: Adaptado RandallHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli.
A soma da pressão com densidade de energia cinética com a densidade de energia potencial é uniforme ao longo de uma linha de corrente:
p1+21ρv12+ρgh1=p2+21ρv22+ρgh2
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
A soma da altura piezométrica com a altura cinética com com a altura geométrica é uniforme ao longo de uma linha de corrente.
ρgp1+21gv12+h1=ρgp2+21gv22+h2
\frac{p_1}{\rho g}+
\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{g}+h_1 =
\frac{p_2}{\rho g}+
\frac{1}{2}\frac{v_2^2}{g}+h_2
Física
Engenharia
Todas as parcelas têm dimensão de pressão!!!!
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Aplicações. Manômetro.
Fluido em equilíbrio estático (v1=v2=0)
p1+21ρv12+ρgh1=p2+21ρv22+ρgh2
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
p1+ρgh1=p2+ρgh2
p_1+\rho g h_1=
p_2+\rho g h_2
p2=p1+ρg(h1−h2)
p_2=
p_1+\rho g( h_1 -h_2)
Recuperamos a equação de Stevin da hidrostática!
Use Bernoulli quando há movimento do fluido.
Use Stevin quando não há movimento do fluido.
p2=p1+ρgH
p_2=
p_1+\rho gH
→pB=pA
\rightarrow p_B=
p_A
h1
h_1
h2
h_2
1
1
2
2
A
A
B
B
H
H
2
2
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Aplicações. Reservatórios.
Tubos abertos para a atmosfera (p1=p2=patm)
p1+21ρv12+ρgh1=p2+21ρv22+ρgh2
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
21ρv12+ρgh1=21ρv22+ρgh2
\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
ρg(h1−h2)=21ρ(v22−v12)
\rho g (h_1 - h_2)=
\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)
A velocidade no ponto 1 é muito menor que a velocidade em 2, v1<<v2:
1
1
2
2
h1
h_1
h2
h_2
Δh
\Delta h
v2=2gΔh
v_2 = \sqrt{2g\Delta h}{}
Fonte: Tiplerv22=v12+2gΔh
v_2^2=v_1^2 + 2g\Delta h
É a equação de Torricelli!
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Aplicações. Medidor Pitô.
pA+21ρarvA2=pB+21ρarvB2
p_A+\frac{1}{2}\rho_{ar} v_A^2=
p_B+\frac{1}{2}\rho_{ar} v_B^2
Utilizado para medir a velocidade do ar nos aviões e carros de F1.
Eq. de Bernoulli sem elevação:
Calcula-se a velocidade de escoamento de um fluido se vA≈0:
vB=2ghρarρf
v_B=\sqrt{2gh\frac{\rho_f}{\rho_{ar}}}
Fonte: https://youtu.be/udQI1E5vTPIFonte: Halliday & ResnickvA≈0
v_A \approx 0
ρf
\rho_f
ρar
\rho_{ar}
pA−pB=ρfgh
p_A-p_B=\rho_f gh
Eq. de Bernoulli no equilíbrio:
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Aplicações. Efeito Venturi.
p1+21ρv12+ρgh1=p2+21ρv22+ρgh2
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
p1+21ρv12=p2+21ρv22
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2
p+21ρv2=constante
p+\frac{1}{2}\rho v^2=\text{constante}
p1>p2⇒v1<v2
p_1>p_2 \Rightarrow v_1 < v_2
Ao longo de uma linha de fluxo, se o fluido passa por um estrangulamento, a velocidade do fluido aumenta e a pressão do fluido diminui, e vice-versa.
A coluna do líquido vermelho sobe porque a pressão no estrangulamento é menor do que a pressão nas outra regiões do tubo.
Estrangulamento. Escoamento sem elevação (h1=h2=h).
Fonte: Wolfgang & BauerA1v1=A2v2
A_1v_1=A_2v_2
p2
p_2
A2
A_2
v2
v_2
v1
v_1
p1
p_1
A1
A_1
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Efeito Venturi.
Fonte: https://openstax.orgMantenha uma distância de 1,50 metros de um ciclista ao passar lateralmente por ele.
Fonte: https://youtu.be/MZQby7_SpFwHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Aplicações. Efeito Venturi.
Medidor Venturi. Escoamento sem elevação (h1=h2=h)
p1+21ρv12+ρgh1=p2+21ρv22+ρgh2
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g h_1=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g h_2
p1+21ρ1v12=p2+21ρ2v22
p_1+\frac{1}{2}\rho_1 v_1^2=
p_2+\frac{1}{2}\rho_2 v_2^2
Desnível no líquido devido à diferença de pressão no fluido.
Eq. de Bernoulli sem elevação:
Eq. da vazão volumétrica:
v1A1=v2A2
v_1A_1=v_2A_2
Calcula-se a velocidade de escoamento de um fluido com auxílio das Eqs. de Stevin:
v2=ρf(A12−A22)2(ρL−ρf)gA12Δh
v_2=\sqrt{\frac{2(\rho_L-\rho_f)gA_1^2\Delta h}{\rho_f(A_1^2-A_2^2)}}
ρf≡ρar
\rho_f\equiv \rho_{ar}
ρf≡ρar
\rho_f\equiv \rho_{ar}
ρL
\rho_L
p3
p_3
p4
p_4
p5
p_5
p2
p_2
p1
p_1
⊙
\odot
⊙
\odot
⊙
\odot
⊙
\odot
⊙
\odot
Fonte: Wolfgang & BauerFonte: Wolfgang & BauerHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Como o avião voa?
As linhas de escoamento seguem a aerodinâmica da asa.
A asa é um aerofólio assimétrico.
Para uma porção do fluido ao longo da linha de escoamento, a eq. de movimento:
f+∇p=0
\vec f +\vec\nabla p=\vec 0
∇p=−ρa
\vec\nabla p=-\rho\vec a
A densidade das linhas de fluxo é maior acima da asa. Logo, a velocidade v1>v2.
Se v1>v2, então a pressão é tal que p1<p2.
Logo, a força resultante é orientada para cima.
A força tem a orientação da diminuição da pressão.
p1<p2
p_1 < p_2
Fonte: Alaor ChavesHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Como o avião voa?
Na figura, p1 bem adiante da asa é maior do que p2:
p1>p2
p_{1} > p_{2}
Porções de ar ganham rapidez quando entram em regiões de baixa pressão.
p1=patm
p_{1} = p_{atm}
A porção de ar ao passar de 1 para 2 ganha rapidez:
v1<v2
v_{1} < v_{2}
A equação de Bernoulli, com boa aproximação de 1 para 2:
p1+21ρv12=p2+21ρv22
p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=
p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2
Fonte: Alaor ChavesFonte: https://youtu.be/b8lQfIr-XCgHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Como o avião voa?
A variação de pressão é, portanto:
p2−p1=−21ρ(v22−v12)
p_2-p_1=-\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)
Definindo:
v=2v2+v1
\overline v =\frac{v_2+v_1}{2}
Δv=v2−v1
\Delta v={v_2-v_1}
Reescrevemos:
p2−p1=−ρvΔv
p_2-p_1=-\rho \overline{v}\Delta v
O empuxo sobre a asa do avião:
E=F1−F2=(p1−p2)A
E=F_1-F_2=(p_1-p_2)A
Combinando (1), (2) e (3):
E=ρvΔvA=21ρ(v22−v12)A
E=\rho\overline v\Delta v A = \frac{1}{2}\rho(v_2^2-v_1^2)A
(1)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
Fonte: Alaor ChavesHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Como o avião voa?
O empuxo
E=21ρv12(v12v22−1)A
E= \frac{1}{2}\rho v_1^2\left(\frac{v_2^2}{v_1^2}-1\right)A
A vazão volumétrica para um fluido incompressível:
A1v1=A2v2
A_1 v_1 = A_2 v_2
O empuxo
E=21ρv12(A22A12−1)A
E= \frac{1}{2}\rho v_1^2\left(\frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right)A
E=21ρv2RA
E= \frac{1}{2}\rho v^2RA
onde R é o coeficiente de sustentação (aerodinâmica ao ângulo de ataque):
R=(A22A12−1)
R=\left(\frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right)
Fonte: Alaor ChavesHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Como o avião voa?
Para que exista sustentação:
E≥P
E\geq P
A velocidade do avião:
Dados: M=3,5×105 kg; g=9,8m/s2; R=0,5; ρ=1,3kg/m3:
21ρv2RA≥Mg
\frac{1}{2}\rho v^2RA \geq Mg
Para um avião de massa M:
v2≥RρA2Mg
v^2 \geq \frac{2Mg}{R\rho A}
v=540 km/h
v = 540\text{ km/h}
Para manter um Boing 747 no ar. Se ρ é menor do que 1,3kg/m3 o tamanho da pista deve ser maior para garantir a velocidade mínima de sustentação.
Fonte: Alaor ChavesQuestão 1
O sangue flui a 25 cm/s em uma aorta de 9,0 mm de raio. Calcule a vazão volumétrica em litros por minuto.
Questão 2
O sangue flui de uma artéria de 0,30 cm de raio, onde sua rapidez é 10 cm/s, para uma região onde o raio foi reduzido para 0,20 cm em virtude do espessamento das paredes arteriais (arteriosclerose). Qual é a rapidez do sangue na região mais estreita?
Questão 3
Água escoa a 2,0m/s em um cano horizontal, sob a pressão manométrica de 200 kPa. O cano se estreita à metade de seu diâmetro original. Qual é a pressão manométrica na secção estreita?
Questão 4
A água flui pelos canos mostrados na figura. A velocidade da água pelo cano mais baixo é de 5,0 m/s, e um manômetro marca 75 kPa. Qual é a leitura do manômetro no cano superior?
Questão 5
Pequenas usinas hidroelétricas em montanhas às vezes trazem água de um reservatório para a usina de energia através de tubos embutidos. Em uma dessas usinas, o tubo de captação de 100 cm de diâmetro, na base da represa, localiza-se 50 m abaixo da superfície do reservatório. A água desce 200 m através do tubo antes de entrar na turbina por um bocal de 50 cm de diâmetro.
-
a.Qual é a velocidade da água na turbina?
-
b.Em quanto a pressão de entrada difere da presão hidrostática àquela profundidade?
Questão 6
A água entra em uma casa através de um tubo com diâmetro interno de 2,0 cm, com uma pressão absoluta igual a 4,0 x 10^5 Pa. Um tubo com diâmetro interno de 1, 0 cm conduz ao banheiro do segundo andar a 5,0 m de altura. Sabendo que no tubo de entrada a velocidade é igual a 1, 5 m/s, ache a pressão na tubulação do banheiro.
Questão 7
Considere a situação em que você toma água através de um canudo, onde sua boca é colocada na extremidade superior do canudo. A velocidade que a água deve ter ao entrar em sua boca é v_boca = 0,7 m/s. A altura de elevação da água até sua boca é h = 22 cm, como indicado na figura. A densidade da água é 1000 kg/m^3, o diâmetro do copo é muito maior que o diâmetro do canudo e a aceleração da gravidade é g = 9,8 m/s^2. Qual é a pressão manométrica necessária dentro de sua boca para esta situação ocorrer? p_atm = 1 x 10^5 Pa.
Questão 8
Um grande tanque aberto de raio R está parcialmente cheio com água. É feito no tanque um pequeno furo de área Af, situado a uma profundidade h com relação à superfície livre da água. Quanto tempo leva para escoar toda a água?
Aula 14 Introdução à Física Clássica II Prof. Ronai Lisbôa Não compreendeu algo? Algo está esquisito? Comente!
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IFC 2 - Aula 14
UNIDADE 2 : Fluidos. Hidrodinâmica. Escoamento de fluidos viscosos. Equação de continuidade. Equação de Bernoulli.
- 131
