Epäsuora todistus
- Suorassa todistuksessa oletuksesta P pääteltiin suoraan väite Q. Näin saatiin todistettua \(P\Rightarrow Q\), mikä riittää, koska \((P\wedge (P\Rightarrow Q))\Rightarrow Q\) on tautologia
- Toisaalta jos keksimme loogisesti ekvivalentin lauseen lauseelle \(P\Rightarrow Q\), senkin todistaminen pitäisi riittää
- Kontrapositiolaki:
\((P\Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P)\) - On siis mahdollista todistaa väite päättelemällä väitteen negaatiosta oletuksen negaatio!
Käänteinen todistus
Esim 1
Osoita, että jos jonkin kokonaisluvun neliö on parillinen, niin se on myös itse parillinen.
Kontrapositiolain nojalla riittää todistaa, että jos \(a\) on pariton, niin \(a^2\) on pariton.
Oletetaan, että \(a\) on pariton, eli \(a = 2n + 1\) jollakin kokonaisluvulla n.
Nyt \(a^2=(2n+1)^2=4n^2+4n+1\\ =2\underbrace{(2n^2+2n)}_{\textrm{kokonaisluku}}+1\), joten \(a^2\) on pariton.
□
Ristiriitatodistus
- Ristiriita on lause, joka on aina epätosi, esim. \(A\wedge \neg A\)
- Lauseen \(P\Rightarrow Q\) kanssa loogisesti ekvivalentti on myös lause \(\left(P\wedge\neg Q\right)\Rightarrow\left(A\wedge\neg A\right)\)
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
P&Q&P\Rightarrow Q&\neg Q&P\wedge\neg Q&A\wedge\neg A&\left(P\wedge\neg Q\right)\Rightarrow\left(A\wedge\neg A\right)\\
\hline
1&1&1&0&0&0&1\\
1&0&0&1&1&0&0\\
0&1&1&0&0&0&1\\
0&0&1&1&0&0&1
\end{array}
- Väitteen todistamiseksi riittää, että oletuksen \(P\) lisäksi tehdään vastaoletus \(\neg Q\), josta päädytään mihin tahansa ristiriitaan
- Tällöin on väistämätöntä, että väitteen \(Q\) täytyy päteä oletuksen \(P\) pädetessä
Esim 2
Osoita, ettei kaikki kolmion kulmat voi olla teräviä.
Oletus: \(\alpha, \beta, \gamma\) ovat kolmion kulmia
Väite: \(\alpha\geq90^\circ\), \(\beta\geq90^\circ\) tai \(\gamma\geq90^\circ\)
Todistus:
Vastaoletus: kaikki kulmat ovat teräviä, eli \(\alpha<90^\circ\), \(\beta<90^\circ\) ja \(\gamma<90^\circ\).
Nyt \(\alpha+\beta+\gamma<90^\circ+90^\circ+90^\circ=180^\circ\).
Tämä on kuitenkin ristiriidassa sen oletuksen kanssa, että \(\alpha, \beta\) ja \(\gamma\) ovat kolmion kulmia, koska kolmion kulmien summa on aina \(180^\circ\). Väitteen on oltava siis tosi.
□
07 Epäsuora todistus
By Timo Pelkola
07 Epäsuora todistus
- 23
