Alkuluvut

Kokonaisluku \(p>1\) on alkuluku, jos se on jaollinen vain itsellään ja luvulla \(1\)
Esim. 2, 3, 5 ja 7 ovat alkulukuja
Alkulukujen joukkoa merkitään \(\mathbb{P}\)
Alkulukuja on äärettömän paljon (Euklideen lause)
Sen sijaan luku 4 ei ole alkuluku, koska se on jaollinen 4:n ja 1:n lisäksi 2:lla
Lukuja, jotka eivät ole alkulukuja, kutsutaan joskus yhdistetyiksi luvuiksi (myös äärettömän paljon)

Alkuluvuksi osoittaminen

Luvun alkuluvuksi osoittaminen ja alkulukujen löytäminen on lähtökohtaisesti työlästä
Suurin tunnettu alkuluku tällä hetkellä on \(2^{82\,589\,933}-1\), jossa on 24 862 048 numeroa
Pelkän määritelmän avulla pos. kok.luvun \(n\) alkuluvuksi osoittaminen vaatisi, että tarkistettaisiin luvun \(n\) jaollisuus kaikilla lukua \(n\) pienemmillä pos. kok.luvuilla
Alkuluvun osoittamisen ja löytämisen helpottamiseksi on kuitenkin joitakin tuloksia ja menetelmiä
Lause: Luku \(a\) on alkuluku, jos se ei ole jaollinen millään alkuluvulla, joka on enintään \(\sqrt{a}\)
- Eli voimme ainakin aloittaa tarkistamisen \(\sqrt{a}\):sta alaspäin, ja hypätä kaikkien ennestään yhdistetyiksi tiedettyjen lukujen yli

Osoita, että 19 on alkuluku

\(\sqrt{19}\approx 4{,}4\)

\(\sqrt{19}\) pienempiä lukuja on 4, 3 ja 2, joista 3 ja 2 ovat alkulukuja (4 ei ole, koska 2|4)

\(19:3=6{,}33...\) ja \(19:2=9{,}5\), joten 19 ei ole jaollinen 3:lla eikä 2:lla. Siis 19 on alkuluku.

Aritmetiikan peruslause: Jokainen lukua 1 suurempi kokonaisluku voidaan esittää yksikäsitteisesti alkulukujen tulona
- Yksikäsitteisyydellä tarkoitetaan tässä sitä, että tulontekijät ovat aina samoja, vaikka niiden järjestys voi olla mikä tahansa
- Luvun esittämistä alkulukujen tulona kutsutaan alkulukuhajotelmaksi
Esim. \(10=5\cdot 2\)
Suurempien lukujen kanssa on helpompaa jakaa tekijöihin vaiheittain
Esim. \(24 = 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 6 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \)
Nspiressä luvun \(n\) alkulukuhajotelman saa komennolla factor(n), Geogebrassa Alkutekijät(n)

By Timo Pelkola