Математическая логика
10 класс
vkrysanov320@gmail.com
Математическая логика
Математическая логика — раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики.
Алгебра высказываний
Высказывание — это утверждение о чем-либо, которое может быть либо истинным, либо ложным.
Примеры высказываний:
- Париж — столица Англии.
- Карась не рыба.
- Число 6 делится на 2 и на 3.
- 5 < 6
Примеры не являющиеся высказываниями:
- 5+5.
- Уходя, гасите свет!
истинно
ложно
*Истину (True) обозначаем как единицу, ложь (False) как 0.
Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика
Простые и сложные высказывания
Высказывание, представляющее собой одно утверждение принято называть простым. Сложное высказывание получается путём объединения простых высказываний, связанных союзами И, ИЛИ и частицей НЕ.
На улице идёт снег
На улице идёт снег и пасмурно
Высказывания обычно обозначают строчными латинскими буквами:
u, v, w, x, y, z.
Часто применяются регистры:
x_1, x_2, x_3, ...
Для примера выше:
— На улице идёт снег;
— На улице пасмурно.
x_1
x_2
x_1
x_1 \text{ и } x_2
(для первого примера)
(для второго)
Булева функция
Булева функция (логическая функция, функция алгебры логики) от аргументов — в дискретной математике — отображение:
f : \underbrace{B \times B \times ... \times B}_{n} \rightarrow B
f : B^n \rightarrow B
n
или проще
B = \{0, 1\}
где — булево множество;
интерпретируют как логические значения «истинно» (True) и «ложно» (False)
— арность функции.
n
* Аргументы этих функций будем называть логическими переменными
Таблицы истинности
f(x_1, x_2, ..., x_n)
Любую логическую функцию можно задать таблицей истинности, в левой части которой перечислены все возможные наборы значений её аргументов (то есть двоичных векторов длины ), а в правой части — значения заданной функции на этих наборах.
n
0
\vdots
0
x_1
0
0
x_2
...
x_n
f
0...0
0
f_1
0...0
1
f_2
\vdots
\vdots
\vdots
\vdots
f_{n-1}
1...1
1...1
0
1
1
1
1
1
f_n
В таблице истинности наборы значений аргументов расположены в лексикографическом порядке
\underbrace{\text{\hspace{2.2cm}}}
2^n
Основные логические операции
Конъюнкция
Логическое «И» (конъюнкция) — операция, применяемая к двум операндам, т.е. бинарная операция. Выражение и записывается как или . Конъюнкция задаётся следующей таблицей истинности:
A \cdot B, A \wedge B, A \&\& B, A \& B
A \text{ and } B
B
0
1
0
0
A
A \& B
1
0
1
1
1
0
0
0
Логическое «И», как не сложно понять из названия, образует выражение, которое истинно только тогда, когда истинны оба исходных выражения, входящих в его состав: и первое, и второе.
A
B
\&
A
B
A \& B
Дизъюнкция
Логическое «ИЛИ» (дизъюнкция) — ещё одна бинарная операция. Выражение или записывается как или . Дизъюнкция задаётся следующей таблицей истинности:
A + B, A \vee B, A || B, A | B
A \text{ or } B
B
0
1
0
0
A
A | B
1
0
1
1
1
0
1
1
Логическое «ИЛИ» образует выражение, которое истинно тогда, когда истинно хотя бы одно исходных выражение, входящее в его состав: или первое, или второе.
A
B
1
A
B
A | B
Инверсия
A
!A
0
1
1
0
Отрицание (инверсия) — операция, применяемая к одному операнду, т.е. унарная операция. Выражение записывается как или . Операции отрицания задаётся следующей таблицей истинности:
\neg A, \overline{A}, A!
\text{not }A
Истинность выражения, построенного с помощью отрицания, противоположна истинности исходного выражения. Если — истинно, — ложно, и наоборот.
A
!A
\text{не } A
A
!A
Производные логические операции
Cтрогая дизъюнкция
Операция исключающего «ИЛИ» (строгая дизъюнкция, сложение по модулю 2) похожа на обычную дизъюнкцию. Её обозначают как или . Операция задается следующей таблицей истинности:
A \oplus B, A\text{\textasciicircum}B
B
0
1
0
0
A
1
0
1
1
0
0
1
1
=1
A
B
A \oplus B
A\text{ xor }B
A \oplus B
Результат выполнения операции истинен тогда и только тогда, когда операнды не равны.
A \oplus B = !A \cdot B + A \cdot !B = (!A + !B) \cdot (A +B)
Импликация
Бинарная операция импликации выражается связками если..., то, из... следует, влечет. Операция записывается как или и задается следующей таблицей истинности:
A \rightarrow B
B
0
1
0
0
A
1
0
1
1
1
1
1
0
A \Rightarrow B
A \rightarrow B
В импликации называется посылкой, а — следствием. Выражение, образованное импликацией, ложно только в том случае, когда посылка истинна, а следствие ложно. При ложной посылке состояние следствия может быть каким угодно.
A
B
A \rightarrow B = !A + B
Импликация (2)
A \rightarrow B
Необходимое условие для
Достаточное условие для
A
B
B
0
1
0
0
A
1
0
1
1
1
1
1
0
A \rightarrow B
Так как — необходимое условие для , то не может быть такого, что достаточное условие истинно, а необходимое — ложно!
без невозможно.
B
A
A
B
Импликация (3)
B
0
1
0
0
A
1
0
1
1
1
1
1
0
F
F = A \rightarrow B
- Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию (2).
- Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии (1). В (3) возникает противоречие, а следовательно выражение такой импликации — ложно.
(1)
(2)
(3)
(4)
- Если же Вася учится без троек, то он заведомо получает стипендию (4).
B := \text{Вася — учащийся}.
A := \text{Вася получает стипендию};
F := \text{суждение};
Если Вася получает стипендию, то Вася — учащийся.
Эквивалентность
Данная операция выражается связками тогда и только тогда, необходимо и до статочно, равносильно. Операция имеет следующие обозначения: или . Таблица истинности выглядит так:
A == B
B
0
1
0
0
A
1
0
1
1
1
1
0
0
A \leftrightarrow B,A \Leftrightarrow B, A \equiv B
A \equiv B
Выражение, образованное эквивалентностью, истинно, если истинность обоих операндов совпадает.
A \equiv B = !A \cdot !B + A \cdot B = (!A + B) \cdot (A + !B)
Эквивалентность (2)
F_1 = A \rightarrow B
F_2 = B \rightarrow A
Если треугольник является прямоугольным, то сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны.
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.
F_1, F_1 := \text{суждения};
A := \text{треугольник является прямоугольным};
B := \text{сумма квадратов двух сторон тр-ка равна квадрату третьей стороны}.
Штрих Шеффера
Штрих Шеффера, обычно обозначаемый , эквивалентен операции «И-НЕ» и задаётся следующей таблицей истинности:
A | B
B
0
1
0
0
A
1
0
1
1
0
1
1
1
A | B
A | B = !(A \cdot B) = !A + !B
\&
A
B
A | B
Стрелка Пирса
Стрелка Пирса, обычно обозначаемая , эквивалентна операции «ИЛИ-НЕ» и задаётся следующей таблицей истинности:
B
0
1
0
0
A
1
0
1
1
0
1
0
0
A \downarrow B
A \downarrow B
A \downarrow B = !(A + B) = !A \cdot !B
1
A
B
A \downarrow B
Формулы
Атомарными формулами логики высказываний называются
буквы с индексами и без них, а также символы истины (1) и лжи (0).
Формулами логики высказываний называются:
u, v, w, x, y, z
- атомарные формулы;
- выражения вида:
!(F), (F) \wedge (G), (F) \vee (G), (F) \rightarrow (G), (F) \equiv (G), (F) | (G), (F) \downarrow (G)
где и — формулы логики высказываний.
F
G
Примеры:
x, y, z
— формулы логики высказываний (атомарные)
(x) \rightarrow ((y) \vee (z))
— формулы логики высказываний (неатомарные)
В виду определения формулы логики высказываний приоритеты логических операций определяются скобками.
Задачи
1) Не А
2) А, если В
3) В случае А имеет место В
4) Как А, так и В
5) Для А необходимо В
6) Для А достаточно В
7) И A и B
8) А вместе с В
9) А не имеет места
10) A, только если B,
11) Или A, или B
12) A одновременно с B
13) A – то же самое, что и B
14) Коль скоро А, то В
1. Определить, какая логическая связка используется в следующих выражениях:
Задачи
а) Фрэду нравится футбол и неверно, что Фрэд любит гольф или теннис.
б) Если он выиграет в лотерею, то будет праздновать всю ночь и если он не выиграет в лотерею, то не купит компьютер.
2. Записать в символической форме высказывания и построить для них таблицы истинности:
Задачи
3. Построить таблицы истинности для следующих функций и построить комбинационную схему:
f_1(x,y,z) = !\bigl(!(x \wedge y) \vee !(x \wedge z) \vee !(y \wedge z)\bigr)
f_2(x,y,z) = \bigl ( x \wedge (x \vee y \vee z) \bigr) \vee \bigl (y \wedge (x \vee y \vee z)\bigr) \vee \bigl (z \wedge (x \vee y \vee z)\bigr)
f_3(x,y,z) = (!\bigl( (!x \wedge !y) \vee z \bigr) \rightarrow !z \vee y
* По-хорошему, сначала формулы упрощают, а потом уже работают с ними. Об упрощении формул поговорим позднее, а пока выполняем задание «в лоб».
Задачи
4. Для какого числа истинны высказывания?
\text{1. }!\bigl((x>2) \rightarrow (x>3)\bigr)
x
\text{a)} 1;\text{ }
\text{b)} 2;\text{ }
\text{c)} 3;\text{ }
\text{d)} 4.
\text{2. } \bigl((x<4) \rightarrow (x<3)\bigl) \wedge \bigl((x<3) \rightarrow (x<1)\bigr)
\text{a)} 1;\text{ }
\text{b)} 2;\text{ }
\text{c)} 3;\text{ }
\text{d)} 4.
\text{3. } \bigl((x>3) \vee (x<3)\bigr) \rightarrow (x<1)
\text{a)} 1;\text{ }
\text{b)} 2;\text{ }
\text{c)} 3;\text{ }
\text{d)} 4.
Свойства логических операций
Коммутативность
Если операция коммутативна, то результат ее применения не зависит от того, какой из операндов был первым, а какой — вторым. Операнды коммутативных операций можно менять друг с другом местами, получая тождественный результат.
x\circ y=y\circ x,\circ \in \{\land ,\lor ,\oplus ,\sim ,\mid ,\downarrow \}
Ассоциативность
Если операция ассоциативна, то результат вычисления не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи.
(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z),\circ \in \{\land ,\lor ,\oplus ,\sim \}.
Дистрибутивность
Свойство дистрибутивности одной операции относительно другой позволяет раскрывать скобки аналогично процедуре из элементарной алгебры.
x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z);
x\lor (y\land z)=(x\lor y)\land (x\lor z);
x\land (y\oplus z)=(x\land y)\oplus (x\land z).
Законы де Моргана
Законы де Моргана позволяют применять отрицания к целой скобке, позволяя перейти к так называемым тесным отрицаниям, когда ни одно отрицание не стоит перед скобкой.
!(x \vee y) = ! x \wedge ! y.
!(x \wedge y) = ! x \vee ! y;
Идемпотентность
Операция называется идемпотентной, если, применяя ее к двум равным операндам, получается тот же самый операнд. Идемпотентность позволяет «выкидывать» лишние повторные применения операции из формулы. Конъюнкция и дизъюнкция идемпотентны:
x \vee x = x.
x \wedge x = x;
Свойства единицы и нуля
Конъюнкция и дизъюнкция «по-особому» реагируют на единицу или ноль в качестве одного из операндов независимо от значения второго. Эти свойства похожи на знакомые из элементарной алгебры умножение на единицу, умножение на ноль, сложение с нулём:
x \vee 0 = x, x \vee 1 = 1.
x \wedge 0 = 0, x \wedge 1 = x;
Законы поглощения
Если к выражению применяется с одним и тем же операндом сначала одна операция, а потом, с тем же самым операндом, поглощающая её, то значение выражения поглощается,
становясь равно операнду. Таким образом поглощающие друг друга пары операций можно «выкидывать»
во время упрощения.
x\land (x\lor y)=x;
x\lor (x\land y)=x.
Дополнение
Отрицание операнда называется его дополнением. Конъюнкция или дизъюнкция операнда со своим дополнением даёт однозначные результат независимо от значения операнда:
x \wedge ! x = 0;
x \vee ! x = 1.
Двойное отрицание
Двойное отрицание компенсирует само себя. Таким образом в форме с тесными отрицаниями у каждой переменной в выражении либо не стоит ни одного отрицания, либо только одно.
!!x = x.
Тождественно истинная формула
Формула называется тождественно истинной (тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных
F
0
\vdots
0
x_1
0
0
x_2
...
x_n
F(x_1, ..., x_n)
0...0
0
0...0
1
\vdots
\vdots
\vdots
\vdots
1...1
1...1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
везде истина
Тождественно ложная формула
Формула называется тождественно ложной (противоречием), если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных
F
0
\vdots
0
x_1
0
0
x_2
...
x_n
F(x_1, ..., x_n)
0...0
0
0...0
1
\vdots
\vdots
\vdots
\vdots
1...1
1...1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
везде ложь
Равносильность формул
Две формулы алгебры логики и называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний (переменных).
F
G
F \equiv G
* если формулы и равносильны, то формула тавтология, и обратно, если формула тавтология, то формулы и равносильны.
F
G
F \equiv G
F \equiv G
F
G
Задачи
1. Упростить логические выражения:
b) \text{ } \bigl((x \vee y) \wedge !x \bigr) \vee \bigl(!(x \vee y) \wedge !!x \bigr);
a)\text{ } (x \wedge y) \vee (x \wedge !y \wedge z) \vee (!y \wedge x \wedge !z) \vee (x \wedge !z);
c) \text{ }!\bigl((x \wedge y) \vee (!x \wedge !y) \bigr) \wedge (x \vee !y);
d) \text{ } (x \vee y \vee z) \wedge (x \vee !y \vee !z);
e) \text{ } \Bigl[ !x \vee \bigl[ (y \rightarrow !x) \Leftrightarrow \bigl(!(x \wedge !y) \vee x\bigr)\bigr]\Bigr] \wedge \bigl[(!x \wedge y) \Leftrightarrow (!y \rightarrow x) \bigr].
Задачи
2. Доказать равносильность формул:
a) \text{ } !\bigl[ (x \vee y) \wedge (x \wedge !z) \bigr] \text{ и } x \rightarrow z
b) \text{ } !\bigl[ (x \vee !y) \wedge y \bigr] \wedge !\bigl[!x \wedge y \bigr] \text{ и } !y
c) \text{ } (x \wedge y) \vee (!x \wedge y) \vee (x \wedge !y) \text{ и } x \vee y
d) \text{ } !\bigl[ (x \wedge y) \vee !z \bigr ] \text{ и } !(z \rightarrow x) \vee !(y \leftarrow z)
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — нормальная форма, в которой булева функция имеет вид дизъюнкции нескольких простых конъюнктов.
x\lor y
Примеры:
(x\land y\land ! z)\lor (!u\land w\land v)\lor (z\land u)\lor y
!(x \vee y)
x \lor (y\land (z \lor x))
Данные выражения не находятся в ДНФ, но приводимы к ней
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
Совершенной дизъюктивной нормальной формой (СДНФ) называется такая ДНФ, у которой в каждую простую конъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одинаковом порядке.
y
0
1
0
0
x
1
0
1
1
1
0
1
0
f(x; y)
\Rightarrow x \wedge y
\Rightarrow !x \wedge y
\Rightarrow f(x;y) = (!x \wedge y)\vee (x \wedge y)
Конъюктивная нормальная форма (КНФ)
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — нормальная форма, в которой булева функция имеет вид конъюнкции нескольких простых дизъюнктов.
(x\vee y)\wedge (y\vee z)
x\wedge (y\vee z)\wedge (y\vee u)
Примеры:
!x\wedge (y\vee z)
(x\vee y)\wedge (! y\vee z\vee !u)\wedge (u\vee !w)
Данные выражения не находятся в КНФ, но приводимы к ней
x\wedge y
Совершенная конъюктивная нормальная форма (СКНФ)
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая КНФ, у которой в каждую простую дизъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одинаковом порядке.
y
0
1
0
0
x
1
0
1
1
1
0
1
0
f(x; y)
\Rightarrow !x \vee y
\Rightarrow x \vee y
\Rightarrow f(x;y) = (x \vee y)\wedge (!x \vee y)
Задачи
Формализовать (описать) алгоритм работы цифрового устройства на языке функций алгебры логики и построить соответствующую комбинационную схему (схема должна отличаться минимумом аппаратных затрат):
1. Программа экзаменатор даёт сигнал «зачёт» (загорается табло) в том и только в том случае, если экзаменующийся ответил правильно не менее чем на три вопроса из четырёх.
2. Программа экзаменатор даёт сигнал «зачёт» (загорается табло) в том и только в том случае, если экзаменующийся ответил правильно на первый вопрос и не менее чем на два вопроса из четырёх, содержащихся в билете.
Задачи
Формализовать (описать) алгоритм работы цифрового устройства на языке функций алгебры логики и построить соответствующую комбинационную схему (схема должна отличаться минимумом аппаратных затрат):
3. На летательном аппарате (ЛА) должно загораться табло «Посадка возможна» при выполнении следующих условий: при посадке ЛА закрылки должны быть в положении 3 или 4 (из четырёх возможных положений закрылок), кроме того при посадке ЛА должны быть выпущены шасси и убраны предкрылки.
Логические уравнения и системы логических уравнений
Что такое уравнение?
Уравнение — математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами.
Уравнение. Определение
Что значит решить уравнение?
Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение. Определение
Примеры логических уравнений
(x_1 \rightarrow x_2) \cdot \text{} !(x_2 \rightarrow x_3) \cdot (x_3 \rightarrow x_4) = 0,
x_1, x_2, x_3, x_4
где — логические переменные.
(x + y) \rightarrow (y \Leftrightarrow z) = 1,
где — логические переменные.
x, y, z
[!(x + y)\cdot z] \rightarrow [(!z \cdot !x) + u] = 0,
где — логические переменные.
x, y, z, u
и т.п. ...
Ещё вопросик...
(x_1 \rightarrow x_2) \cdot \text{} !(x_2 \rightarrow x_3) \cdot (x_3 \rightarrow x_4) = 1
Является ли преобразование равносильным (относительно математической логики)?
\Leftrightarrow
\begin{cases}
(x_1 \rightarrow x_2) = 1;\\
!(x_2 \rightarrow x_3) = 1;\\
(x_3 \rightarrow x_4) = 1.
\end{cases}
А если так?
(x_1 \rightarrow x_2) \cdot \text{} !(x_2 \rightarrow x_3) \cdot (x_3 \rightarrow x_4) = 0
Является ли преобразование равносильным (относительно математической логики)?
\Leftrightarrow
\begin{cases}
(x_1 \rightarrow x_2) = 0;\\
!(x_2 \rightarrow x_3) = 0;\\
(x_3 \rightarrow x_4) = 0.
\end{cases}
А теперь... что такое система уравнений?
Система уравнений. Определение
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.
Преобразования ур-й в системы
f \cdot g = 1 \Leftrightarrow
\begin{cases}
f = 1;\\
g = 1.\\
\end{cases}
f + g = 1 \Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\begin{cases}
f = 1;\\
g = 1;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
f = 0;\\
g = 1;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
f = 1;\\
g = 0.\\
\end{cases}\\
\end{array}
\right.
f \cdot g = 0 \Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\begin{cases}
f = 0;\\
g = 0;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
f = 0;\\
g = 1;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
f = 1;\\
g = 0.\\
\end{cases}\\
\end{array}
\right.
f + g = 0 \Leftrightarrow
\begin{cases}
f = 0;\\
g = 0.\\
\end{cases}
Решить уравнение (1)
[!(x + y)z] \rightarrow [!z!x + u] = 0.
Решение
[!(x + y)z] \rightarrow [!z!x + u] = 0;
I способ (через упрощения):
II способ (методом логических рассуждений):
(!x!yz) \rightarrow (!z!x + u) = 0;
!(!x!yz) + (!z!x + u) = 0;
x + y + !z + !z!x + u = 0;
x + y + !z + u = 0;
\begin{cases}
x = 0;\\
y = 0;\\
!z = 0;\\
u = 0;
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x = 0;\\
y = 0;\\
z = 1;\\
u = 0.
\end{cases}
[!(x + y)z] \rightarrow [!z!x + u] = 0;
1
0
\begin{cases}
!x!yz = 1;\\
!z!x + u = 0;\\
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
\begin{cases}
x = 0;\\
y = 0;\\
z = 1;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
z = 1;\\
u = 0;
\end{cases}\\
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x = 0;\\
y = 0;\\
z = 1;\\
u = 0.
\end{cases}
Ответ:
x = 0;
y = 0;
z = 1;
u = 0.
Решение (нерациональный способ)
f = [!(x + y)z] \rightarrow [!z!x + u]
III способ (через таблицы истинности):
Ответ:
x = 0;
y = 0;
z = 1;
u = 0.
f = 0
, что и требовалось найти
Решить уравнение (2)
(x \rightarrow y)(x \rightarrow !y)(!x \rightarrow y!zu) = 1.
(x \rightarrow y)(x \rightarrow !y)(!x \rightarrow y!zu) = 1.
(!x + y)(!x + !y)(!!x + y!zu) = 1;
(!x!x + !x!y + y!x + y!y)(x + y!zu) = 1;
(!x + !x!y + y!x)(x + y!zu) = 1;
!x(x + y!zu) = 1;
!xx + !xy!zu = 1;
\begin{cases}
!x = 1;\\
y = 1;\\
!z = 1;\\
u = 1;
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x = 0;\\
y = 1;\\
z = 0;\\
u = 1.
\end{cases}
!xy!zu = 1;
Решение (через упрощение)
x = 0;
y = 1;
z = 0;
u = 1.
Ответ:
(x \rightarrow y)(x \rightarrow !y)(!x \rightarrow y!zu) = 1.
Решение (мтд. лог. рассуждений)
x = 0;
y = 1;
z = 0;
u = 1.
Ответ:
1
1
1
\begin{cases}
x \rightarrow y = 1; (1)\\
x \rightarrow !y = 1; (2)\\
!x \rightarrow y!zu = 1; (3)\\
\end{cases}
% \Leftrightarrow
% \begin{cases}
% \begin{cases}
% x = 0;\\
% y = 0;\\
% z = 1;\\
% \end{cases}\\
% \begin{cases}
% z = 1;\\
% u = 0;
% \end{cases}\\
% \end{cases}
% \Leftrightarrow
% \begin{cases}
% x = 0;\\
% y = 0;\\
% z = 1;\\
% u = 0.
% \end{cases}
\begin{cases}
x = 0;\\
y =
\left[
\begin{array}{l}
0;\\
1.\\
\end{array}
\right.
\end{cases}
Из уравнения (1) и (2) логично положить следующее:
Теперь видно, что уравнение (3) несёт в себе импликацию . Следовательно, осталось только решить уравнение , откуда видно, что
1 \rightarrow 1
y!zu = 1
y = 1;
z = 0;
u = 1.
Сколько различных решений имеет уравнение?
(x + y)(z + u) = 1.
Решение
(x + y)(z + u) = 1.
1
1
{\underbrace{\text{\hspace{0.8cm}}}}
{\underbrace{\text{\hspace{0.8cm}}}}
3
3
\Sigma = 3 \cdot 3 = 9.
Ответ: 9.
Способ I (прямым ходом):
Способ II (от противного):
(x + y)(z + u) = 0.
f_1 =
\left[
\begin{array}{l}
0;\\
1.
\end{array}
\right.
f_2 =
\left[
\begin{array}{l}
0;\\
1.
\end{array}
\right.
\overline{Eq} \Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\begin{cases}
f_1 = 0;\\
f_2 = 0;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
f_1 = 0;\\
f_2 = 1;\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
f_1 = 1;\\
f_2 = 0.\\
\end{cases}\\
\end{array}
\right.
1 \cdot 1
1 \cdot 3
3 \cdot 1
\overline{\Sigma} = 1 + 3 + 3 = 7.
\Sigma = 16 - 7 = 9.
*когда выражение равно нулю
**видно из таблиц истинности слева
a) \text{ } (xy + z) \rightarrow (z + p) = 0;
Задачи
b) \text{ } x(y \rightarrow z)(y \rightarrow x) + y = 0;
Методы решений систем логических уравнений
Метод полного перебора (метод «грубой силы»)
\begin{cases}
(x_1 \rightarrow x_2) = 1;\\
(y_1 \rightarrow y_2) = 1;\\
(x_1 \rightarrow y_1) = 1;
\end{cases}
(x_1 \rightarrow x_2)(y_1 \rightarrow y_2) (x_1 \rightarrow y_1) = 1;
\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
x_1=0; x_2=0; y_1 = 0; y_2 = 0;\\
x_1=0; x_2=0; y_1 = 0; y_2 = 1;\\
x_1=0; x_2=0; y_1 = 1; y_2 = 1;\\
x_1=0; x_2=1; y_1 = 0; y_2 = 0;\\
x_1=0; x_2=1; y_1 = 0; y_2 = 1;\\
x_1=0; x_2=1; y_1 = 1; y_2 = 1;\\
x_1=1; x_2=1; y_1 = 1; y_2 = 1;\\
\end{array}
\right.
Метод полного перебора (метод «грубой силы») (2)
\begin{cases}
(x_1 \rightarrow x_2) = 1;\\
(y_1 \rightarrow y_2) = 1;\\
(x_1 \rightarrow y_1) = 1;
\end{cases}
\Leftrightarrow
(x_1 \rightarrow x_2)(y_1 \rightarrow y_2) (x_1 \rightarrow y_1) = 1
\Leftrightarrow
\Leftrightarrow (!x_1 + x_2)(!y_1 + y_2) (!x_1 + y_1) = 1.
# Python:
for x1 in [0,1]:
for x2 in [0,1]:
for y1 in [0,1]:
for y2 in [0,1]:
if (not(x1) or x2) and (not(y1) or y2) and (not(x1) or y1):
print('x1 = {}; x2 = {}; y1 = {}; y2 ={}'.format(x1, x2, y1, y2))
-- Haskell:
f :: [(Bool, Bool, Bool, Bool)]
f = filter predicat [(x1,x2,y1,y2) | x1 <- bs, x2 <- bs, y1 <- bs, y2 <- bs]
where
predicat (x1,x2,y1,y2) = (not x1 || x2) && (not y1 || y2) && (not x1 || y1) == True
bs = [False,True]
Метод замены переменных
\begin{cases}
\bigl((x_1 \Leftrightarrow x_2) + (x_3 \Leftrightarrow x_4)\bigr) \wedge \bigl(!(x_1 \Leftrightarrow x_2) + !(x_3 \Leftrightarrow x_4)\bigr) = 1;\\
\bigl((x_3 \Leftrightarrow x_4) + (x_5 \Leftrightarrow x_6)\bigr) \wedge \bigl(!(x_3 \Leftrightarrow x_4) + !(x_5 \Leftrightarrow x_6)\bigr) = 1;\\
\bigl((x_5 \Leftrightarrow x_6) + (x_7 \Leftrightarrow x_8)\bigr) \wedge \bigl(!(x_5 \Leftrightarrow x_6) + !(x_7 \Leftrightarrow x_8)\bigr) = 1;\\
\bigl((x_7 \Leftrightarrow x_8) + (x_9 \Leftrightarrow x_{10})\bigr) \wedge \bigl(!(x_7 \Leftrightarrow x_8) + !(x_9 \Leftrightarrow x_{10})\bigr) = 1.
\end{cases}
\Bigl|_{
\small{
\left.
\begin{array}{l}
t_1 = (x_1 \Leftrightarrow x_2)\\
t_2 = (x_3 \Leftrightarrow x_4)\\
t_3 = (x_5 \Leftrightarrow x_6)\\
t_4 = (x_7 \Leftrightarrow x_8)\\
t_5 = (x_9 \Leftrightarrow x_{10})
\end{array}
\right.
}}
\Rightarrow
\begin{cases}
(t_1 + t_2) \wedge (!t_1 + !t_2) = 1;\\
(t_2 + t_3) \wedge (!t_2 + !t_3) = 1;\\
(t_3 + t_4) \wedge (!t_3 + !t_4) = 1;\\
(t_4 + t_5) \wedge (!t_4 + !t_5) = 1;\\
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
t_1 \oplus t_2 = 1;\\
t_2 \oplus t_3 = 1;\\
t_3 \oplus t_4 = 1;\\
t_4 \oplus t_5 = 1;
\end{cases}
Применяется, если можно выделить одинаковые выражения в уравнениях, между которыми нет общих переменных:
\Rightarrow
\left[
\begin{array}{l}
t_1=0; t_2=1; t_3 = 0; t_4 = 1; t_5 = 0;\\
t_1=1; t_2=0; t_3 = 1; t_4 = 0; t_5 = 1.\\
\end{array}
\right.
Метод замены переменных (2)
Обратная замена:
\begin{cases}
\begin{cases}
t_1 = (x_1 \Leftrightarrow x_2);\\
t_2 = (x_3 \Leftrightarrow x_4);\\
t_3 = (x_5 \Leftrightarrow x_6);\\
t_4 = (x_7 \Leftrightarrow x_8);\\
t_5 = (x_9 \Leftrightarrow x_{10});\\
\end{cases}
\\
\left[
\begin{array}{l}
t_1=0; t_2=1; t_3 = 0; t_4 = 1; t_5 = 0;\\
t_1=1; t_2=0; t_3 = 1; t_4 = 0; t_5 = 1.\\
\end{array}
\right.
\end{cases}
\Rightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\begin{cases}
0 = (x_1 \Leftrightarrow x_2);\\
1 = (x_3 \Leftrightarrow x_4);\\
0 = (x_5 \Leftrightarrow x_6);\\
1 = (x_7 \Leftrightarrow x_8);\\
0 = (x_9 \Leftrightarrow x_{10});
\end{cases}
\\
\begin{cases}
1 = (x_1 \Leftrightarrow x_2);\\
0 = (x_3 \Leftrightarrow x_4);\\
1 = (x_5 \Leftrightarrow x_6);\\
0 = (x_7 \Leftrightarrow x_8);\\
1 = (x_9 \Leftrightarrow x_{10}).
\end{cases}
\end{array}
\right.
Комбинаторика в помощь!
\Rightarrow \sum_{(1)} = 2^5 = 32.
\sum_{(2)} = 2^5 = 32.
По два решения на каждое уравнение
Аналогично и для второй системы:
\sum = \sum_{(1)} + \sum_{(2)} = 32 + 32 = 64.
Таким образом, всего решений данной системы:
Ответ: 64.
Задачи
Найти количество решений систем уравнений методом замены переменных:
\begin{cases}
(x_1 \cdot y_1) \Leftrightarrow (!x_2 + !y_2) = 1;\\
(x_2 \cdot y_2) \Leftrightarrow (!x_3 + !y_3) = 1;\\
(x_3 \cdot y_3) \Leftrightarrow (!x_4 + !y_4) = 1;\\
...\\
(x_6 \cdot y_6) \Leftrightarrow (!x_7 + !y_7) = 1.\\
\end{cases}
Метод динамического программирования (метод отображения)
\begin{cases}
(x_1 \Leftrightarrow x_2) \rightarrow (x_3 + x_4) = 1;\\
(x_3 \Leftrightarrow x_4) \rightarrow (x_5 + x_6) = 1;\\
(x_5 \Leftrightarrow x_6) \rightarrow (x_7 + x_8) = 1.\\
\end{cases}
Используется, когда в системе имеются «влияющие группы» переменных на другие группы.
Имеется некоторая зависимость: влияют на , , в свою очередь на
и так далее. Выявим закономерность получения пар значений:
x_1, x_2
x_3, x_4
x_3, x_4
x_5, x_6
| 00 (1) |
| 01 (1) |
| 10 (1) |
| 11 (1) |
| 00 (1 + 1 = 2) |
| 01 (1 + 1 + 1 + 1 = 4) |
| 10 (1 + 1 + 1 + 1 = 4) |
| 11 (1 + 1 + 1 + 1= 4) |
x_1x_2
x_3x_4
| 00 (4 + 4 = 8) |
| 01 (2 + 4 + 4 + 4 = 14) |
| 10 (2 + 4 + 4 + 4 = 14) |
| 11 (2 + 4 + 4 + 4 = 14) |
x_5x_6
| 00 (14 + 14 = 28) |
| 01 (8 + 14 + 14 + 14 = 50) |
| 10 (8 + 14 + 14 + 14 = 50) |
| 11 (8 + 14 + 14 + 14 = 50) |
x_7x_8
\sum_{(1)} = 2 + 4 + 4 + 4 = 14
\sum_{(2)} = 8 + 14 + 14 + 14 = 50
\sum_{(3)} = 28 + 50 + 50 + 50 = 178
Ответ
Задачи
\begin{cases}
(x_1 + x_2) \rightarrow (x_3\cdot x_4) = 1;\\
(x_3 + x_4) \rightarrow (x_5\cdot x_6) = 1;\\
(x_5 + x_6) \rightarrow (x_7\cdot x_8) = 1.\\
\end{cases}
Найти количество решений систем уравнений методом динамического программирования:
\begin{cases}
(x_1 \cdot y_1) \Leftrightarrow (!x_2 + !y_2) = 1;\\
(x_2 \cdot y_2) \Leftrightarrow (!x_3 + !y_3) = 1;\\
(x_3 \cdot y_3) \Leftrightarrow (!x_4 + !y_4) = 1;\\
...\\
(x_6 \cdot y_6) \Leftrightarrow (!x_7 + !y_7) = 1.\\
\end{cases}
\begin{cases}
(x_1 \rightarrow x_2) \wedge (y_1 \rightarrow y_2) = 1;\\
(x_2 \rightarrow x_3) \wedge (y_2 \rightarrow y_3) = 1;\\
...\\
(x_9 \rightarrow x_{10}) \wedge (y_9 \rightarrow y_{10}) = 1.
\end{cases}
\begin{cases}
(x_1 \Leftrightarrow x_2) \Leftrightarrow (y_1 \Leftrightarrow y_2) = 1;\\
(x_2 \Leftrightarrow x_3) \Leftrightarrow (y_2 \Leftrightarrow y_3) = 1;\\
...\\
(x_6 \Leftrightarrow x_7) \Leftrightarrow (y_6 \Leftrightarrow y_7) = 1.
\end{cases}
\begin{cases}
(x_1 \Leftrightarrow x_2) \rightarrow (x_2 \Leftrightarrow x_3) = 1;\\
(x_2 \Leftrightarrow x_3) \rightarrow (x_3 \Leftrightarrow x_4) = 1;\\
...\\
(x_7 \Leftrightarrow x_8) \rightarrow (x_8 \Leftrightarrow x_9) = 1.
\end{cases}
\begin{cases}
\bigl[(x_1 \Leftrightarrow x_2) \rightarrow (x_2 \Leftrightarrow x_3) \bigr] \bigl[(y_1 \Leftrightarrow y_2) \rightarrow (y_2 \Leftrightarrow y_3) \bigr] = 1;\\
\bigl[(x_2 \Leftrightarrow x_3) \rightarrow (x_3 \Leftrightarrow x_4) \bigr] \bigl[(y_2 \Leftrightarrow y_3) \rightarrow (y_3 \Leftrightarrow y_4) \bigr] = 1;\\
...\\
\bigl[(x_6 \Leftrightarrow x_7) \rightarrow (x_7 \Leftrightarrow x_8) \bigr] \bigl[(y_6 \Leftrightarrow y_7) \rightarrow (y_7 \Leftrightarrow y_8) \bigr] = 1;
\end{cases}
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Метод построения дерева решений
\begin{cases}
!(x_1 \Leftrightarrow x_2)\cdot \bigl[(x_1 \cdot !x_3) + (!x_1 \cdot x_3)\bigr] = 0;\\
!(x_2 \Leftrightarrow x_3)\cdot \bigl[(x_2 \cdot !x_4) + (!x_2 \cdot x_4)\bigr] = 0;\\
!(x_3 \Leftrightarrow x_4)\cdot \bigl[(x_3 \cdot !x_5) + (!x_3 \cdot x_5)\bigr] = 0;\\
...\\
!(x_9 \Leftrightarrow x_{10})\cdot \bigl[(x_9 \cdot !x_{11}) + (!x_9 \cdot x_{11})\bigr] = 0;
\end{cases}
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
\sum:
\Delta = 2
\begin{cases}
\\\\
\end{cases}
...
Ответ: 22.
Задачи
\begin{cases}
(x_1 \Leftrightarrow x_2) \rightarrow (x_2 \Leftrightarrow x_3) = 1;\\
(x_2 \Leftrightarrow x_3) \rightarrow (x_3 \Leftrightarrow x_4) = 1;\\
...\\
(x_6 \Leftrightarrow x_7) \rightarrow (x_7 \Leftrightarrow x_8) = 1.\\
\end{cases}
Найти количество решений систем уравнений методом построения дерева решений:
Табличный метод
\begin{cases}
(x_1 \rightarrow x_2)(x_2 \rightarrow x_3)(x_3 \rightarrow x_4) = 1; \text{ } (1)\\
(y_1 \rightarrow y_2)(y_2 \rightarrow y_3)(y_3 \rightarrow y_4) = 1; \text{ } (2)\\
(z_1 \rightarrow z_2)(z_2 \rightarrow z_3)(z_3 \rightarrow z_4) = 1. \text{ } (3)
\end{cases}
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
x_1
x_2
x_3
x_4
y_1
y_2
y_3
y_4
z_1
z_2
z_3
z_4
5 вариантов
на каждый вариант ещё по 5 вариантов
то есть
5 \cdot 5 = 25
25
25
25
25
25
\sum = 25 \cdot 5 = 125
Ответ: 125.
\begin{cases}
(x_1 \rightarrow x_2) \wedge (y_1 \rightarrow y_2) = 1;\\
(x_2 \rightarrow x_3) \wedge (y_2 \rightarrow y_3) = 1;\\
(x_4 \rightarrow x_{5}) \wedge (y_4 \rightarrow y_{5}) = 1;\\
x_1 + y_1 = 1.
\end{cases}
Задачи
Найти количество решений систем уравнений:
\begin{cases}
(x_1 \vee \neg x_2) \wedge (x_2 \vee \neg x_3) \wedge (x_3 \vee \neg x_4) \wedge (x_4 \vee \neg x_5) = 1;\\
(\neg y_1 \vee y_2) \wedge (\neg y_2 \vee y_3) \wedge (\neg y_3 \vee y_4) \wedge (\neg y_4 \vee y_5) = 1;\\
(x_1 \vee y_1) = 1.
\end{cases}
\begin{cases}
(x_1 \rightarrow x_2)(x_2 \rightarrow x_3)(x_3 \rightarrow x_4)(x_4 \rightarrow x_5)(x_6 \rightarrow x_6) = 1;\\
(y_1 \rightarrow y_2)(y_2 \rightarrow y_3)(y_3 \rightarrow y_4)(y_4 \rightarrow y_5)(y_6 \rightarrow y_6) = 1;\\
(z_1 \rightarrow z_2)(z_2 \rightarrow z_3)(z_3 \rightarrow z_4)(z_4 \rightarrow z_5)(z_6 \rightarrow z_6) = 1;\\
x_1 + y_1 + z_1 = 1.
\end{cases}
а)
б)
в)
Логические уравнения с параметрами
Пример I-1
\bigl( (x \le 9) \rightarrow (x^2 \le A) \bigr) \wedge \bigl( (y^2 \le A) \rightarrow (y \le 9) \bigr)
Для какого наибольшего целого числа формула ниже тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любых целых и неотрицательных и ?
x
y
A
Решение:
Шаг I. Упрощаем и приводим к виду системы:
\bigl( (x > 9) \vee (x^2 \le A) \bigr) \wedge \bigl( (y^2 > A) \vee (y \le 9) \bigr)
\begin{cases}
\left[
\begin{array}{l}
x > 9; (1)\\
x^2 \le A; (2)
\end{array}
\right.
\\
\left[
\begin{array}{l}
y^2 > A; (3)\\
y \le 9; (4)
\end{array}
\right.
\end{cases}
\Leftrightarrow
При выполнении условий (1) и (4) формула тождественно истинна
Шаг II. Рассматриваем случаи, отличные от истинных условий (1) и (4):
\begin{cases}
\begin{cases}
x \le 9; \\
x^2 \le A ;
\end{cases}
\\
\begin{cases}
y^2 > A; \\
y > 9;
\end{cases}
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\begin{cases}
x \le 9; \\
x^2 \le A ;
\end{cases}
\\
\begin{cases}
y^2 > A; \\
y \ge 10;
\end{cases}
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
9^2 \le A;
\\
10^2 > A;
\end{cases}
\Rightarrow 81 \le A < 100
\Rightarrow A_{\max} = 99.
Ответ: 99.
y \in \Z_+
*условие с параметром не трогаем!
Пример I-2
\bigl( (x < 6) \rightarrow (x^2 < A) \bigr) \wedge \bigl( (y^2 \le A) \rightarrow (y \le 6) \bigr)
Сколько существует целых значений , при которых формула ниже тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любых целых и неотрицательных и ?
x
y
A
Решение:
Шаг I. Упрощаем и приводим к виду системы:
\bigl( (x \ge 6) \vee (x^2 < A) \bigr) \wedge \bigl( (y^2 > A) \vee (y \le 6) \bigr)
\begin{cases}
\left[
\begin{array}{l}
x \ge 6; (1)\\
x^2 < A; (2)
\end{array}
\right.
\\
\left[
\begin{array}{l}
y^2 > A; (3)\\
y \le 6; (4)
\end{array}
\right.
\end{cases}
\Leftrightarrow
При выполнении условий (1) и (4) формула тождественно истинна
Шаг II. Рассматриваем случаи, отличные от истинных условий (1) и (4):
\begin{cases}
\begin{cases}
x < 6; \\
x^2 < A ;
\end{cases}
\\
\begin{cases}
y^2 > A; \\
y > 6;
\end{cases}
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\begin{cases}
x \le 5; \\
x^2 < A ;
\end{cases}
\\
\begin{cases}
y^2 > A; \\
y \ge 7;
\end{cases}
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
5^2 < A;
\\
7^2 > A;
\end{cases}
\Rightarrow 25 < A < 49
\Rightarrow |A| = 23.
Ответ: 23.
x \in \Z_+
y \in \Z_+
*условие с параметром не трогаем!
Пример I-3
\bigl( (x \in A) \rightarrow (x^2 \le 81) \bigr) \wedge \bigl( (y^2 \le 36) \rightarrow (y \in A) \bigr)
На числовой прямой задан отрезок . Известно, что формула, описанная ниже, тождественно истинна при любых вещественных и . Какую наибольшую длину может иметь отрезок ?
x
y
A
Решение:
Шаг I. Упрощаем и приводим к виду системы:
\bigl( (x \notin A) \vee (x^2 \le 81) \bigr) \wedge \bigl( (y^2 > 36) \vee (y \in A) \bigr)
\begin{cases}
\left[
\begin{array}{l}
x \notin A;\\
x^2 \le 81;
\end{array}
\right.
\\
\left[
\begin{array}{l}
y^2 > 36; \\
y \in A;
\end{array}
\right.
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
\left[
\begin{array}{l}
x \notin A; (1)\\
x \in [-9; 9]; (2)
\end{array}
\right.
\\
\left[
\begin{array}{l}
y \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty); (3)\\
y \in A; (4)
\end{array}
\right.
\end{cases}
\Leftrightarrow
Шаг II. Рассматриваем случаи, отличные от истинных условий (2) и (3):
Ответ: 18.
A
-9
9
-6
6
x
y
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
\underbrace{\text{\hspace{0.9cm}}}
\underbrace{\text{\hspace{0.7cm}}}
\underbrace{\text{\hspace{0.7cm}}}
A
!A
!A
A \in [-9; 9]
|A| = 18.
\Rightarrow
Пример II-1
F(x) = \bigl( (x \in P) \Leftrightarrow (x \in Q)\bigr) \rightarrow !(x \in A)
На числовой прямой даны два отрезка: и . Указать наибольшую возможную длину промежутка , для которого формула
x
A
P = [5, 30]
Q = [14, 23]
тождественно истинна, при любом значении переменной .
Шаг I. Упрощаем:
F = !\bigl( (x \in P) \Leftrightarrow (x \in Q)\bigr) \vee (x \notin A)
x
5
14
23
30
P
Q
\underbrace{\text{\hspace{1.77cm}}}
!\bigl( (x \in P) \Leftrightarrow (x \in Q)\bigr) = 0
[14;23]
\underbrace{\text{\hspace{0.9cm}}}
\underbrace{\text{\hspace{0.3cm}}}
(- \infty;5)
(30;+\infty)
x \notin A .
Для истинности необходимо
F
Для всех остальных неважно наличие условия
x \in A
Но ищется наибольшая возможная длина , следовательно выбираем наибольший промежуток больше из оставшихся
A
\underbrace{\text{\hspace{1.7cm}}}
\underbrace{\text{\hspace{1.45cm}}}
\mathrm{card}(A_1) =
\bigl|[5;14)\bigr| = 9
\mathrm{card}(A_2) =
\bigl|(23;30]\bigr| = 7
Ответ: 9.
*обозначение мощности множ-ва, аналогично записи
|A_1|
Шаг II. Рассматриваем формулу графически:
Решение:
Пример II-2
\bigl((x \in A ) \rightarrow (x \in P)\bigr) \wedge \bigl((x \in Q) \rightarrow !(x \in A)) = 1.
Элементами множеств являются натуральные числа, причём
Определить наибольшее возможное количество элементов в множестве , таких, чтобы следующее выражение было истинным при любом значении .
A, P, Q
Q = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}.
P = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\},
A
Шаг I. Упрощаем (предварительно заменив условия (для краткости записи):
Пусть , тогда:
Для наглядности выполним обратную замену:
(a \rightarrow p) \cdot (q \rightarrow !a) \Leftrightarrow (!a + p) \cdot (!q + !a) \Leftrightarrow !a + (p \cdot !q).
x \in A \equiv a, x \in P \equiv p, x \in Q \equiv q
(x \notin A) \vee \bigl((x \in P) \wedge (x \notin Q)\bigr).
Шаг II. Рассматриваем элементы множества в совокупности с выражением:
(x \in P) \wedge (x \notin Q) = 0
x \notin A .
Для истинности выр-я необходимо наличие усл-я
Для всех остальных неважно наличие условия
x \in A
Но ищется наибольшая возможная мощность .
A
Выбираем оставшиеся эл-ты
\Rightarrow A = \{2,4,8,10,14,16,20 \}; |A| = 7.
Ответ: 7.
x
Решение:
Задачи
\bigl((x \in P) \rightarrow (x \in A)\bigr) \vee \bigl(!(x \in A) \rightarrow !(x \in Q) \bigr).
A
3. Элементами множеств являются натуральные числа, причём
Определить наименьшее возможное количество элементов в множестве , таких, чтобы следующее выражение было истинным при любом значении .
A, P, Q
Q = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}.
P = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\},
x
2. На числовой прямой задан отрезок . Известно, что формула
тождественно истинна при любом вещественном . Какую наименьшую длину может иметь отрезок ?
A
\bigl( (x \in A) \rightarrow (x^2 \le 100) \bigr) \wedge \bigl( (x^2 \le 64) \rightarrow (x \in A) \bigr)
x
A
1. Сколько существует целых значений числа , при которых формула
тождественно истинна при любых целых неотрицательных и ?
\bigl( (x < A) \rightarrow (x^2 < 100) \bigr) \wedge \bigl( (y^2 \le 64) \rightarrow (y \le A) \bigr)
A
x
y
Пример III-1
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных и ?
A
(y + 2x < A) \vee (x > 15) \vee (y > 30)
x
y
Строим графики каждого дизъюнкта и их области:
Решение:
(y + 2x < A) \vee (x > 15) \vee (y > 30)
y = -2x + A\\
x = 15\\
y = 30
y=30
x=15
x
y
0
y = -2x + A\\
Каким должен быть параметр , чтобы в области выполнялось условие
D_1
D_2
D_3
D_4
A
D_1
y + 2x < A?
y < -2x + A\\
y > -2x + A\\
30
15
(15; 30)
Необходимо, чтобы он проходил через точку (15; 30)
y + 2x < A \Bigr|_{x=15;y=30} \Rightarrow
30 + 2 \cdot 15 < A \Rightarrow A > 60\\
\Rightarrow A_{\min} = 61.
Ответ: 61.
Пример III-2
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных и ?
A
(x + 2y < A) \vee (y > x) \vee (x > 30)
x
y
Ответ: 91.
Пример III-3
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных и ?
A
(2x + 3y < 30) ∨ (x + y ≥ A)
x
y
Ответ: 10.
Пример III-4
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных и ?
A
(3x + 4y \ne 70) ∨ (A > x) ∨ (A > y)
x
y
Ответ: 11.
Пример III-5
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных и ?
A
(2x + 3y \ne 60) ∨ (A ≥ x) ∨ (A ≥ y)
x
y
Ответ: 12.
4. Математическая логика
By vkrysanov320
