資料結構

Data structure

資料結構

電腦中儲存、管理、組織資料的方式

不同的組織結構

在適當的時機使用可以加快算法的效率

資料結構

例如：

BFS的時候使用queue

Dijkstra 演算法使用 min heap

其實你們已經很會用了

Set Map 陣列

INDEX

前綴和
差分
樹狀數組
基礎線段樹
懶標線段樹

前綴和

前綴和(Prefix Sum)

今天有一個陣列

求l到r的和

ex l=1 r=4->sum=20+30+40+50=140

前綴和(Prefix Sum)

CSES-Static Range Sum Queries

從左到右 l到r掃過去加起來?

TLE

O(nq)

用前綴和!

前綴和(Prefix Sum)

觀察一下會發現

從l加到r可以這樣算

從1加到r-從1加到l-1

那要怎麼快速處理?

前綴和(Prefix Sum)

我們定義一個陣列pre

算出來整個陣列後

求區間和變得超簡單

sum(l,r)=pre_r-pre_{l-1}

單次詢問時間變成:

O(1)

前綴和(Prefix Sum)

要怎麼實作?

pre_i=pre_{i-1}+a_i

預處理複雜度:

總時間複雜度:

O(n)

O(n+q)

前綴和(Prefix Sum)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 200005

int n,q,arr[maxn],pre[maxn];

main(){
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>arr[i];
    for(int i=1;i<=n;++i) pre[i] = pre[i-1]+arr[i];

    for(int i=1;i<=q;++i){
        int l,r; cin>>l>>r;
        cout<<pre[r]-pre[l-1]<<endl;
    }
}

範例練習題

前綴和(Prefix Sum)

前面應該只是開胃菜

如果陣列變二維的話呢?

前綴和(Prefix Sum)

跟一維的有點像但定義有點不同

我們定義為包含這格左上全部加起來

pre_{ij}

(i,j)

前綴和(Prefix Sum)

那要怎麼求出矩形內的和呢?

求橘色矩形中的和

A

-C

-B

+D

前綴和(Prefix Sum)

模板題

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf 1e18
#define maxn 505

int arr[maxn][maxn],n,m,q,pre[maxn][maxn];

int query(int a,int b,int x,int y){
    return pre[x][y] + pre[a-1][b-1] - pre[x][b-1] - pre[a-1][y];
}
main(){
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=m;++j) cin>>arr[i][j];
    for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=m;++j)
        pre[i][j] = pre[i-1][j]+pre[i][j-1]-pre[i-1][j-1]+arr[i][j];
    while(q--){
        int a,b,x,y; cin>>a>>b>>x>>y;
        a++,b++,x++,y++;
        cout<<query(a,b,x,y)<<endl;
    }
}

差分

差分(Difference)

今天有一個陣列

要將l~r都加上x

直接爆

從l掃到r

每格+=x

C SES-Restaurant Customers

O(nq)

->TLE

差分

我們定義一個新的陣列

支援快速修改區間

定義:

D_i=a_i-a_{i-1}

也就是紀錄相鄰兩項的差

簡單來說差分就是相鄰兩元素的差值

差分

我們可以發現

a_i=\sum_{j=1}^{i} D_j

可以想成第一項加上每一次的變化量

就可以還原陣列

差分

接著如果要修改整的區間

我們會發現超簡單

當我們在還原的時候

就可以發現

區間[l,r]都被加x了

D_l+x\\ D_r+1-x

差分

那把差分陣列用前綴和存就會發現變成原陣列了

總時間複雜度:

O(q+n)

a_i=\sum_{j=1}^{i} D_j

差分

範例code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 200005

int n,q,arr[maxn],D[maxn],pre[maxn];

main(){
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>arr[i];
    for(int i=1;i<=n;++i) D[i] = arr[i]-arr[i-1];
    for(int i=1;i<=q;++i){
        int l,r,x; cin>>l>>r>>x;
        D[l] += x;
        D[r+1] -= x;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) pre[i] = pre[i-1]+D[i];
    for(int i=1;i<=n;++i) cout<<pre[i]<<' ';
    cout<<endl;
}

差分

C SES-Restaurant Customers

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,as,t;
vector<pair<int,int>> pv;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;++i){
        int a,b; cin>>a>>b;
        pv.push_back({a,1});
        pv.push_back({b+1,-1});
    }
    sort(pv.begin(),pv.end());
    for(auto it:pv){
        t += it.second;
        as = max(as,t);
    }
    cout<<as;
    return 0;
}

樹狀樹組

樹狀樹組(BIT)

當我們發現前綴和序列不能做修改

每次改都是O(n)

於是就要用到樹狀樹組!

(二元索引樹)

(Fenwick tree)

(Binary Index Tree)

可以做到

單點修改，區間查詢

區間修改，單點查詢(套差分)

lowbit

lowbit(x) 代表 x 的二進位表示法中

最小為 1 的位數所代表的2的冪次

ex:

lowbit(12)=4 ->12的二進位=1100

lowbit(16)=16 ->16的二進位=10000

lowbit

如何快速計算 lowbit ?

非常簡單，lowbit(x) = x & (-x)

為什麼 ?

x = 00010100

-x = 11101011 + 00000001

= 11101100

x&(-x) = 00000100

lowbit

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

Code

超簡單

BIT

查詢前綴和

15 -> 1111 -> lowbit = 1

14 -> 1110 -> lowbit = 2

12 -> 1100 -> lowbit = 4

8 -> 1000 -> lowbit = 8

前15項的和:

bit_{15}+bit_{14}+bit_{12}+bit_{8}

查詢前綴和

11 -> 1011 -> lowbit = 1

10 -> 1010 -> lowbit = 2

8 -> 1000 -> lowbit = 8

前11項的和:

bit_{11}+bit_{10}+bit_{8}

查詢前綴和

int query(int x){
    int cnt=0;
    while (x > 0){
        cnt += bit[x];
        x -= lowbit(x);
    }

    return cnt;
}

Code

最小節點:1(不會<1)

單點修改

9 -> 01001 -> lowbit = 1

10 -> 01010 -> lowbit = 2

12 -> 01100 -> lowbit = 4

16 -> 10000 -> lowbit = 16

若要加值 9

則我們要將 bit 的 9、10、12、16

全部都加值

單點修改

void modify(int x, int v){
    while (x <= n){
        bit[x] += v;
        x += lowbit(x);
    }
}

Code

最大節點:n

總結

可以發現

單點修改、查詢前綴和會用到的bit位置數量

都是O(log n)

建構BIT

把每一個元素當成在修改

O(n log n)

總結

超好寫

比下禮拜要教的線段樹好寫多了

如果要支援

區間改值、單點查詢也很簡單

只需要用 bit 的原本功能 (單點改、查前綴和)

再套上差分就可以做到

模板

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int query(int x){
    int cnt=0;
    while (x > 0){
        cnt += bit[x];
        x -= lowbit(x);
    }

    return cnt;
}

void modify(int x, int v){
    while (x <= n){
        bit[x] += v;
        x += lowbit(x);
    }
}

題目

zj-d799

CSES-Dynamic Range Sum Queries

CODE

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define maxn 200005
#define int long long
using namespace std;

int n, q, bit[maxn];

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int query(int x){
    int cnt=0;
    while (x > 0){
        cnt += bit[x];
        x -= lowbit(x);
    }

    return cnt;
}

void modify(int x, int v){
    while (x <= n){
        bit[x] += v;
        x += lowbit(x);
    }
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);

    cin >> n >> q;
    for (int i=1; i<=n; ++i){
        int k; cin >> k;
        modify(i, k);
    }
    for (int i=1; i<=q; ++i){
        int a, b, c; cin >> a >> b >> c;
        if (a==1){
            modify(b, c-(query(b)-query(b-1)));
        }else{
            cout << query(c) - query(b-1) << endl;
        }
    }
}

基礎線段樹

線段樹

Segment Tree

處理區間問題的強大工具

線段樹是什麼?可以吃嗎?

支援各種區間查詢

能在內做出各種區間操作

O(log\ n)

線段樹

核心概念就是將資料分段

再將不同片段合起來求出答案

以區間和為例

線段樹

每一個父節點都是由兩個子節點推得

形成一個二元樹

有分兩種寫法:

迭代式線段樹

遞迴式線段樹

這邊教遞迴式

個人覺得比較好理解

也比較好寫(?

線段樹

用這樣的方式比較好看

每一個節點都對到一個區間

假如我們今天要查詢1~6區間

線段樹

陣列格子裡面放的都是已經算完的答案

所以可以大大節省時間

O(log\ n)

每次查詢複雜度:

線段樹

設定每個點的父節點tree[k]

左子節點:tree[k*2] 右子節點:tree[k*2+1]

實作

一顆基本的線段樹需要:

```
build() 建構
```
```
query() 區間查詢
```
```
modify() 單點修改值
```

實作

前情提要

接下來的示範都會用1-based

比較好寫有時候速度也比較快

大小為n的陣列arr[n]

開的tree陣列大小是4*n

原陣列arr[n] 線段樹陣列tree[n]

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200005
using namespace std;
int arr[maxn],tree[4*maxn],n;

Build

inline void pull(int ls,int rs,int x){
    tree[x]=tree[ls]+tree[rs];
}
void build(int l,int r,int x){
    if(l==r){
        tree[x]=arr[r];
        return;
    }
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    build(l,mid,ls);
    build(mid+1,r,rs);
    pull(ls,rs,x);
}

pull:將兩個子節點的值做運算

推算父節點

到葉節點時 tree[x]=arr[r]=arr[l]

遞迴往下做兩個子節點的值

ls:左子節點 rs:右

兩子節點遞迴完再pull

Query

int query(int a,int b,int l,int r,int x){
    if(l>=a && r<=b)return tree[x];
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    int res=0;
    if(mid>=a)res+=query(a,b,l,mid,ls);
    if(mid+1<=b)res+=query(a,b,mid+1,r,rs);
    return res;
}

當現在tree[x]的範圍都包含在查詢區間中

直接return回傳

目標左界有包含在左子節點範圍

右界右有包含在右子節點範圍

Modify

void modify(int a,int l,int r,int x,int v){
    if(l==r){
        tree[x]=v;
        return;
    }
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    if(mid>=a)modify(a,l,mid,ls,v);
    else modify(a,mid+1,r,rs,v);
    pull(ls,rs,x);
}

到達要修改的葉節點

->直接修改 return

往下找

要先判斷往左還是右走

(縮小範圍)

inline void pull(int ls,int rs,int x){
    tree[x]=tree[ls]+tree[rs];
}
void build(int l,int r,int x){
    if(l==r){
        tree[x]=arr[r];
        return;
    }
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    build(l,mid,ls);
    build(mid+1,r,rs);
    pull(ls,rs,x);
}
int query(int a,int b,int l,int r,int x){
    if(l>=a && r<=b)return tree[x];
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    int res=0;
    if(mid>=a)res+=query(a,b,l,mid,ls);
    if(mid+1<=b)res+=query(a,b,mid+1,r,rs);
    return res;
}
void modify(int a,int l,int r,int x,int v){
    if(l==r){
        tree[x]=v;
        return;
    }
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    if(mid>=a)modify(a,l,mid,ls,v);
    else modify(a,mid+1,r,rs,v);
    pull(ls,rs,x);
}

CODE

CSES-Dynamic Range Sum Queries

CSES-Dynamic Range Minimum Queries

CSES-Range Xor Queries

CSES-Dynamic Range Sum Queries

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200005
#define int long long
using namespace std;
int n,arr[maxn],tree[4*maxn];
inline void pull(int ls,int rs,int x){
    tree[x]=tree[ls]+tree[rs];
}
void build(int l,int r,int x){
    if(l==r){
        tree[x]=arr[r];
        return;
    }
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    build(l,mid,ls);
    build(mid+1,r,rs);
    pull(ls,rs,x);
}
int query(int a,int b,int l,int r,int x){
    if(l>=a && r<=b)return tree[x];
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    int res=0;
    if(mid>=a)res+=query(a,b,l,mid,ls);
    if(mid+1<=b)res+=query(a,b,mid+1,r,rs);
    return res;
}
void modify(int a,int l,int r,int x,int v){
    if(l==r){
        tree[x]=v;
        return;
    }
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    if(mid>=a)modify(a,l,mid,ls,v);
    else modify(a,mid+1,r,rs,v);
    pull(ls,rs,x);
}
signed main(){
    int q;
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>arr[i];
    }
    build(1,n,1);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int t;cin>>t;
        int a,b;cin>>a>>b;
        if(t==1){
            modify(a,1,n,1,b);
        }
        else{
            cout<<query(a,b,1,n,1)<<'\n';
        }
    }
}

CSES-Dynamic Range Minimum Queries

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200005
#define int long long
using namespace std;
int n,arr[maxn],tree[4*maxn];
inline void pull(int ls,int rs,int x){
    tree[x]=min(tree[ls],tree[rs]);
}
void build(int l,int r,int x){
    if(l==r){
        tree[x]=arr[r];
        return;
    }
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    build(l,mid,ls);
    build(mid+1,r,rs);
    pull(ls,rs,x);
}
int query(int a,int b,int l,int r,int x){
    if(l>=a && r<=b)return tree[x];
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    int res=1e9;
    if(mid>=a)res=min(res,query(a,b,l,mid,ls));
    if(mid+1<=b)res=min(res,query(a,b,mid+1,r,rs));
    return res;
}
void modify(int a,int l,int r,int x,int v){
    if(l==r){
        tree[x]=v;
        return;
    }
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    if(mid>=a)modify(a,l,mid,ls,v);
    else modify(a,mid+1,r,rs,v);
    pull(ls,rs,x);
}
signed main(){
    int q;
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>arr[i];
    }
    build(1,n,1);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int t;cin>>t;
        int a,b;cin>>a>>b;
        if(t==1){
            modify(a,1,n,1,b);
        }
        else{
            cout<<query(a,b,1,n,1)<<'\n';
        }
    }
}

懶標線段樹

修改一個點:

O(log\ n)

區間修改?

最糟:

O(n\ log\ n)

TLE

區間改值

懶人標記

修改區間[1,5]需要修改哪些值

區間改值

在節點2紀錄一個標記:tag

等需要子節點資訊的時候

再往下推

複雜度會降回:

O(log\ n)

實作

pull+build

inline void pull(int l,int r,int x){
    tree[x]=tree[l]+tree[r];
}
void build(int l,int r,int x){
    if(l==r){
        tree[x]=arr[r];
        return;
    }
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    build(l,mid,ls);
    build(mid+1,r,rs);
    pull(ls,rs,x);
}

跟基礎線段樹一模一樣

實作

void mark(int l,int r,int x,int v){
    tree[x]+=(r-l+1)*v;
    tag[x]+=v;
}
void push(int l,int r,int x){
    if(tag[x]){
        int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
        mark(l,mid,ls,tag[x]);
        mark(mid+1,r,rs,tag[x]);
        tag[x]=0;
    }
}

mark+push

mark會把這一格改值他下面的子樹都是未改的

push向下推把tag推下去後清空

實作

void modify(int a,int b,int l,int r,int x,int v){
    if(l>=a && r<=b){
        mark(l,r,x,v);
        return;
    }
    push(l,r,x);
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    if(mid>=a)modify(a,b,l,mid,ls,v);
    if(mid+1<=b)modify(a,b,mid+1,r,rs,v);
    pull(ls,rs,x);
}

modify

修改的時候順便push

修改完再pull

實作

int query(int a,int b,int l,int r,int x){
    if(l>=a && r<=b)return tree[x];
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    int res=0;
    push(l,r,x);
    if(mid>=a)res+=query(a,b,l,mid,ls);
    if(mid+1<=b)res+=query(a,b,mid+1,r,rs);
    return res;
}

query

查值前push

其他一模一樣

CODE

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200005
#define int long long
using namespace std;
int n,q,arr[maxn],tag[4*maxn],tree[4*maxn];
inline void pull(int l,int r,int x){
    tree[x]=tree[l]+tree[r];
}
void build(int l,int r,int x){
    if(l==r){
        tree[x]=arr[r];
        return;
    }
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    build(l,mid,ls);
    build(mid+1,r,rs);
    pull(ls,rs,x);
}
void mark(int l,int r,int x,int v){
    tree[x]+=(r-l+1)*v;
    tag[x]+=v;
}
void push(int l,int r,int x){
    if(tag[x]){
        int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
        mark(l,mid,ls,tag[x]);
        mark(mid+1,r,rs,tag[x]);
        tag[x]=0;
    }
}

題目

zj d799

CSES-Range Update Queries

CSES-Range Updates and Sums

zj d799

模板題

要注意範圍->500000

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 500005
#define int long long
using namespace std;
int n,q,arr[maxn],tag[4*maxn],tree[4*maxn];
inline void pull(int l,int r,int x){
    tree[x]=tree[l]+tree[r];
}
void build(int l,int r,int x){
    if(l==r){
        tree[x]=arr[r];
        return;
    }
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    build(l,mid,ls);
    build(mid+1,r,rs);
    pull(ls,rs,x);
}
void mark(int l,int r,int x,int v){
    tree[x]+=(r-l+1)*v;
    tag[x]+=v;
}
void push(int l,int r,int x){
    if(tag[x]){
        int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
        mark(l,mid,ls,tag[x]);
        mark(mid+1,r,rs,tag[x]);
        tag[x]=0;
    }
}

void modify(int a,int b,int l,int r,int x,int v){
    if(l>=a && r<=b){
        mark(l,r,x,v);
        return;
    }
    push(l,r,x);
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    if(mid>=a)modify(a,b,l,mid,ls,v);
    if(mid+1<=b)modify(a,b,mid+1,r,rs,v);
    pull(ls,rs,x);
}
int query(int a,int b,int l,int r,int x){
    if(l>=a && r<=b)return tree[x];
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    int res=0;
    push(l,r,x);
    if(mid>=a)res+=query(a,b,l,mid,ls);
    if(mid+1<=b)res+=query(a,b,mid+1,r,rs);
    return res;
}
signed main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>arr[i];
    build(1,n,1);
    cin>>q;
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int t;cin>>t;
        if(t==1){
            int a,b,v;cin>>a>>b>>v;
            modify(a,b,1,n,1,v);
        }
        else{
            int a,b;cin>>a>>b;
            cout<<query(a,b,1,n,1)<<'\n';
        }
    }
}

CSES-Range Update Queries

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200005
#define int long long
using namespace std;
int n,q,arr[maxn],tag[4*maxn],tree[4*maxn];
inline void pull(int l,int r,int x){
    tree[x]=tree[l]+tree[r];
}
void build(int l,int r,int x){
    if(l==r){
        tree[x]=arr[r];
        return;
    }
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    build(l,mid,ls);
    build(mid+1,r,rs);
    pull(ls,rs,x);
}
void mark(int l,int r,int x,int v){
    tree[x]+=(r-l+1)*v;
    tag[x]+=v;
}
void push(int l,int r,int x){
    if(tag[x]){
        int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
        mark(l,mid,ls,tag[x]);
        mark(mid+1,r,rs,tag[x]);
        tag[x]=0;
    }
}

void modify(int a,int b,int l,int r,int x,int v){
    if(l>=a && r<=b){
        mark(l,r,x,v);
        return;
    }
    push(l,r,x);
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    if(mid>=a)modify(a,b,l,mid,ls,v);
    if(mid+1<=b)modify(a,b,mid+1,r,rs,v);
    pull(ls,rs,x);
}
int query(int a,int l,int r,int x){
    if(l==r && r==a)return tree[x];
    push(l,r,x);
    int ls=x*2,rs=ls+1,mid=(l+r)/2;
    if(mid>=a)return query(a,l,mid,ls);
    else return query(a,mid+1,r,rs);
}
signed main(){
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>arr[i];
    build(1,n,1);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int t;cin>>t;
        if(t==1){
            int a,b,v;cin>>a>>b>>v;
            modify(a,b,1,n,1,v);
        }
        else{
            int a,b;cin>>a;
            cout<<query(a,1,n,1)<<'\n';
        }
    }
}

單點查詢

資料結構

資料結構

資料結構

INDEX

前綴和

前綴和(Prefix Sum)

前綴和(Prefix Sum)

前綴和(Prefix Sum)

前綴和(Prefix Sum)

前綴和(Prefix Sum)

前綴和(Prefix Sum)

前綴和(Prefix Sum)

前綴和(Prefix Sum)

前綴和(Prefix Sum)

前綴和(Prefix Sum)

前綴和(Prefix Sum)

前綴和(Prefix Sum)

差分

差分(Difference)

差分

差分

差分

差分

差分

差分

樹狀樹組

樹狀樹組(BIT)

lowbit

lowbit

lowbit

BIT

查詢前綴和

查詢前綴和

查詢前綴和

單點修改

單點修改

單點修改

總結

總結

超好寫

模板

題目

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基礎線段樹

線段樹

線段樹

線段樹

線段樹

線段樹

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實作

實作

Build

Query

Modify

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懶標線段樹

懶標線段樹

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實作

實作

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題目

zj d799

CSES-Range Update Queries

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