Toistokoe
Noppaa heitetään 5 kertaa. Millä todennäköisyydellä tulee 2 kuutosta?
-
Yhden heiton tapauksessa:
- merkitään \(A=\textrm{"tulee kuutonen"}\)
- \(P(A)=\frac{1}{6}\) ja \(P(\bar{A})=1-\frac{1}{6}\)
-
Ajatellaan jonoina niitä viisiä heittoja, joilla tulee kaksi kuutosta:
- \(A\bar{A}A\bar{A}\bar{A}\), \(\bar{A}\bar{A}\bar{A}AA\) jne.
- Koska kahden \(A\):n paikat voidaan valita jonosta \(\binom{5}{2}\) eri tavalla, näin monta on myös tällaisia jonoja
- Jokaisen tällaisen jonon todennäköisyys on kertolaskusäännön nojalla \((\frac{1}{6})^2\cdot(1-\frac{1}{6})^3\)
- Nyt \(P(\textrm{"kaksi kuutosta neljällä heitolla"}) \\= P(A\bar{A}A\bar{A}\bar{A}\textrm{ tai }\bar{A}\bar{A}\bar{A}AA\textrm{ tai ...})\\=P(A\bar{A}A\bar{A}\bar{A})+P(\bar{A}\bar{A}\bar{A}AA)+...\\=(\frac{1}{6})^2\cdot(\frac{5}{6})^3+(\frac{1}{6})^2\cdot(\frac{5}{6})^3+...\\= \binom{5}{2}\cdot(\frac{1}{6})^2\cdot(1-\frac{1}{6})^3\approx 0,16\)
Toistokoe
- Nopanheitto on esimerkki satunnaiskokeesta
- Kun samaa satunnaiskoetta toistetaan ja toistot ovat toisistaan riippumattomia, voidaan puhua toistokokeesta
- Jos merkitään äskeisen esimerkin toistojen lukumäärää \(n=5\), tutkittavan tapahtuman \(A\) todennäköisyyttä \(p=\frac{1}{6}\), ja \(A\):n tapahtumiskertojen lukumäärää \(k=2\), niin todennäköisyys voidaan kirjoittaa myös muotoon
\(P(\textrm{A tapahtuu n toistossa k kertaa})=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)
Esim
Merry Sauchs -merisaukon donkkauksista onnistuu 92%. Sauchs saa Bay Area Squeakersia vastaan pelatun pelin aikana 23 donkkausmahdollisuutta. Millä todennäköisyydellä tasan 20 donkkausta menee sisään?
\(P(\textrm{A tapahtuu n toistossa k kertaa})=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)
\(p=0,92\), \(n=23\), \(k=20\)
\( P(\textrm{"23:sta donkkauksesta 20 sisään"})\\= \binom{23}{20}\cdot (0,92)^{20}\cdot (1-0,92)^{23-20}\\ \approx0,17\)
08 Toistokoe
By Timo Pelkola
