Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
10 класс
vkrysanov320@gmail.com
version 1.2, 08-11-2023
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости.
M
M'
l_1
l_2
\alpha
\rho(M; \alpha)
\begin{cases}
\\
\\
\\
\\
\end{cases}
Раст-е от точки до плоскости. Замечание (1)
Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.
* Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.
** Расстояние между плоскостями имеет место быть только для параллельных плоскостей.
M_1
\beta
\alpha
Q_1
M_2
Q_2
\rho(\alpha; \beta) = \rho(M_1; \alpha) = M_1Q_1; M_1Q_1 \perp \alpha, M_1Q_1 \perp \beta
\rho(\alpha; \beta) = \rho(M_2; \alpha) = M_2Q_2; M_2Q_2 \perp \alpha, M_2Q_2 \perp \beta
\rho(\alpha; \beta)
\begin{cases}
\\
\\
\\
\\
\end{cases}
\begin{cases}
\\
\\
\\
\\
\end{cases}
=
Раст-ие от точки до плоскости. Замечание (2)
Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.
* B этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.
** Расстояние между прямой и плоскостью имеет место быть только для прямой, параллельной данной плоскости.
a
\alpha
Q_1
\rho(a; \alpha)
\begin{cases}
\\
\\
\\
\end{cases}
M_1
M_2
M_3
\begin{cases}
\\
\\
\\
\end{cases}
\begin{cases}
\\
\\
\\
\end{cases}
Q_2
Q_3
\rho(a; \alpha)
\rho(a; \alpha)
a'
\rho(a; \alpha) = \rho(M_1; \alpha) = M_1Q_1; M_1Q_1 \perp \alpha
\rho(a; \alpha) = \rho(M_2; \alpha) = M_2Q_2; M_2Q_2 \perp \alpha
\rho(a; \alpha) = \rho(M_3; \alpha) = M_3Q_3; M_3Q_3 \perp \alpha
=
=
Раст-ие от точки до плоскости. Замечание (3)
Если две прямые скрещивающиеся, то, через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
* Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
a
b
M
M'
\alpha
\rho(a; b)
\begin{cases}
\\
\\
\\
\\
\end{cases}
\Leftarrow a \parallel \alpha, a ∸ b
Перпендикуляр, наклонная, проекция
M
H
Q
наклонная к плоскости
ортогональная проекция наклонной на плоскость
\alpha
перпендикуляр из точки на плоскость
M
\alpha
\alpha
\alpha
- Наклонной к плоскости называется такая прямая, которая пересекает эту плоскость и не перпендикулярна ей.
- Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Задачи
AA_1
1.
— перпендикуляр к плоскости , и — наклонные. Найти .
\alpha
AB
AC
x, y
2.
3.
4.
5.
6.
Задачи (2)
AA_1
7.
— перпендикуляр к плоскости , и — наклонные. Найти .
\alpha
AB
AC
x, y
8.
9.
10.
11.
12.
Свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника
A
B
C
O
S
Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр описанной около многоугольника окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника.
SO \perp ABC,
O
— центр описанной окруж-ти у
\Rightarrow
S_1
S_2
\rho(S_1; A) = \rho(S_1; B) = \rho(S_3; C)
\rho(S_2; A) = \rho(S_2; B) = \rho(S_2; C)
\rho(O; A) = \rho(O; B) = \rho(O; C)
\begin{cases}
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{cases}
\rho(S; A) = \rho(S; B) = \rho(S; C)
\triangle ABC
Свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника (2)
A
B
C
O
S
Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, описанной около многоугольника.
O
— центр описанной окружности у
\Rightarrow
\begin{cases}
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{cases}
\rho(S; A) = \rho(S; B) = \rho(S; C), SO \perp ABC
\triangle ABC
Свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника
M
N
Q
O
S
Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр вписанной в многоугольник окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от сторон многоугольника.
SO \perp ABC,
O
— центр вписанной окруж-ти в
\Rightarrow
\begin{cases}
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{cases}
\rho(S; AB) = \rho(S; BC) = \rho(S; CA)
\triangle ABC
A
B
B
C
\rho(S_1; AB) = \rho(S_1; BC) = \rho(S_1; CA)
\rho(O; AB) = \rho(O; BC) = \rho(O; CA)
S_1
Свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника (2)
M
N
Q
O
S
Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от сторон многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, вписанной в многоугольник.
O
— центр вписанной окруж-ти в
\Rightarrow
\begin{cases}
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{cases}
\rho(S; AB) = \rho(S; BC) = \rho(S; CA), SO \perp ABC
\triangle ABC
A
B
B
C
Задачи
1. Расстояние от точки до вершин правильного треугольника равно 4. Найти расстояние от точки до плоскости , если
2. Расстояние от точки до каждой из сторон правильного треугольника равно 4. Найдите расстояние от точки до плоскости треугольника, если
M
ABC
M
ABC
AB = 6.
S
ABC
S
AB = 6.
Теорема о трёх перпендикулярах
Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
A
A'
B
\alpha
l
Обратная теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
AA' \perp \alpha, l \subset \alpha
l \perp BA'
\Rightarrow l \perp BA
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
AA' \perp \alpha, l \subset \alpha
AA' \perp \alpha, l \subset \alpha
l \perp BA
\Rightarrow l \perp BA'
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
AA' \perp \alpha, l \subset \alpha
Задачи
1.
— ромб
ABCD
MO \perp BD
т.д.
2.
AB = AC
т.д.
3.
— параллелограмм
ABCD
ABCD
т.д.
— прямоугольник
3.
4.
т.н.
MB
5.
т.н.
\rho(M; AC)
a \perp ABC
a \perp ABC
a \perp ABC
a \perp ABC
a \perp ABC
Задачи (2)
6.
a \perp ABC
Построить перпендикуляры из точки к прямым и
M
AC
BC.
7.
\triangle ABC
— правильный
Построить перпендикуляры из точки к прямым и
M
AC
BC.
8.
Построить перпендикуляр из точки к прямой
M
BC.
a \perp ABC
a \perp ABC
Задачи (3)
9.
a \perp ABC
т.н.
\rho(M; AC), \rho(M; BC)
10.
a \perp ABC
\triangle ABC
— правильный
т.н.
\rho(M; AB), \rho(M; BD)
11.
— параллелограмм
ABCD
т.н.
\rho(M; AD), \rho(M; DC)
a \perp ABC
Задачи (4)
12.
13.
a \perp ABC
— квадрат
ABCD
т.н.
MK
a \perp ABC
MD = 13
т.н.
MC
Задачи (5)
14.
15.
a \perp ABC
AB = 14
т.н.
MD
\triangle ABC
— правильный
O
— центр окружности,
\triangle ABC
вписанный в
AB = 12, OM = 4
т.н.
\rho(M; BC)
Угол между прямой и плоскостью
A
A'
B
\varphi
l
l'
\alpha
\angle(l; \alpha) = \angle(AB; A'B) = \angle ABA' = \varphi
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
* Угол между плоскостью и параллельной ей прямой равен .
** Угол между плоскостью и перпендикулярной ей прямой равен .
0^{\circ}
AA' \perp \alpha,
\varphi
BA'
— проекция на плоскость
BA
\alpha.
т.к.
90^{\circ}
Задачи
2. В кубе найти угол между прямой и плоскостью .
A...D_1
A_1B
BCC_1
1. В правильном тетраэдре найти угол между боковым ребром и плоскостью основания.
3. В кубе найти угол между прямой и плоскостью .
A...D_1
AB_1
ABC_1
4. В кубе найти угол между прямой и плоскостью .
A...D_1
AB_1
ACC_1
5. В кубе найти угол между прямой и плоскостью .
A...D_1
DD_1
A_1BC_1
6. В кубе найти угол между прямой и плоскостью .
A...D_1
A_1C
BCC_1
Задачи (2)
7. В правильном треугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью .
ABCA_1B_1C_1
AA_1
AB_1C_1
8. В правильном треугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью .
ABCA_1B_1C_1
BC_1
ACC_1
9. В правильном треугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью .
ABCA_1B_1C_1
AC
AB_1C_1
10. В правильном треугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью .
ABCA_1B_1C_1
CC_1
ACB_1
Задачи (3)
11. В правильном шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью .
A...F_1
AB_1
ABD_1
12. В правильном шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью .
A...F_1
AA_1
BD_1F
13. В правильном тетраэдре , все ребра которого равны 1, найти угол между апофемой и плоскостью .
MD
ABC
MABC
14. В правильном тетраэдре , все ребра которого равны 1, точка — середина . Найти угол между прямой и плоскостью
D
BM
MABC
AD
ABC.
Задачи (на дом)
16. В правильном треугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью .
ABCA_1B_1C_1
ACC_1
BC
15. В кубе найти угол между прямой и плоскостью .
A...D_1
AC
BCD_1
17. В правильном шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью .
A...F_1
BB_1
ABD_1
18. В правильном четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью , где — середина .
MABCD
AE
MBC
E
MD
Двугранный угол. Угол между плоскостями.
Перпендикулярность плоскостей
Двугранный угол
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей , не принадлежащими одной плоскости.
a
a
a
\alpha
\alpha
\beta
Величина двугранного угла
Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.
180^{\circ}
Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку от до .
0^{\circ}
\varphi
\alpha
\beta
\Rightarrow \angle AOB = \angle \varphi.
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
\alpha \cap \beta = l, O \in l
l
AO \perp l, BO \perp l
Виды двугранных углов:
острый
прямой
тупой
Величина двугранного угла (2)
\alpha
\beta
\beta
l_1
l_2
\varphi_1
\varphi_2
Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла).
\varphi_4
\varphi_3
\varphi_1 = \varphi_3
\varphi_2 = \varphi_4
тупые:
острые:
* или же прямые, если плоскости перпендикулярны
Теорема: Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.
Величина двугранного угла (3)
Теорема: Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.
\Rightarrow \angle A_1O_1B_1 = \angle \varphi_1.
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
\alpha \cap \beta = l, O_1 \in l
A_1O_1 \perp l, B_1O_1 \perp l
l
A_1
A_2
A_n
B_1
B_2
B_n
O_1
O_2
O_n
\alpha
\beta
\Rightarrow \angle A_2O_2B_2 = \angle \varphi_2.
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
\alpha \cap \beta = l, O_2 \in l
A_2O_2 \perp l, B_2O_2 \perp l
\Rightarrow \angle A_nO_nB_n = \angle \varphi_n.
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
\alpha \cap \beta = l, O_n \in l
A_nO_n \perp l, B_nO_n \perp l
...
\varphi_1
\varphi_2
\varphi_n
...
...
...
...
\varphi_1 = \varphi_2 = ... = \varphi_n.
Угол между плоскостями
Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.
\alpha
\beta
\beta
A
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
\alpha \cap \beta = l, O \in l
AO \perp l, BO \perp l
\Rightarrow \angle(\alpha; \beta) = \angle(AO; BO) =
= \angle AOB = \angle \varphi.
B
l
O
\varphi
\varphi
* или же вертикальный ему угол.
90^{\circ}
Величина угла между плоскостями, измеренная в градусах, принадлежит промежутку от до .
0^{\circ}
Нахождение угла между плоскостями
Метод перпендикуляров к плоскостям *
Метод перпендикуляров к линии пересечения плоскостей
\varphi
l
A
O
B
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
\alpha \cap \beta = l, O \in l
AO \perp l, BO \perp l
\Rightarrow \angle(\alpha; \beta) =
= \angle(AO; BO) = \angle AOB = \angle \varphi.
*полагается острый угол (или прямой)
Угол между плоскостями вычисляется как угол между перпендикулярами к данным плоскостям.
Угол между плоскостями вычисляется как угол между прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения.
\varphi
O
A
B
AO \perp \alpha
OB \perp \beta
\alpha \cap \beta = l
\begin{cases}
\\
\\
\\
\end{cases}
\Rightarrow \angle(\alpha; \beta) = \angle(AO; BO) =
= 180^{\circ} - \angle AOB = \angle \varphi.
l
\alpha
\beta
\alpha
\beta
в данном случае тупой
Перпендикулярность плоскостей
Две плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен .
90^{\circ}
Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Следствие: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
\gamma \perp a \Rightarrow \gamma \perp \alpha, \gamma \perp \beta.
Задачи
1.
\alpha \cap \beta = a
\angle(\alpha; \beta)
Известно, что . Для каждой задачи требуется найти или выразить его через любую тригонометрическую функцию:
2.
\angle BAC = 90^{\circ}; AO = 6
3.
AC = 2\sqrt{7}
4.
AB = 11; A_1B_1=10
Задачи (2)
5.
CD \perp ADB; \angle ADB = 90^{\circ}
\angle(ACB; ADB)
т.н.
(или выразить угол через любую тригонометрическую функцию)
6.
ABCD -
квадрат;
MO \perp ABC
\angle(MDC; ABC)
т.н.
(или выразить угол через любую тригонометрическую функцию)
Задачи (3)
7.
AMB \perp MCB
т.д.
8.
MB \perp ABC
AMC \perp DMB
т.д.
ABCD -
прямоугольник;
10.
ABCD -
квадрат
AMC \perp ABC
т.д. а)
AMC \perp BMD
б)
т.д. а)
т.д.
AMD \perp ABC
9.
Задачи (4)
11.
\rho(BC; ADF)
т.н.
ABCD -
прямоугольник;
BCFE -
прямоугольник;
\alpha \perp \beta
12.
A \in \alpha; B \in \beta; A_1B1 = 9
AB
т.н.
13. В кубе найти
ABCDA_1B_1C_1D_1
\angle (AB_1D_1; ACD_1).
14. Найдите угол между двумя гранями правильного тетраэдра.
Задачи (5)
15. В кубе найти угол между плоскостями и
A...D_1
ABC
ACC_1.
16. В кубе найти угол между плоскостями и .
A...D_1
ABC_1
ABC
17. В кубе найти угол между плоскостями и .
A...D_1
ABC
ACD_1
18. В кубе найти угол между плоскостями и .
A...D_1
ABC
AB_1D_1
Задачи (6)
19. В кубе найти угол между плоскостями и
A...D_1
ABC_1
AB_1C.
20. В кубе найти угол между плоскостями и .
A...D_1
AB_1D_1
BA_1C_1
21. В правильной треугольной призме все ребра которой равны , найти угол между плоскостями и .
ABCA_1B_1C_1,
1
AB_1C
A_1BC_1
Задачи (7)
22. В правильной треугольной призме все ребра которой равны , найти угол между плоскостями и .
ABCA_1B_1C_1,
1
ACC_1
BCC_1
23. В правильной треугольной призме все ребра которой равны , найти угол между плоскостями и .
ABCA_1B_1C_1,
1
ACC_1
ABC
24. В правильной треугольной призме все ребра которой равны , найти угол между плоскостями и .
ABCA_1B_1C_1,
1
BCA_1
ABC
Задачи (8)
25. В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны , найти угол между плоскостями и .
A...F_1,
1
BFF_1
BCC_1
26. В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны , найти угол между плоскостями и .
A...F_1,
1
ACC_1
AEE_1
27. В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны , найти угол между плоскостями и .
A...F_1,
1
ABC
BED_1
Задачи (9)
28. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра которой равны , найти угол между плоскостями и .
MABCD,
1
MAD
MBC
29. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра которой равны , найти угол между плоскостями и .
MABCD,
1
MAD
AMB
30. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра которой равны , найти угол между плоскостями и .
MABCD,
1
ABC
BDE
Г4. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
By vkrysanov320
