高斯消去+一般圖匹配

矩陣乘法?
行列式?

行列式(det)

\(det(A) = \sum\limits_{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod\limits_{i=1}^{n}A_{i,\sigma (i)}\)

其中\(\operatorname{sgn}( \sigma) = (-1)^{N(\sigma)}\)
\(N(\sigma)\)是逆序數對數或將該排列排好所需的對換數
(兩者奇偶性相同)

降階

高斯消去

示範
*把一行乘k加到另一行行列式值不變

code

void Gauss(double A[509][509],ll N)
{
    ll i,j,k,r;
    for(i = 0;i < N;i++)
    {
        r = i;
        for(j = i+1;j < N;j++) if(abs(A[j][i]) > abs(A[r][i])) r = j;
        if(r != i)
        {
            for(j = 0;j < N;j++)
            {
                swap(A[r][j],A[i][j]);
            }
        }
        for(k = i+1;k < N;k++)
        {
            double f = A[k][i]/A[i][i];
            for(j = i;j < N;j++) A[k][j] -= f*A[i][j];
        }
    }
}

複雜度?

用處

1.求行列式

- \(det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A 可逆 \)

2.解(多元)一次方程組

3. 求秩(rank)
- 行秩 = 列秩

- \(rank(A) = n \Leftrightarrow det(A) \neq 0 \)

4.求反矩陣

一般圖匹配

縮花><

我不會QQ

可以用線性代數?!

Tutte Matrix

$$T(G)_{i,j} = \left\{\begin{matrix} 0 & if(v_i,v_j)\notin E(G)\\ x_{i,j} & if(v_i,v_j)\in E(G) \textrm{ and }i<j\\ -x_{i,j} & if(v_i,v_j)\in E(G) \textrm{ and }i>j\end{matrix}\right.$$

完美匹配

Tutte 定理(1947)

\(G\)有完美匹配\(\Leftrightarrow det(T(G)) = 0 \)

Try Try see.

證明

環覆蓋

用一堆有向環去覆蓋一個無向圖,使得每個頂點恰在一個環中。

可以用一個排列\(p\)表示,其中\(i \neq p_i\),且\((i,p_i) \in E(G)\)

3 4 1 2

證明

\(det(T) = \sum\limits_{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}T_{i,\sigma (i)}\)

 考慮非零項

有機?

無機?

\(det(T(G)) \neq 0\)\(\Leftrightarrow G有完美匹配 \)

奇環覆蓋不會對det有貢獻

\(G\)有完美匹配\(\Leftrightarrow G有無奇環覆蓋 \)

複雜度?

不知道,但指數以上

Schwartz–Zippel lemma(之類的)

若\(P\)是一個有\(n\)個變數、最大度數為\(d\)的多項式,若從集合\(S\)中隨機取\((r_1,r_2,\cdots,r_n)\),則

\(O(N^3)\)

求出來

等等會用到的定義

\(A^{(S_1,S_2)}代表刪掉S_1中的行和S_2中的列所得到的新矩陣\)

\(A_{(S_1,S_2)}代表留下S_1中的行和S_2中的列所得到的新矩陣\)

斜對稱矩陣

\(一矩陣S,若-S = S^T,則稱S為斜對稱矩陣\)

Tutte Matrix就是

\(T^{-1}_{i,j} \neq 0 \Leftrightarrow G - (v_i,v_j) 有完美匹配 \)

\(A^{-1} = adj(A)/det(A) \)

\((adj(A))_{i,j} = (-1)^{i+j}det(A^{j,i}) \)

A:任意可逆矩陣

S : 斜對稱矩陣

T: Tutte Matrix

\(det(S^{i,j}) \neq 0\Leftrightarrow det(S^{(i,j),(i,j)}) \neq 0 (S可逆)\)

\(rank(S) 是偶數\)

\(S是 n \times n 且 n是奇數\Rightarrow det(S) = 0\)

\(可以找到S'=S_{(i_1,i_2...),(i_1,i_2...)},使det(S') \neq 0且 rank(S') = rank(S)\)

\(O(N^4)\)

每次只是刪兩行兩列,一定要重算反矩陣嗎?

若\(A = \begin{bmatrix} a& v^T \\ u & B \end{bmatrix},A^{-1} = \begin{bmatrix} \hat {a}& \hat v^T \\ \hat u & \hat B \end{bmatrix}\)

\(B^{-1} = \hat{B} - \hat{u}\hat{v}^T/\hat {a}\)

Finally

\(O(N^3)\)

感覺頗沒用?

最大匹配

Generalized Tutte Theorem

一張圖最大匹配的大小是\(rank(T(G))/2\)

\(可以找到S'=S_{(i_1,i_2...),(i_1,i_2...)},使det(S') \neq 0且 rank(S') = rank(S)\)

找出來

轉換

加/刪點找完美匹配

重點整理

剛剛都沒聽也沒怎樣

1.Tutte Matrix的定義

2.模一個大質數

3.隨機賦值

4.最大匹配大小是\(rank(T(G))/2\)

5.找最大匹配先轉完美匹配

6.\((i,j)可在完美匹配中\Leftrightarrow T^{-1}_{i,j} \neq 0\)

7.在原矩陣刪掉一行一列的話就用原逆矩陣對應的那行,消掉對應的那列,即可求出新的逆矩陣

例題

Undirected Vertex Geography

兩人玩遊戲,每次將棋子從圖上的一個節點移到相鄰且未走過的節點上,不可走者輸。哪些節點先手必勝?

結論

參考資料

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By Zi-Hong Xiao

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