Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 19
Introdução à Física Clássica II
Prof. Ronai Lisbôa
Não compreendeu algo? Algo está esquisito? Comente!
Objetivos
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Bibliografia
Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.
Capítulo 19 - A primeira lei da termodinâmica
Seções: 19.6, 19.7, 19.8
Verificar que a energia interna de um gás ideal a menos de algumas constantes é função somente da temperatura.
Os calores específicos de um gás ideal a partir da primeira lei da termodinâmica.
Estudar os processos termodinâmicos em um gás ideal:
Isocórico
Isobárico
Isotérmico
Adiabático
Motivação
Expansão adiabática
Compressão adiabática
Reduzindo a troca de calor em processos rápidos o processo é chamado de adiabático.
Quão rápido?
A energia interna
Como alterar o estado termodinâmico inicial de um gás ideal a um estado termodinâmico final?
Parede fixa e diatérmica
Energia transferida termicamente
Tbaixa
T_{baixa}
Talta
T_{alta}
Tequilıˊbrio
T_{equilíbrio}
Calor
ΔU=Q−Wgas
\Delta U = Q-W_{gas}
ΔU=Q
\Delta U = Q
ΔEp
\Delta E_p
ΔU
\Delta U
Fonte: Eric MazurTrabalho adiabático
Parede fixa e adiabática
Pistão móvel e adiabático
Fonte: Eric MazurGás termicamente isolado
ΔU=Q+Wpista~o
\Delta U = Q+W_{pistão}
ΔU=Wpista~o
\Delta U = W_{pistão}
ΔU
\Delta U
ΔEp
\Delta E_p
Wpista~o=−Wgas
W_{pistão}=-W_{gas}
A energia interna
Para processos envolvendo variações infinitesimais, a primeira lei da termodinâmica é:
dU=δQ−δWgas
dU=\delta Q -\delta W_{gas}
Para processos quase-estáticos, as variáveis termodinâmicas são bem definidas e
δWgas=PdV
\delta W_{gas} = PdV
A primeira lei da termodinâmica fica
dU=δQ−PdV
dU=\delta Q -PdV
A energia interna, em geral, é uma função das variáveis termodinâmicas:
U=U(T,V)
U=U(T,V)
U=U(T,P)
U=U(T,P)
U=U(P,V)
U=U(P,V)
Portanto, é uma função de estado. Mas o calor e o trabalho não são funções de estado.
A energia interna
A energia interna U de um gás ideal depende somente de sua temperatura T, e não do volume ou da pressão.
Ugaˊs ideal=U(T)
U_{\text{gás ideal}}=U(T)
Um gás ideal deve satisfazer as equações:
PV=nRT
PV=nRT
Para uma dada variação de temperatura, a variação da energia interna não depende do processo.
Como é a função U(T)?
Processos isobáricos
Processos isocóricos
Processos adibáticos
Processos isotérmicos
Fonte: MazurRevendo as capacidades térmicas.
CP=CV+nR
C_P=C_V+nR
CV=2dnR
C_V=\frac{d}{2}nR
CP=(2d+1)nR
C_P=\left(\frac{d}{2}+1\right)nR
d=3,monoatoˆmico
d=3\,,\text{monoatômico}
d=5,diatoˆmico
d=5\,,\text{diatômico}
d=7,poliatoˆmico
d=7\,,\text{poliatômico}
CP=CV
C_P=C_V
CP>CV
C_P>C_V
O índice adiabático é definido por:
γ=CVCP=2d2d+1
\gamma = \frac{C_P}{C_V}=\frac{\frac{d}{2}+1}{\frac{d}{2}}
γ=1+d2
\gamma =1+\frac{2}{d}
Para um gás ideal, a capacidade térmica à pressão constante é maior do que a capacidade térmica à volume constante:
⇒
\Rightarrow
Translada nas três direções do espaço.
Translada e tem mais duas rotações: d = 3+2
Translada, rotaciona e vibra contraindo e expandindo: d = 3 + 2 + 2.
A energia interna nos processos isocóricos
Partindo da expressão geral:
dU=(∂T∂U)VdT
dU =
\left(
\frac{\partial U}{\partial T}
\right)_VdT
U=U(T)
U=U(T)
⇒
\Rightarrow
0
0
E a partir da primeira lei da termodinâmica:
dU=δQ−PdV
d U = \delta Q - PdV
No processo isocórico dV=0 e não há trabalho, PdV=0:
δQ=(∂T∂U)VdT
\delta Q =
\left(
\frac{\partial U}{\partial T}
\right)_VdT
(dTδQV)=(∂T∂U)V
\left(\frac{\delta Q_V}{dT} \right)=
\left(
\frac{\partial U}{\partial T}
\right)_V
⇒
\Rightarrow
Capacidade térmica a volume constante
⇒
\Rightarrow
δQ=dU
\delta Q = dU
dU=CVdT
dU=C_VdT
δQ=CVdT
\delta Q=C_VdT
A energia interna nos processos isocóricos
No processo isocórico o volume é constante. O trabalho é nulo.
A primeira lei da termodinâmica:
dU=δQ−PdV
d U = \delta Q - PdV
O processo de transferência de energia se dá via calor. O trabalho realizado pelo gás é nulo porque o volume é constante.
0
0
δQ=dU=CVdT
\delta Q = dU= C_VdT
dU=δQ
d U = \delta Q
Como o volume é constante a pressão varia de forma direta com a temperatura.
Fonte: Mazur0
0
TiPiVi=TfPfVf
\frac{P_iV_i}{T_i}
=
\frac{P_fV_f}{T_f}
TiPi=TfPf
\frac{P_i}{T_i}
=
\frac{P_f}{T_f}
Pf=TiPiTf
{P_f}
=
\frac{P_i}{T_i}T_f
Pf=VnRTf
{P_f}
=
\frac{nR}{V}T_f
⇒
\Rightarrow
⇒
\Rightarrow
⇒
\Rightarrow
A energia interna nos processos isocóricos
A energia interna de um gás ideal é função apenas da temperatura.
dU=CVdT
d U = C_VdT
ΔU=∫TiTfCVdT
\Delta U = \int_{T_i}^{T_f}C_VdT
ΔU=2dnR(Tf−Ti)
\Delta U = \frac{d}{2}nR(T_f-T_i)
ΔU=2d(PfVf−PiVi)
\Delta U = \frac{d}{2}(P_fV_f-P_iV_i)
PV=nRT
PV=nRT
e
A seta indica energia transferida termicamente na forma de calor:
Q>0
P=VnRT
{P}
=
\frac{nR}{V}T
P=cnt.T
{P}
=
cnt.T
Para uma variação finita:
Fonte: MazurQ=2d(PfVf−PiVi)
Q= \frac{d}{2}(P_fV_f-P_iV_i)
A quantidade de calor é igual à variação da energia interna:
A quantidade de calor a volume constante aumenta a energia interna do sistema.
A energia interna nos processos isotérmicos
Partindo da expressão geral:
U=U(T)
U=U(T)
0
0
E a partir da primeira lei da termodinâmcia:
dU=δQ−PdV
d U = \delta Q - PdV
No processo isotérmico dT=0 e sabemos que a energia interna depende da temperatura e não depende do volume. Portanto:
δQ=PdV
\delta Q = P\,dV
δQ=PdV
\delta Q=PdV
δW=PdV
\delta W=PdV
⇒
\Rightarrow
δQ=δW
\delta Q =\delta W
⇒
\Rightarrow
Calor trocado as custas de trabalho.
δQT=δW
\delta Q_T = \delta W
A energia interna nos processos isotérmicos
No processo isotérmico a temperatura é constante. A energia interna é constante.
A primeira lei da termodinâmica:
dU=δQ−PdV
d U = \delta Q - PdV
O processo de transferência de energia se dá via calor e o trabalho realizado pelo gás e a variação da energia interna é nula.
δQ=PdV
\delta Q = PdV
0=δQ−PdV
0 = \delta Q-PdV
Reservatório térmico (T é fixo)
derramando areia
Pf
P_f
>Pi
>P_i
Fonte: MazurComo a temperatura é constante, a pressão varia de forma inversa ao volume.
TiPiVi=TfPfVf
\frac{P_iV_i}{T_i}
=
\frac{P_fV_f}{T_f}
PiVi=PfVf
{P_iV_i}
=
{P_fV_f}
Pf=VfnRT
P_f=\frac{nRT}{V_f}
Pf=PiVfVi
P_f=P_i\frac{V_i}{V_f}
⇒
\Rightarrow
⇒
\Rightarrow
⇒
\Rightarrow
A energia interna nos processos isotérmicos
ΔU=2dnR(Tf−Ti)
\Delta U = \frac{d}{2}nR(T_f-T_i)
ΔU=0
\Delta U =0
PV=nRT
PV=nRT
e
A energia é transferida termicamente na forma de calor
(Q<0).
O trabalho feito pelo gás é negativo (W<0)
W<0
W<0
dU=δQ−PdV
d U = \delta Q - PdV
P=VnRT
P=\frac{nRT}{V}
P=Vcnt
P=\frac{cnt}{V}
A energia interna de um gás ideal é função apenas da temperatura.
Para uma variação finita:
A quantidade de calor é igual ao trabalho:
Q=W=∫PdV
Q =W=\int PdV
Q=W=∫ViVfVnRTdV
Q =W=\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}dV
Q=W=nRTln(ViVf)=PVln(ViVf)
Q =W=nRT \ln \left(
\frac{V_f}{V_i}
\right)=PV\ln\left(
\frac{V_f}{V_i}
\right)
Fonte: MazurA energia interna nos processos isobáricos
Partindo da expressão geral:
dU=(∂T∂U)PdT
dU =
\left(
\frac{\partial U}{\partial T}
\right)_PdT
U=U(T)
U=U(T)
⇒
\Rightarrow
E a partir da primeira lei da termodinâmica:
dU=δQ−PdV
d U = \delta Q - PdV
⇒
\Rightarrow
δQ=dU+PdV
\delta Q = dU +PdV
Obtemos:
δQ=[(∂T∂U)P+P(∂T∂V)P]dT
\delta Q = \left[
\left(
\frac{\partial U}{\partial T}
\right)_P
+
P\left(
\frac{\partial V}{\partial T}
\right)_P
\right]dT
(dTδQP)=(∂T∂U)P+P(∂T∂V)P
\left(\frac{\delta Q_P}{dT} \right)=
\left(
\frac{\partial U}{\partial T}
\right)_P
+
P\left(
\frac{\partial V}{\partial T}
\right)_P
Capacidade térmica à pressão constante
⇒
\Rightarrow
CP=(∂T∂H)P
C_P=
\left(
\frac{\partial H}{\partial T}
\right)_P
Entalpia: H=U+PV
δQ=CPdT
\delta Q=C_PdT
dH=CPdT
dH=C_PdT
⇒
\Rightarrow
δQP=dH
\delta Q_P =dH
A energia interna nos processos isobáricos
No processo isobárico a pressão é constante. Há calor e trabalho.
A primeira lei da termodinâmica:
dU=δQ−PdV
d U = \delta Q - PdV
CVdT=CPdT−nRdT
C_VdT = C_PdT-nRdT
CP=CV+nR
C_P = C_V+nR
O processo de transferência de energia se dá via trabalho e calor à pressão constante.
Como a pressão é constante o volume varia de forma direta com a temperatura.
TiPiVi=TfPfVf
\frac{P_iV_i}{T_i}
=
\frac{P_fV_f}{T_f}
TiVi=TfVf
\frac{V_i}{T_i}
=
\frac{V_f}{T_f}
Vf=TiViTf
{V_f}
=
\frac{V_i}{T_i}T_f
Vf=PnRTf
{V_f}
=
\frac{nR}{P}T_f
⇒
\Rightarrow
⇒
\Rightarrow
⇒
\Rightarrow
⇒
\Rightarrow
Fonte: MazurA energia interna nos processos isobáricos
A seta indica energia transferida termicamente na forma de calor:
Q>0
O trabalho feito pelo gás é positivo
W>0
ΔU=2dnR(Tf−Ti)
\Delta U = \frac{d}{2}nR(T_f-T_i)
W>0
W>0
PV=nRT
PV=nRT
e
V=PnRT
{V}
=
\frac{nR}{P}T
V=cnt.T
{V}
=
cnt.T
A energia interna de um gás ideal é função apenas da temperatura.
Para uma variação finita:
dU=δQ−δW
d U = \delta Q -\delta W
dU=CVdT
dU= C_VdT
δQ=CPdT
\delta Q = C_PdT
δW=PdV
\delta W= PdV
A energia interna varia as custas de trabalho e calor:
Q=(2d+1)nR(Tf−Ti)
Q = \left(\frac{d}{2}+1\right)nR(T_f-T_i)
⇒
\Rightarrow
W=P(Vf−Vi)
W= P(V_f-V_i)
⇒
\Rightarrow
Fonte: MazurA energia interna nos processos adiabáticos
Partindo da expressão geral:
U=U(T)
U=U(T)
0
0
0
0
E a partir da primeira lei da termodinâmcia:
dU=δQ−PdV
d U = \delta Q - PdV
⇒
\Rightarrow
δQ=dU+PdV
\delta Q = dU +PdV
No processo adiabático δQ=0 e sabemos que a energia interna depende da temperatura e não depende do volume. Portanto:
δQ=(∂T∂U)VdT+PdV
\delta Q =
\left(
\frac{\partial U}{\partial T}
\right)_VdT
+P dV
0=CVdT+PdV
0=C_VdT+PdV
dU=−PdV
dU=-PdV
δW=PdV
\delta W=PdV
⇒
\Rightarrow
dU=−δW
dU = -\delta W
⇒
\Rightarrow
Energia interna varia as custas de trabalho.
dU=−δW
dU = -\delta W
dU=(∂T∂U)PdT
dU =
\left(
\frac{\partial U}{\partial T}
\right)_PdT
⇒
\Rightarrow
A energia interna nos processos adiabáticos
No processo adiabático não há troca de calor.
A primeira lei da termodinâmica:
dU=δQ−PdV
d U = \delta Q - PdV
dU=−PdV
dU = -PdV
dU=−δW
dU =-\delta W
dU=CVdT
dU = C_VdT
PV=nRT
PV=nRT
e
Paredes adiabáticas
Queda de areia
Fonte: MazurTdT=−(γ−1)VdV
\frac{dT}{T}= - (\gamma-1)\frac{dV}{V}
Para um processo Entre dois estados inicial e final:
TfVfγ−1=TiViγ−1
T_fV_f^{\gamma-1}
=
T_iV_i^{\gamma-1}
PfVfγ=PiViγ
P_fV_f^{\gamma}
=
P_iV_i^{\gamma}
CVdT=−VnRTdV
C_VdT= - \frac{nRT}{V}dV
CVTdT=−(CP−CV)VdV
C_V\frac{dT}{T}= - (C_P-C_V)\frac{dV}{V}
O processo de transferência de energia se dá via trabalho adiabático.
CVdT=−PdV
C_VdT= - PdV
A energia interna nos processos adibáticos
PV=nRT
PV=nRT
e
W=−ΔU
W=-\Delta U
Pf=Pi(VfVi)γ
P_f=P_i\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma}
Na compressão adiabática há um aumento da temperatura as custas de trabalho negativo.
W<0
W<0
Entre dois estados inicial e final:
Wi→f=−CV(Tf−Ti)
W_{i\rightarrow f} = -C_V(T_f-T_i)
Wi→f=−CV(nRPfVf−nRPiVi)
W_{i\rightarrow f} = -C_V\left(\frac{P_fV_f}{nR}-\frac{P_iV_i}{nR}\right)
Wi→f=−nRCV(PfVf−PiVi)
W_{i\rightarrow f} = -\frac{C_V}{nR}\left({P_fV_f}-{P_iV_i}\right)
Wi→f=−CP−CVCV(PfVf−PiVi)
W_{i\rightarrow f} = -\frac{C_V}{C_P-C_V}\left({P_fV_f}-{P_iV_i}\right)
Wi→f=−γ−11(PfVf−PiVi)
W_{i\rightarrow f} = -\frac{1}{\gamma-1}\left({P_fV_f}-{P_iV_i}\right)
A energia interna de um gás ideal é função apenas da temperatura.
O trabalho adiabático é função dos estados inicial e final.
A energia interna nos processos adibáticos
Na expansão, o trabalho realizado pelo gás é positivo e isto diminui a energia interna. Na compressão, o trabalho realizado pelo gás é negativo, mas a energia interna aumenta.
O efeito é uma queda de temperatura na expansão e um aumento da temperatura na compressão.
O trabalho adiabático depende somente dos estados final e inicial.
ΔU=−Wi→f
\Delta U =- W_{i\rightarrow f}
Wi→f=−CV(Tf−Ti)
W_{i\rightarrow f} = -C_V(T_f-T_i)
Wi→f=−γ−11(PfVf−PiVi)
W_{i\rightarrow f} = -\frac{1}{\gamma-1}\left({P_fV_f}-{P_iV_i}\right)
Para uma mesma variação de volume:
Uma expansão adiabática tem uma pressão final menor do que uma expansão isotérmica.
A temperatura diminui durante a expansão adiabática.
Questão 1
Um gás não-ideal possui uma equação de estado da forma
(P − P_0)V = nRT.
Dois moles deste gás são submetidos a uma expansão isotérmica a T=287,7 K, aumentando o volume do gás de V_i=10, 0 L para V_f=50, 0 L. Qual o trabalho realizado pelo gás no processo?
(Observações: R = 0, 082(atm.L)/(mol.K) e P_0 =0,20 atm).
Questão 2
Um litro de oxigênio à temperatura de 27 oC e a uma pressão de 10 atm se expande adiabaticamente até quintuplicar de volume. Quais são a pressão e a temperatura finais? Calcule o trabalho adiabático e o trabalho isotérmico.
Questão 3
Um gás em uma montagem pistão-cilindro é submetido a um processo de expansão para o qual a relação entre a pressão e o volume é dada por
PVn=constante
PV^n=constante
A pressão inicial é 3 x 10^5 N/m^2, o volume inicial é 0,1 m^3 e o volume final é 0,2 m^3. Determine o trabalho para o processo, em kJ, se:
a) n = 1,5
b) n 1,0
c) n = 0
Questão 4
Uma amostra de 1,00 mol de um gás diatômico ideal se expande. Esta expansão é representada pela linha reta de 1 a 2 no diagrama PV. Depois, o gás é comprimido isotermicamente. Esta compressão é representada pela linha curva de 2 a 1 no mesmo diagrama. Calcule o trabalho total realizado no ciclo.
Dados: P_1 = 2,00 atm; V_1 = 11,5 L; P_2 = 1,00 atm. Use R = 0,082 amt.L/(mol.K).
Questão 5
Uma lata de tinta spray, selada e praticamente vazia, ainda contém uma quantidade residual do propelente: 0,020 mol de gás nitrogênio. A etiqueta na lata alerta claramente: “Não incinerar”. (a) Explique este alerta e desenhe um diagrama PV para o gás no caso de a lata ser submetida a uma temperatura alta. (b) Você está encarregado de testar a lata. O fabricante alega que ela pode suportar uma pressão interna de gás de 6,00 atm antes de explodir. A lata está, inicialmente, nas condições normais de temperatura e pressão em seu laboratório. Você inicia o aquecimento da lata uniformemente, usando um aquecedor com uma potência de saída de 200 W. A lada e o aquecedor estão em um forno isolado e você pode supor que 1,0 % do calor liberado pelo aquecedor seja absorvido pelo gás na lata. Quanto tempo você espera que o aquecedor permaneça aceso antes de a lata explodir?
Questão 6
A capacidade térmica a volume constante de certa quantidade de gás monoatômico é 49,8 J/K. (a) Determine o número de moles do gás. (b) Qual é a energia interna do gás a T = 300 K? (c) Qual é a sua capacidade térmica à pressão constante?
Dado: R =8,314 J/(mol.K)
Questão 7
Neste problema, 1,00 mol de um gás ideal diatômico é aquecido, a volume constante, de 300 K a 600 K. (a) Determine o aumento da energia interna do gás, o trabalho realizado pelo gás e o calor por ele absorvido. (b) Determine as mesmas quantidades para quando o gás é aquecido de 300 K a 600 K à pressão constante. Use a primeira lei da termodinâmica e seus resultados da parte (a) para calcular o trabalho realizado pelo gás. (c) Calcule novamente o trabalho na parte (b), agora integrando a equação dW = PdV (trabalho do gás).
Questão 8
Uma amostra de 0,500 mol de um gás monoatômico ideal, a 400 kPa e 300 K, expande-se quase-estaticamente até que sua pressão diminua para 160 kPa. Determine a temperatura e o volume finais do gás, o trabalho realizado por ele e o calor que ele absorve, se a expansão é (a) isotérmica e (b) adiabática.
Questão 9
Uma amostra de 0,500 mol de gás hélio expande-se adiabaticamente e quase-estaticamente, de uma pressão inicial de 5,00 atm e uma temperatura de 500 K para uma pressão final de 1,00 atm. Determine (a) a temperatura final do gás, (b) o volume final do gás, (c) o trabalho realizado pelo gás e (d) a variação da energia interna do gás.
Questão 10
No ponto D da figura, a pressão e a temperatura de 2,00 mols de um gás monoatômico ideal são 2,00 atm e 360 K, respectivamente. O volume do gás no ponto B do diagrama PV é igual a três vezes o volume no ponto D e su a pressão é o dobro da pressão no ponto C. Os caminhos AB e CD representam processos isotérmicos. O gás é conduzido através de um ciclo completo ao longo do caminho DABCD. Determine o trabalho realizado pelo gás e o calor do processo, em cada etapa do ciclo.
Aula 19 Introdução à Física Clássica II Prof. Ronai Lisbôa Não compreendeu algo? Algo está esquisito? Comente!
IFC 2 - Aula 19
By Ronai Lisboa
IFC 2 - Aula 19
UNIDADE 3 : Termodinâmica. Processos: isocórico, isobárico, isotérmico, adiabático. Cálculos da energia interna, trabalho, calor e entalpia. Experimento da expansão livre. Experimento de Joule-Thomson.
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