Интегральное исчисление
11 класс
vkrysanov320@gmail.com
Новая идея математического анализа
x
y = f(x)
y
O
a
f(a)
A
Нам понятно, что делает функция в точке , но как она выглядит в, если подойти очень- очень близко к точке ?
a
a
Новая идея математического анализа (2)
x
y = \frac{1}{x}+2
y
O
2
Рассмотрим функцию . Она определена для всех , кроме .
Рассмотрим, как изменяются значения этой функции при неограниченном возрастании :
x
x=0
y = \frac{1}{x}+2
x
x
y
1
2
4
8
10
10^2
10^{10}
3
2{,}5
2{,}25
2{,}125
2{,}1
2{,}01
\frac{1}{10^{10}} + 2
Значения данной функции приближаются к двум, когда независимая переменная неограниченно возрастает.
\lim\limits_{x \rightarrow \infty} (\frac{1}{x} + 2) = 2
Данное в математике записывается следующим образом: .
Новая идея математического анализа (3)
x
y = \frac{1}{x}+2
y
O
2
А теперь рассмотрим, как изменяются значения этой функции при приближении зависимой переменной к единице:
x
y
\frac{1}{10^{10}}
\frac{1}{10^2}
\frac{1}{10}
0{,}125
0,{25}
0{,}5
1
10^{10}+2
102
12
10
6
4
3
Значения данной функции приближаются к трем, когда независимая переменная стремится к одному.
x
y
1
2
4
8
10
10^2
10^{10}
3
2{,}5
2{,}25
2{,}125
2{,}1
2{,}01
\frac{1}{10^{10}} + 2
приближение слева:
приближение справа:
\lim\limits_{x \rightarrow 1} (\frac{1}{x} + 2) = 3
Данное в математике записывается следующим образом: .
Еще пример
f(x) = x, \text{ если } x \ne 1
x
y
O
f(x) = x, x \ne 1
1
1
Несмотря на то, что функция не существует в точке ,
x = 1
\lim\limits_{x \rightarrow 1} f(x) = 1:
x
y
1
\frac{10}{11}
\frac{5}{6}
\frac{4}{5}
\frac{3}{4}
\frac{1}{2}
0
-
\frac{10}{11}
\frac{5}{6}
\frac{4}{5}
\frac{3}{4}
\frac{1}{2}
0
По дороге график может вилять туда-сюда, но в конце концов все же приходит к — в том смысле, что попадает в любую сколь угодно малую окружность с центром в и остается там.
(a, L)
(a, L)
Идея пределов при стремлении к конечной величине
\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A
x_0
x_0
O
O
O
x
x
x
y
y
y
x_0
x_0
x_0
A
A
A
f(x_0)
оператор предела
аргумент предела
значение предела
f \left( x \right) \xrightarrow[x \to x_0]{} A
или:
Задача 1. Вычислить пределы
\lim\limits_{x \rightarrow -3} x^2;
\lim\limits_{x \rightarrow 1} (3x-7);
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\pi};
\lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{2}{x};
\lim\limits_{x \rightarrow \pi} \cos x;
\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{|x-1|};
\lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac{1}{(x-2)^3};
\lim\limits_{x \rightarrow -2} \frac{-3}{x+2};
\lim\limits_{x \rightarrow 5} \frac{1}{x-5};
\lim\limits_{x \rightarrow 2} \log_2 x.
А есть ли разница, с какой стороны приближаться?
Конечно есть! И опять эта функция ...
O
x
y
y = \frac{1}{x}
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = ?
x
y
-10
-5
-1
-0{,}125
-0,{25}
-0{,}5
-\frac{1}{10}
-\frac{1}{5}
-1
-2
-4
-8
-100
приближение слева:
-\frac{1}{100}
*стремится к
-\infty.
x
y
10
5
1
0{,}125
0,{25}
0{,}5
\frac{1}{10}
\frac{1}{5}
1
2
4
8
100
приближение слева:
\frac{1}{100}
*стремится к
+\infty.
-\infty.
+\infty.
Левосторонний и правосторонний предел
O
x
y
y = \frac{1}{x}
\lim\limits_{x \rightarrow 0-0} \frac{1}{x} = -\infty
\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} \frac{1}{x} = +\infty
Левосторонний предел:
Правосторонний предел:
Первый замечательный предел
Рассмотрим функцию
y= \frac{\sin x}{x}:
O
y
x
y= \frac{\sin x}{x}
y= \frac{1}{x}
y= \sin x
\pi
2\pi
Точка разрыва
\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} \frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0-0} \frac{\sin x}{x} = 1 \Rightarrow
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1.
Второй замечательный предел
Рассмотрим функцию
y= (1+x)^\frac{1}{x}.
\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} (1+x)^\frac{1}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0-0} (1+x)^\frac{1}{x} = e \Rightarrow
\lim\limits_{x \rightarrow 0} (1+x)^\frac{1}{x} = e.
Точка разрыва при . Но при сближении что слева, что справа к нулю: , .
x=0
\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} (1+x)^\frac{1}{x} = e
\lim\limits_{x \rightarrow 0-0} (1+x)^\frac{1}{x} = e
Свойства пределов (1)
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}(f(x) + g(x)) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) + \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x);
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}(f(x) - g(x)) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) - \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x);
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}(f(x) \cdot g(x)) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) \cdot \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x);
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)}{\lim\limits_{x \rightarrow x_0} g(x)},
\lim\limits_{x \rightarrow x_0} g(x) \ne 0;
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}(k \cdot f(x)) = k \cdot \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x);
1.
2.
3.
4.
5.
где
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x), \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x) \in \mathbb{R}.
Свойства пределов (2)
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) = \infty \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{1}{f(x)} = 0;
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) = 0 \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{1}{f(x)} = \infty;
1.
2.
где
f(x) \ne 0.
А4. Интегральное исчисление
By vkrysanov320
