Элементарные функции. Элементарные преобразования графиков

11 класс

 

vkrysanov320@gmail.com
version 3.1, 26-08-2025; not fixed

«Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама природа: он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет времена, пространства, силы, температуры.»

Жан-Батист Жозеф Фурье

Maтематика в системе наук

Что изучает матанализ?

Интегральное исчисление

Дифференциальное исчисление

Теория пределов

Математический анализ — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

Движение, переменные величины и их взаимосвязи окружают нас повсюду. Различные виды движения и их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, геологии, биологии, социологии и др. Поэтому точный язык и соответствующие математические методы описания и изучения переменных величин оказались необходимыми во всех областях знания примерно в той же степени, в какой числа и арифметика необходимы при описании количественных соотношений. 

Что изучает матанализ? (2)

Так вот, математический анализ и составляет основу языка и математических методов описания переменных величин и их взаимосвязей.

Понятие числовой функции

Числовой (вещественной) функцией называется соответствие между элементами двух числовых множеств       и     , в котором каждому элементу     из множества      соответствует один элемент     из     .

X
Y
X
x
y
Y
D(f)
E(f)

(заштрихованная часть)

y=f(x), x\in X
f:X\rightarrow Y

Обозначение:

где     обозначает закон, определяющий соответствие

     — независимая переменная (аргумент)

     — зависимая переменная (функция)

f
x
y

Способы задания функции

(1) Табличный способ задания функции

При табличном способе функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции.

Способы задания функции (2)

При аналитическом способе функция посредством формул. При этом функция может быть задана в декартовых или полярных координатах, в явном, неявном виде или параметрическом виде.

(2) Аналитический способ задания функции

Функция в неявном виде

F(x; y) = 0

Уравнение вида                         на некотором числовом множестве     , если для каждого              существует единственное число    , удовлетворяющему данному уравнению.

X
x \in X
y

Пример:

xy - 2 = 0

Функция в явном виде

Если в уравнении          , определяющем функцию, закон соответствия     задается конкретным аналитическим выражением, зависящим от    .

f(x)
f
x

Пример:

y = x^2 + 5

А что можно сказать о 

                            ?

x^2 + y^2 = 0

Способы задания функции (2.2)

При аналитическом способе функция посредством формул. При этом функция может быть задана в декартовых или полярных координатах, в явном, неявном виде или параметрическом виде.

(2) Аналитический способ задания функции

Функция в параметрическом виде

При параметрическом задании функции значение функции     и ее аргумента задаются как функции от некоторой переменной     из множества     :

t
T
y
x
\begin{cases} x= x(t); \\ y=y(t). \end{cases}

Если эти функции вычислить при одном и том же значении параметра    , получим получим координаты                 на плоскости (когда параметр     пробегает все значения из множества      , тогда точка                 описывает некоторую линию в плоскости          ).

t
T
M(x;y)
t
M(x;y)
Oxy

Способы задания функции (3)

y=f(x)

При графическом способе функция задается с помощью графика.

(3) Графический способ задания функции

Замечание: Множество точек на координатной плоскости является графиком некоторой функции только в том случае, когда каждая параллельная оси          прямая пересекает его не более чем в одной точке.

График числовой функции                   — это множество точек, на плоскости          с координатами                    .

Oxy
(x_i; f(x_i))
M(x_0, f(x_0))
f(x_0)
x_0

График функции

Не является графиком функции

Oy

*График функции иногда можно построить с помощью элементарных преобразований графика, некоторой уже известной функции.

Элементарные преобразования графиков функций

(1) Параллельный сдвиг вдоль осей координат

Параллельный сдвиг вдоль оси Oy

y = f(x)
y = f(x) + c
y = f(x) + c
|c|
y = f(x) + c

График функции

получается из графика             

y = f(x)
Oy
|c|

сдвигом вдоль оси

на 

единиц:

|c|
|c|
|c|
  • вверх, если           
c > 0
  • вниз, если          
c < 0

Параллельный перенос вдоль Ox

вправо, если           :

c < 0
y = f(x+c)
f(x)
f(x+c)
|c|
f(x+c)
f(x)
|c|

График функции

получается из графика             

y = f(x)
Ox
|c|

влево, если           :

c > 0

сдвигом вдоль оси

на 

единиц:

(2) Растяжение (сжатие) вдоль осей координат

Растяжение (сжатие) вдоль оси Oy

y = k \cdot f(x)

График функции

получается из графика

y = f(x)
Oy

растяжением (сжатием) вдоль оси

в:

  • растяжением в    раз, если           
\frac{1}{k}
k>1
k
0 < k < 1
y = f(x)
y = 2f(x)
y = \frac{1}{2}f(x)
  • сжатием в    раз, если           
2a
a
\frac{a}{2}

Растяжение (сжатие) вдоль оси Ox

y = f(k \cdot x)

График функции

получается из графика

y = f(x)
Ox

растяжением (сжатием) вдоль оси      :

y = f(x)
y = f(\frac{1}{2}x)
y = f(2x)
2b
b
\frac{b}{2}
\frac{a}{2}
a
2a
  • сжатием в    раз, если           
\frac{1}{k}
k>1
k
0 < k < 1
  • растягиванием в    раз, если           

(3) Симметричное отражение относительно осей координат

Симметричное отражение отн. Ox

-f(x)
f(x)
y = - f(x)

График функции

получается из графика

y = f(x)
Ox

симметричным отражением относительно оси      :

Симметричное отражение отн. Oy

f(-x)
f(x)
y = f(-x)

График функции

получается из графика

y = f(x)
Oy

симметричным отражением относительно оси      :

(4) Преобразования, связанные с модулем

Преобразования вида

f(x) \rightarrow |f(x)|
y = |f(x)|

График функции

получается из графика

y = f(x)

следующим образом:

часть графика, расположенная ниже оси        , симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.

Ox
y = f(x)
y = |f(x)|

Преобразования вида

f(x) \rightarrow f(|x|)
y = f(|x|)

График функции

получается из графика

y = f(x)

следующим образом:

часть графика, расположенная в области           остается без изменений, а его часть в области           удаляется и заменяется симметричным отображением относительно оси       части графика области          .

x \ge 0
Oy
x < 0
x > 0
y = f(|x|)
y = f(x)

Арифметические операции над функциями

Арифметические операции над ф-ями

y = g(x)

Пусть даны две функции                и                и области определения

y = f(x)
D(f)

и          соответственно.

D(g)

Определим новую функцию                                                       .

y = f(x) \oplus g(x), \oplus \in \{+, - , \times, /\}

Тогда ОДЗ                            для каждой операции:

y = f(x) \oplus g(x)
y = f(x) \cdot g(x) \Rightarrow D(f) \cap D(g);
y = \frac{f(x)}{ g(x)} \Rightarrow D(f) \cap D(g) \backslash \{x | g(x) = 0\}.
y = f(x) - g(x) \Rightarrow D(f) \cap D(g);
y = f(x) + g(x) \Rightarrow D(f) \cap D(g);

Композиция функций

y = f(x)

Пусть область значений функции                 содержится в области значений функции        :

E(f) \subset D(g)
g(y)

Тогда функция                                       называется сложной функцией или композицией    и   .

g
z = g(f(x)), x \in D(f)
f
z = g(f(x))
z = (g \circ f) x

внешняя функция

внутренняя функция

Обозначение:

Свойства функции

Чётные и нечетные функции

Числовая функция называется чётной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и                         для всех

f(x) = f(-x)
x \in D(f).
y
x
x_0
-x_0
O
f(-x_0)
f(x_0)
y=f(x)

График четной функции

Числовая функция называется нечётной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и                           для всех

f(-x) = -f(x)
x \in D(f).
-x_0
x_0
x
y
O
-f(x_0)
f(x_0)
y=f(x)

График нечетной функции

Если функция не является ни четно, ни нечетной, то такая ф-я называется функцией общего вида.

Периодичность функции

Функция                называется периодической с периодом             если,

y=f(x)
T \ne 0
x - T

и           принадлежит области определения функции и

x + T
f(x) = f(x \pm T)

для любого                 .

x \in D(f)
  • Все периоды     кратны наименьшему      :                                                                                
T
T_0
T = n\cdot T_0, n \in \mathbb {Z}.
  • Сумма, разность, произведение и частное периодических функций с периодом   является периодическая функция с периодом    .
T
T
  • Если ф-я         периодическая с периодом    , то ее график переходит сам в себя при сдвиге вдоль       на     единиц влево или вправо.
f(x)
T
Ox
T
x
y
T
2T
3T
f(x)

Периодичность функции (2)

Теорема: Если функция                 периодическая с периодом    , то функция

y=f(x)
T
y=Af(kx + b) + B

будет так же периодической с периодом:

T_* = \frac{T}{k}, k \in \mathbb{R}, k \ne 0.
x
y
T = 2\pi
T_* = \frac{2\pi}{2} = \pi
y = 2\sin(2x+\pi)
y = \sin x

Ограниченность функции

Функция                , определенная на множестве     , называется ограниченной, если множество её значений ограниченно как сверху, так и снизу.

X
y = f(x)

Функция                , определенная на множестве    , называется ограниченной сверху, если множество её значений ограниченно сверху. Иначе говоря, функция      ограничена сверху, если существует такая постоянная      , что для каждого            выполняется неравенство

y = f(x)
X
f
M
x \in X
f(x) \le M.

Функция                , определенная на множестве    , называется ограниченной снизу, если множество её значений ограниченно снизу. Иначе говоря, функция      ограничена снизу, если существует такая постоянная      , что для каждого            выполняется неравенство

y = f(x)
X
f
M
x \in X
M \le f(x).

Ограниченность функции (2)

y
x
M_1
M_2
O

Монотонность функции

Функция                называется возрастающей на множестве                  , если для любых                    из неравенства              следует неравенство

y = f(x)
X \subset D(f)
x_1, x_2 \in X
x_2 > x_1
f(x_2) > f(x_1).

Функция                называется убывающей на множестве                  , если для любых                    из неравенства              следует неравенство

y = f(x)
X \subset D(f)
x_1, x_2 \in X
x_2 > x_1
f(x_2) < f(x_1).
x_1
x_2
f(x_2)
f(x_1)
y=f(x)
y=f(x)
x_1
x_2
f(x_2)
f(x_1)

строго!!!

Функция называется монотонной на множестве     (области монотонности), если она является либо возрастающей, либо убывающей на этом множестве.

X

Монотонность функции (2)

Функция                называется невозрастающей на множестве                  , если для любых                   из неравенства              следует неравенство

y = f(x)
X \subset D(f)
x_1, x_2 \in X
x_2 > x_1
f(x_2) \le f(x_1).

Функция                называется неубывающей на множестве                  , если для любых                    из неравенства              следует неравенство

y = f(x)
X \subset D(f)
x_1, x_2 \in X
x_2 > x_1
f(x_2) \ge f(x_1).
y
x
y
x
O
O
y = f(x)
y =f(x)
x_1
x_2
f(x_1)=f(x_2)
x_1
x_2
f(x_1)=f(x_2)

Максимумы минимумы функции

Точка      называется точкой максимума/минимума функции                 на некотором множестве                 , если для всех           выполняются неравенства:

x_0
y = f(x)
A \subset D(f)
x \in A

для максимума:

для минимума:

f(x_0) \ge f(x);
f(x_0) \le f(x).

Если указанное множество    представляет собой некоторую окрестность точки     , то в этом случае     называют точкой локального максимума/минимума.

A
x_0
x_0

точки локального максимума или минимума называют точками экстремума.

y
x
O
x_1
x_2
f(x_1)
f(x_2)
y = f(x)
x_1
x_2

— точка лок. максимума

— точка лок. минимума

Асимптота графика функции

Асимптотой называют прямую линию, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность.

y
x
O
y=f(x)
y=x

Обратимость ф-ии и понятие обратной ф-ии

Обратимая функция это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.

g\bigl(f(x)\bigr) = x
f
X
Y
f:
X
Y
g:

Две функции    и    являются взаимно обратными, если выполняются два условия:

g
f\bigl(g(y)\bigr) = y

Обратная функция может существовать только для обратимой функции.

 для всех    в области определения    ;

x
f

 для всех    в области определения    .

y
g
O
y
x
y = x
y = f(x)
x_0
y_0
y_0
M_1
M_2
y = g(x)

1) График взаимно обратных функций симметричен относительно прямой

2)

 

3) Если          возрастающая/убывающая функция, то она имеет обратную функцию, которая также является возрастающей/убывающей.

y = x.
D(f^{-1}) = E(f);
f^{-1}(f(x)) = x, x \in D(f).
E(f^{-1}) = D(f);
f(f^{-1}(y)) = y, y \in E(f).
f(x)

обозначение взаимно обратной ф-ии

Типы отображений

Инъективное отображение (инъекция)

Отображение                       называется инъективным, если для любых                       из неравенства                 следует неравенство                            .

f: X \rightarrow Y
x_1, x_2 \in X
x_1 \ne x_2
f(x_1) \ne f(x_2)
X
Y

Примеры:

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}

отображение инъективно.

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}

отоб-е не инъективно.

f(-2) = f(2) = 4.

Контрпример:

Сюръективное отображение (сюръекция)

Отображение                      называется сюръективным, если для всех             существует             такой, что               .

f: X \rightarrow Y
y \in Y
x \in X
X
Y

Примеры:

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}}

отображение сюръективно.

f(x) = y

отоб-е не сюръективно.

f(x) = -16.

Контрпример: не найдется такого     , что

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R},\;f(x)=x^{2}}
x

Биективное отображение (биекция)

Отображение                      называется биектиыным, если оно сюръективно и инъективно одновременно.

f: X \rightarrow Y
X
Y

Примеры:

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{3}}

отображение биективно.

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R},\;f(x)=x}

отображение биективно.

Элементарные функции и их свойства

I. Степенная функция

y = x^a

1. Линейная функция

y = x^a, a=1
D(f) = (-\infty; +\infty)
E(f) = (-\infty; +\infty)
(0;0)
  •                                       ;
  •                                       ;
  • точка пересечения с осями координат:           ;
  • неограниченная;
  • непериодическая;
  • нечетная (график симметричен относительно начала координат);
  • возрастающая;
  • обратимая (функция обратна сама себе);
  • графиком функции является прямая.

I. Степенная функция           (2)

y = x^a

2. Функция вида

y = x^n, n \in \mathbb{N}, n > 1, n
D(f) = (-\infty; +\infty)
E(f) = [0; +\infty)
(0;0)
  •                                       ;
  •                                 ;
  • точка пересечения с осью        :           ;
  • ограниченна снизу числом    ;
  • непериодическая;
  • четная;
  • функция убывает на                 ;
  • функция возрастает на                 ;
  • функция необратимая.

четное

Oy
0
(-\infty; 0]
[0; +\infty)
x
y
O
1
-1
1
y = x^6
y = x^4
y = x^2

I. Степенная функция             (3)

\bm{y = x^a}

Функция вида

y = x^{-n}, n \in \mathbb{N}, n > 1
D(f) = \mathbb{R}\backslash\{0\}; E(f) = \mathbb{R}_{> 0}
  •  
  • точек пересечения с осями нет
  • неограниченная
  • непериодическая
  • четная
  •  
  • асимптоты графика оси координат
f\nearrow: (-\infty; 0);\text{ } f \searrow : (0; +\infty)
x
y
O

четное:

n
D(f) = \mathbb{R}\backslash\{0\}; E(f) = \mathbb{R}\backslash\{0\}
  •  
  • точек пересечения с осями нет
  • неограниченная
  • непериодическая
  • нечетная
  •  
  • асимптоты графика оси координат
f\searrow: (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)
x
y
O

— нечетное:

n

I. Степенная функция             (4)

\bm{y = x^a}

Функция вида

y = \sqrt[n]{x}, n \in \mathbb{N}, n > 1

четное:

x
y
O
n

— нечетное:

n
x
y
O
D(f) = \mathbb{R}; E(f) = \mathbb{R}
  •  
  • т-ка пересеч. с осями координат:
  • неограниченная
  • непериодическая
  • нечетная
  • возрастающая
  • функция обратимая
(0;0)
D(f) = \mathbb{R}_{\ge 0}; E(f) = \mathbb{R}_{\ge 0}
  •  
  • т-ка пересеч. с осями координат:
  • ограничена нулем снизу
  • непериодическая
  • нечетная
  • возрастает на 
  • функция обратимая
(0;0)
\mathbb{R}_{\ge 0}

II. Показательная функция            

y = a^x, a>0, a \ne 1

1.

y = a^x, a > 1
D(f) = (-\infty; +\infty)
E(f) = (0; +\infty)
  •                                      ;
  •                                ;
  • точка пересечения с осью ординат:           ;
  • непериодическая;
  • возрастающая;
  • обратимая;
  • асимптота графика — ось абсцисс.
x
y
O
(0;1)
1

2.

y = a^x, 0< a < 1
D(f) = (-\infty; +\infty)
E(f) = (0; +\infty)
  •                                      ;
  •                                ;
  • точка пересечения с осью ординат:           ;
  • непериодическая;
  • убывающая;
  • обратимая;
  • асимптота графика — ось абсцисс.
(0;1)

II. Показательная функция                              (2)

y = a^x, a>0, a \ne 1
x
y
O
1

III. Логарифмическая функция            

y = \log_a x, a>0, a\ne1

1.

y = \log_a x, a > 1
D(f) = (0; +\infty)
E(f) = (-\infty; +\infty)
  •                                ;
  •                                      ;
  • точка пересечения с осью абсцисс:           ;
  • неограниченная
  • непериодическая;
  • возрастающая;
  • обратимая;
  • асимптота графика — ось ординат.
x
y
O
(1;0)
1

III. Логарифмическая функция                                              (2)

y = \log_a x, a>0, a\ne1

2.

y = \log_a x, 0 < a < 1
D(f) = (0; +\infty)
E(f) = (-\infty; +\infty)
  •                                ;
  •                                      ;
  • точка пересечения с осью абсцисс:           ;
  • неограниченная
  • непериодическая;
  • убывающая;
  • обратимая;
  • асимптота графика — ось ординат.
x
y
O
(1;0)
1

IV. Тригонометрические функции

1.

y = \sin x
D(f) = (-\infty; +\infty)
E(f) = [-1; 1]
  •                                      ;
  •                             ;
  • точка пересечения с осями:
    • ​с       :                                    .
    • с       :           ;
  • ограничена:                      ;
  • периодическая:                ;
  • нечетная;
  • возрастает на:
  • убывает на:
  • необратимая.
x
y
O
\frac{\pi}{2}
(0;0)
Oy
Ox
x = (\pi n; 0), n \in \mathbb{Z}
|\sin x| \le 1
T = 2\pi
(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z};
(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z};
\pi
\frac{3\pi}{2}
-\frac{\pi}{2}
-\pi
1
-1

IV. Тригонометрические функции (2)

2.

y = \cos x
D(f) = (-\infty; +\infty)
E(f) = [-1; 1]
  •                                      ;
  •                             ;
  • точка пересечения с осями:
    • ​с       :
    • с       :           ;
  • ограничена:                      ;
  • периодическая:                ;
  • четная;
  • возрастает на:
  • убывает на:
  • необратимая.
x
y
O
\frac{\pi}{2}
(0;1)
Oy
Ox
x = (\frac{\pi}{2} + \pi n; 0), n \in \mathbb{Z};
|\cos x| \le 1
T = 2\pi
(\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z};
(2\pi; \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z};
\pi
\frac{3\pi}{2}
-\frac{\pi}{2}
-\pi
1
-1

IV. Тригонометрические функции (3)

3.

y = \tg x
D(f) = (-\infty; +\infty) \backslash \{\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}
E(f) = (-\infty; +\infty)
  •                                                                        ;
  •                                     ;
  • точка пересечения с осями:
    • ​с       :
    • с       :           ;
  • неограниченная;
  • периодическая:             ;
  • нечетная;
  • возрастает на:
  • необратимая;
  • асимптоты:
x
y
O
\frac{\pi}{2}
(0;0)
Oy
Ox
x = (\pi n; 0), n \in \mathbb{Z};
T = \pi
(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z};
\pi
\frac{3\pi}{2}
-\frac{\pi}{2}
-\pi
y = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.
-\frac{3\pi}{2}

IV. Тригонометрические функции (4)

4.

y = \ctg x
D(f) = (-\infty; +\infty) \backslash \{\pi n, n \in \mathbb{Z}\}
E(f) = (-\infty; +\infty)
  •                                                               ;
  •                                     ;
  • точка пересечения с осями:
    • ​с       :
  • неограниченная;
  • периодическая:              ;
  • нечетная;
  • убывает на:
  • необратимая;
  • асимптоты:
x
y
O
\frac{\pi}{2}
Ox
x = (\frac{\pi}{2} + \pi n; 0), n \in \mathbb{Z};
T = \pi
(\pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z};
\pi
\frac{3\pi}{2}
-\frac{\pi}{2}
-\pi
y = \pi n, n \in \mathbb{Z}.

V. Обратные тригонометрические функции

1.

y = \arcsin x
D(f) = [-1;1]
E(f) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]
  •                            ;
  •                              ;
  • точка пересечения с осями:           ;​
  • ограничена:                            ;
  • нечетная;
  • возрастающая.
x
y
O
(0;0)
\frac{\pi}{2}
-1
|\arcsin x| \le \frac{\pi}{2}
1
-\frac{\pi}{2}

2.

y = \arccos x
D(f) = [-1;1]
E(f) = [0; \pi];
  •                            ;
  • точка пересечения с осями:         ​
    • ​с        :          ;  с        :
  • ограничена:                                  ;
  • убывающая;
  • обратимая.
0 \le \arccos x \le \pi
Ox
y=\arcsin x
(1; 0)
Oy
(0; \frac{\pi}{2})
\frac{\pi}{2}
1
O
-1
\pi
x
y
y=\arccos x

V. Обратные тригонометрические функции (2)

3.

y = \arctg x
D(f) = (-\infty; +\infty)
E(f) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})
  •                                      ;
  •                               ;
  • точка пересечения с осями:           ;​
  • ограничена:                            ;
  • нечетная; возрастающая; обратимая;
  • асимптоты:
x
y
O
(0;0)
-\frac{\pi}{2}
|\arctg x| < \frac{\pi}{2}

4.

y = \arcctg x
E(f) = (0; \pi);
  •                                      ;
  • точка пересечения ​с        :
  • ограничена:                                  ;
  • убывающая;
  • обратимая;
  • асимптоты:
0 < \arcctg x < \pi
y=\arctg x
Oy
(0; \frac{\pi}{2})
y = \frac{\pi}{2}; y = -\frac{\pi}{2}.
\frac{\pi}{2}
x
\frac{\pi}{2}
O
y
y=\arcctg x
\pi
D(f) = (-\infty; +\infty)
y = 0; y = \pi.

Преобразования графиков функций

  • преобразования аргумента: если в функции присутствует несколько преобразований, последовательность преобразований аргумента происходит в «обратном» порядке по сравнению с обычными арифметическими действиями: 

1. Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы преобразовываем.

2. Определения порядка преобразований:

g(x) = Cf(Ax + B):
f(x) \xrightarrow{(1)} f(x + B) \xrightarrow{(2)} f(Ax + B) \xrightarrow{(3)} Cf(Ax+B).
  • преобразования со смещениями по       ; преобразования со внешними модулями, если таковые имеются:
Oy
g(x) = \bigl||\varphi(x)| + D\bigr|:
\varphi(x) \xrightarrow{(1)} |\varphi(x)| \xrightarrow{(2)} |\varphi(x)| + D \xrightarrow{(3)} \bigl||\varphi(x)| + D\bigr|.

Задача 1

\sqrt{x} \xrightarrow{(1)} \sqrt{|x|} \xrightarrow{(2)} \sqrt{|x+2|} \xrightarrow{(3)} \sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} \xrightarrow{(4)} 3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}\xrightarrow{(5)} -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} \xrightarrow{(6)}
f(x)=\Bigl|2 - 3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x + 2\bigr|}\Bigr|
\xrightarrow{(6)} -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} + 2 \xrightarrow{(7)} \Bigl|-3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr| + 2}\Bigr|.

Построить эскиз графика функции                                          .

Решение:

1. Цепочка элементарных преобразований:

2. Построение:

x
y

Часть графика, расположенную левее оси       стираем, часть графика, расположенную правее оси       достраиваем симметрично относительно       .  

Oy
\sqrt{x} \xrightarrow{(1)} \sqrt{|x|}:
Oy
Oy
y = \sqrt{|x|}
y = \sqrt{x}

Задача 1. Продолжение

x
y
x
y
\sqrt{|x|} \xrightarrow{(2)} \sqrt{|x+2|}:
\sqrt{|x+2|} \xrightarrow{(3)} \sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}:

Переносим на 2 единицы по

Ox

влево.

Растягиваем в 2 раза по

Ox.

Растягиваем в 2 раза по

-2
-2
-4
\sqrt{2}
\sqrt{2}
y = \sqrt{|x|}
y = \sqrt{|x+2|}
y = \sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}
y = \sqrt{|x+2|}

Задача 1. Продолжение (2)

x
y
\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} \xrightarrow{(4)} 3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}:

Растягиваем в 3 раза

Oy.

по

\sqrt{2}
3\sqrt{2}
-4
3\sqrt{2}
-3\sqrt{2}
-4
x
y
3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}\xrightarrow{(5)} -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}:

Зеркально

отражаем график относительно       .

Ox
y = 3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}
y = \sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}
y = 3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}
y = -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}

Задача 1. Продолжение (3)

-3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} \xrightarrow{(6)} -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} + 2:
-3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} + 2 \xrightarrow{(7)} \Bigl|-3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr| + 2}\Bigr|:

Часть графика, расположенную выше оси оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси      , отображаем симметрично относительно этой оси.

Ox

Переносим на две единицы вверх по        .

Ox
Ox
x
y
x
y
-3\sqrt{2}
-3\sqrt{2} + 2
-4
2
-3\sqrt{2} + 2
3\sqrt{2} - 2
x_1
x_2
y = -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|}
y = -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} + 2
y = \Bigl|-3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr| + 2}\Bigr|
y = -3\sqrt{\bigl|\frac{1}{2}x+2\bigr|} + 2

Задача 2

Построить эскиз графика функции                                             .

f(x) = -3\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) - 1

Решение:

1. Цепочка элементарных преобразований:

\sin(x) \xrightarrow{(1)} \sin(x + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(2)} \sin(|x| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(3)} \sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(4)} -\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(5)}
\xrightarrow{(5)} -3\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(6)} -3\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) - 1.

2. Построение:

Переносим на     влево по

Ox.
\frac{\pi}{6}
y
x
y = \sin(x)
y = \sin(x+\frac{\pi}{6})
-\frac{\pi}{6}
\pi-\frac{\pi}{6}
\sin(x) \xrightarrow{(1)} \sin(x + \frac{\pi}{6}):
\sin\frac{\pi}{6}

                                                      Отражаем часть графика на             зеркально относительно       . Часть графика на            стираем.

x > 0
Oy
y
x
y = \sin(x+\frac{\pi}{6})
y = \sin(|x|+\frac{\pi}{6})
\frac{5\pi}{6}
x < 0
x
y
y = \sin(|x|+\frac{\pi}{6})
y = \sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6})
\frac{5\pi}{6}
2 \cdot \frac{5\pi}{6}

Растягиваем в 2

Ox
\sin(x + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(2)} \sin(|x| + \frac{\pi}{6}):
\sin(|x| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(3)} \sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}):

раза по        .

Задача 2 (продолжение)

x
y
y = -\sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6})
y = \sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6})
\frac{5\pi}{3}
\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(4)} -\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}):

Зеркально

отражаем график относительно       .

Ox
\frac{1}{2}
\frac{1}{2}
\frac{1}{2}
-\frac{1}{2}

в 3 раза по       .

Oy

Задача 2 (продолжение) (2)

x
y
-\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(5)} -3\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}):

Растягиваем

\frac{5\pi}{3}
y = -\sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6})
y = -3\sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6})
-3\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) \xrightarrow{(6)} -3\sin(|\frac{x}{2}| + \frac{\pi}{6}) - 1:

Переносим на единицу вниз по        .

Ox
y = -3\sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6})
y = -3\sin(|\frac{x}{2}|+\frac{\pi}{6}) - 1
\frac{5\pi}{3}
x
y
-\frac{1}{2}
3 \cdot (-\frac{1}{2})
-1{,}5
-2{,}5
x_0

Задача 3 (более общие преобразования)

Построить эскиз графика функции                           .

y = 1 + 2f(-x)

Решение:

1. Цепочка элементарных преобразований:

f(x) \xrightarrow{(1)} f(-x)\xrightarrow{(2)} 2f(-x) \xrightarrow{(3)} 1 + 2f(-x).

2. Построение:

Симметрично отражаем относительно

Oy.
y
x
y = f(x)
y = f(-x)
f(x) \xrightarrow{(1)} f(-x):
x
y
y = f(-x)
y = 2f(-x)
f(-x)\xrightarrow{(2)} 2f(-x):

Растягиваем в 2 раза вдоль       .

Oy
x
y
y = 2f(-x)
y = 2f(-x) + 1
2f(-x) \xrightarrow{(3)} 1 + 2f(-x):

Поднимаем на одну единицу вверх по       .

Oy
1

Задачи

Построить эскизы следующих графиков функций с помощью элементарных преобразований:

y = 2\ln\bigl(-\frac{x}{3} \bigr) - 1;

а)

y = -\arcsin(|x| - 3);

в)

y = \sqrt{|1-2x|} - 1;

г)

y = \arctg |2x + 1|;

д)

е)

y = |x-3|;

б)

y = |x^2 + 4x + 3|;
y = 2^{1-3x};

ж)

y = \log_{2}(1-3x);

и)

y = 2 - \log_{\frac{1}{3}}(4-2|x|);

й)

y = \arctg \frac{|4x + 7|}{28}.

к)

л)

y = \sqrt{2 + 3x};

з)

y = 3\log_2 (2x+1) - 1;

График дробно-линейной функции

\displaystyle{y = \frac{ax + b}{cx + d}, cx + d \ne 0}
\displaystyle{y = \frac{ax + b}{cx + d} \Big|_{c=0} = \frac{ax + b}{0x + d} = \frac{ax + b}{d} = \frac{a}{d}x + \frac{b}{d} }
\displaystyle{y = \frac{ax + b}{cx + d} \Big|_{ad - bc = 0} = \frac{a(x + k)}{c(x + k)} = \frac{a}{c}}
\displaystyle{y = \frac{ax + b}{cx + d}, \frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}, c \ne 0}

Частные случаи:

1)

2)

Общий случай:

(График — прямая)

(График — прямая, параллельная       ).

Ox

Пример:

Пример:

y = \frac{4x + 2}{2x + 1} = \frac{4(x + \frac{1}{2})}{2(x + \frac{1}{2})} = 2, x \ne -\frac{1}{2}
y = \frac{4x + 2}{3}
x
y
-\frac{1}{2}
O
c= 0:
ad - bc = 0:
2

Построение графика дробно-линейной ф-ии (I)

\displaystyle{\frac{ax + b}{cx + d} = A + \frac{k}{cx + d} = \frac{a}{c} + \frac{k}{cx + d}}

(I способ) С помощью элементарных преобразований:

главная часть (целая часть)

дробная часть

Пример:

y = \frac{2x + 1}{4x+2}
\frac{2x + 1}{4x+2} = \frac{2}{4} + \frac{1}{2x-1}
\frac{2x + 1}{4x+2} - \frac{2}{4} = \frac{2x + 1 - 2x + 1}{2(2x-1)} = \frac{2x}{4x-2} = \frac{1}{2x-1}
\Rightarrow
y = \frac{2x + 1}{4x+2} = \frac{2}{4} + \frac{1}{2x-1}

Цепочка элементарных преобразований:

\frac{1}{x} \xrightarrow{(1)} \frac{1}{x-1} \xrightarrow{(2)} \frac{1}{2x-1} \xrightarrow{(3)} \frac{1}{2x-1} + \frac{1}{2}

Построение графика дробно-линейной ф-ии (I-2)

\frac{1}{x-1} \xrightarrow{(2)} \frac{1}{2x-1}
y
x
x
y
x
y
\frac{1}{2x-1} \xrightarrow{(3)} \frac{1}{2x-1} + \frac{1}{2}
\frac{1}{x} \xrightarrow{(1)} \frac{1}{x-1}

Сдвигаем на единицу влево по        .

Сжимаем по        в 2 раза.

Сдвигаем на одну единицу вверх по       .

Ox
Ox
Oy
-1
-1
1
\frac{1}{2}
\frac{1}{2}
-\frac{1}{2}

Построение графика дробно-линейной ф-ии (II)

\displaystyle{y = \frac{ax + b}{cx + d}}

(II способ) С помощью асимптот:

(Вертикальная асимптота)

(Горизонтальная асимптота)

Пример:

y = \frac{3x - 2}{2x+3}
x = -\frac{d}{c}
y = \frac{a}{c}
x = -\frac{3}{2}
y = \frac{3}{2}

1. Горизонтальная асимптота:

2. Вертикальная асимптота:

x
y
y = \frac{3}{2}
x = -\frac{3}{2}
-\frac{3}{2}
\frac{3}{2}
\frac{3\cdot 0 - 2}{2 \cdot 0 +3} = \frac{2}{3}
0 = \frac{3x - 2}{2x+3} \Rightarrow -\frac{2}{3}
O

Задача 4

Построить эскиз графика функции                   с помощью элементарных преобразований и методом асимптот.

y=|\frac{3x + 2}{5x - 4}|

Задача 5

Построить эскиз графика функции                  с помощью элементарных преобразований и методом асимптот.

y=\frac{3|x| + 2}{5|x| - 4}

Задача 6

Найти множество значений функции

y=\sqrt{5-x} + 2.

1. Цепочка элементарных преобразований:

\sqrt{x} \xrightarrow{(1)} \sqrt{-x}\xrightarrow{(2)} \sqrt{-x + 5} \xrightarrow{(3)} \sqrt{-x + 5} + 2.
x
O
y
O
y
x
y
x
O
y = \sqrt{-x}
y = \sqrt{x}
y = \sqrt{-x + 5}
y = \sqrt{-x }
y = \sqrt{-x + 5}
y = \sqrt{-x + 5} + 2
5
5
2
E(\sqrt{5-x} + 2) = [2; +\infty).
\Rightarrow

2. Построение:

\sqrt{5-x} + 2 \Bigr|_{x={\underset {x}{\operatorname {argmin}}}(\sqrt{5-x})} = \sqrt{5-5} + 2 = 2
\sqrt{5-x} + 2 \Bigr|_{x={\underset {x}{\operatorname {argmax}}}(\sqrt{5-x})} = \sqrt{-(-\infty)-5} + 2 = +\infty
\Rightarrow

I. Графически:

II. Аналитически:

FIX IT!

Построение графиков вида

y = f(x) + g(x)

Пример 1

Построить эскиз графика

y=\cos x + x.
x
y
O
\frac{\pi}{2}
\pi
\frac{3\pi}{2}
y=\cos x
y= x
y=\cos x + x
y= x - 1
y= x + 1

Пример 2

Построить эскиз графика

y=\cos x + \sin x.
x
y
O
\max(\sin x + \cos x)
\frac{\pi}{2}
y=\cos x
y=\cos x + \sin x
y= \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
y=\sin x
\min(\sin x + \cos x)
\frac{\pi}{4}
y= -(\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4}) = -(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2}
{\pi}
\frac{3\pi}{4}
\frac{5\pi}{4}

Еще примерчик ...

Построить эскиз графика

y=|\cos x| + |\log_{\frac{1}{2}} x|.
x
y
O
y=|\log_{\frac{1}{2}} x|
y=|\cos x| + |\log_{\frac{1}{2}} x|
y=|\sin x|
{\pi}
2\pi
1

Построение графиков вида

y = f(x) \cdot g(x)

Пример

Построить эскиз графика

y=\cos x \cdot x.
x
y
\pi
2\pi
y=\cos x
y= x
y=\cos x \cdot x
y= -x

Построение графиков вида

y = f(g(x))

Пример 1

Построить эскиз графика

y=\ln(x^2 - 3x +2 ).
y
x
y=\ln(x^2 - 3x +2 )
y= x^2 - 3x +2
y= \ln x
O
1
2

Пример 2

Построить эскиз графика

y=\log_2(\sin x).
y
x
y=\log_2(\sin x)
y= \sin x
y= \log_2 x
O
1
\pi

Задачи

Построить эскизы следующих функций:

y=\lg( \cos x)
y=2^{\tg x}
y = \sqrt{x} + \sin x
y=\sqrt{\sin x}

А1. Элементарные функции. Элементарные преобразования графиков

By vkrysanov320

А1. Элементарные функции. Элементарные преобразования графиков

  • 811