Jaollisuus ja jakoyhtälö

Jakoyhtälö

• Lukuteoriassa haluamme pysyä kokoajan kokonaislukujen joukossa
• Kuitenkin esim. kokonaislukujen 7 ja 2 jakolaskun 7:2=3,5 tulos ei ole kokonaisluku
• Palataan perusasioihin: jakolaskua ei "suoriteta loppuun", vaan mietimme jakojäännöstä!
  • "7:2 = 3 jää 1"  🍎🍎🍎  🍎🍎🍎     🍎
• Elegantimpi tapa ajatella jakolaskua on jakoyhtälön avulla
  • \(7 = 2\cdot 3 + 1\)
  • jaettava = jakaja \(\cdot\) osamäärä + jakojäännös
  • \(a=bq+r\) (\(0\leq r < b\))

Jakoyhtälön yleistys

Jaollisuus

• Luku \(a\) on jaollinen luvulla \(b\), jos löytyy sellainen luku \(n\), että \(a=bn\)
• Ts. \(b\) jakaa luvun \(a\), eli \(b\mid a\). (Jos ei jaa, merkitään \(b\nmid a\))
• Toinen tapa ajatella: jos jakolaskun \(a:b\) jakojäännös on \(0\), luku \(a\) on jaollinen luvulla \(b\)
  • Jakoyhtälössä \(r=0\), eli saadaan \(a=bq\)
• Onko luku 8 jaollinen luvulla 4?
  • On, koska \(8=4\cdot 2\)
• Onko luku 5 jaollinen luvulla 2?
  • Yritetään etsiä luku \(n\) siten, että \(5=2n\)
  • ​Nyt \(2\cdot 2 = 4 < 5 = 2n< 6 = 2 \cdot 3\), eli etsityn luvun \(n\) pitäisi olla kokonaisluku \(2\):n ja \(3\):n välissä, mikä on ristiriita. V: Ei ole.

Jaollisuussääntöjä

• Luku on kahdella jaollinen, jos sen viimeinen numero on 2, 4, 6, 8 tai 0.
• Luku on kolmella jaollinen, jos sen numeroiden summa on kolmella jaollinen. Esimerkiksi 573 on kolmella jaollinen, koska 5 + 7 + 3 = 15 on kolmella jaollinen.
• Luku on neljällä jaollinen, jos sen kahden viimeisen numeron muodostama luku on neljällä jaollinen. Esimerkiksi 123498724 on neljällä jaollinen, koska 24 on neljällä jaollinen.
• Luku on viidellä jaollinen, jos sen viimeinen numero on 0 tai 5.
• Luku on yhdeksällä jaollinen, jos sen numeroiden summa on yhdeksällä jaollinen.
• Luku on yhdellätoista jaollinen, jos sen numeroista vuorotellen yhteen- ja vähennyslaskuilla saatu luku on yhdellätoista jaollinen. Esimerkiksi 45859 on yhdellätoista jaollinen, koska 4 - 5 + 8 - 5 + 9 = 11 on yhdellätoista jaollinen; samoin 4169, koska 4 - 1 + 6 - 9 = 0.

https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/alkutekj2.html

Todistaminen

• Matematiikassa väittämät pyritään aina todistamaan eli osoittamaan paikkaansapitäviksi 
• Väitettä puoltava esimerkki ei yleensä riitä osoittamaan väitettä todeksi, koska kaikki väittettä koskevat tapaukset pitää saada käsitellyksi
• Todistuksen tulee perustua aiemmin todistetuille tuloksille, logiikan päättelysäännöille ja aksioomille eli sopimuksille
  • Periaatteessa sopia voi mitä haluaa, mutta aksioomat eivät saa olla keskenään ristiriidassa
  • Ylimääräisiä aksioomia pyritään kuitenkin matematiikassa välttämään: jos jokin lause on pääteltävissä aksioomasta, sen ei itse tarvitse olla aksiooma

Suora todistus

• Matemaattisessa tuloksessa on kolme osaa:
  1. Oletus, eli ne "reunaehdot", joilla väite tuloksen mukaan ainakin pätee
  2. Väite, joka on tosi oletuksen vallitessa
  3. Todistus, eli päättelyketju, jossa oletuksista johdetaan lauseen väite
• Suorassa todistuksessa lähdetään suoraan oletuksesta (\(P\)) ja päädytään väitteeseen (\(Q\)), jolloin saadaan pääteltyä \(P\Rightarrow Q\)
• Suora todistus perustuu tautologiaan
  \((P\wedge (P\Rightarrow Q))\Rightarrow Q\)
  • Kun pätee oletus ja todistuksessa päätelty \(P\Rightarrow Q\), täytyy päteä myös väite!

Parilliseksi todistaminen

Ideana on saattaa luku muotoon
\(2\cdot(\text{jokin kokonaisluku})\)

Parittomaksi todistaminen

Ideana on saattaa luku muotoon
\(2\cdot(\text{jokin kokonaisluku})+1\)

Luku on parillinen, jos se voidaan ilmaista muodossa \(2a\) jollakin kok.luvulla \(a\), ja pariton, jos se voidaan esittää muodossa \(2a+1\) jollakin kok. luvulla \(a\) 

Jos on todistamassa väitettä kaikille kokonaisluvuille \(n\), joskus auttaa, kun käsittelee erikseen parilliset tapaukset (\(n=2a\)) ja parittomat tapaukset (\(n=2a+1\)).

Osoita, että kahden parillisen kokonaisluvun erotus on parillinen

Osoita, että \(18m^2+48m+33\) on pariton kaikilla kokonaisluvuilla \(m\)