DP優化

先說一下：今天說的都是求最大最小值的DP，等一下的max也可以是min

單調隊列優化

長相(通常)：

$dp[i] = \max\limits_{j + k < i}( g(i) + f(j))$

$dp[i] = g(i) + \max\limits_{j + k < i} f(j)$

其中 $k$ 固定

考慮

給長度為 $N$ 的序列 $A$ 和一個數字 $k$ ，求長度為 $N - k + 1$ 的序列 $B$ ，使得

$B_i = \max\limits_{j+k-1 < i} A_j$

Input: N=6, k=3

A: 9 5 3 6 2 8

B: 9 6 6 8

有人會做ㄇ

這裡讓我偷一下

回來看：

$dp[i] = g(i) + \max_{j + k < i} f(j)$

其中 $k$ 固定

根本跟剛剛一樣？
deque做到O(N)!

例題是理解的試金石

https://codeforces.com/contest/1077/problem/F2

其實不只這樣？

1.k可以遞減，不用固定

2. 不一定是index距離小於一個東西

斜率優化

長相(通常)：

$dp[i] = \max\limits_{j < i} (g(i) + a(j) \times f(i) + b(j))$

$dp[i] = g(i) + \max\limits_{j < i}( a(j) \times f(i) + b(j))$

一樣轉換問題

請你支援兩種操作：

1.加入一條直線 $y = a_i \times x + b_i$

2.詢問一個 $x$ 對應到的所有那些直線中y最大的值

我也不會QQ

例題是理解的試金石

https://www.acmicpc.net/problem/4008

狀態

dp[i]代表分好前i個人之後的最大值

轉移

$dp[i] = \max\limits_{j < i}( dp[j] + a \times (s_i - s_j)^2 + b \times (s_i-s_j) + c)$

怎麼變成

$dp[i] = g(i) + \max_{j < i} a(j) \times f(i) + b(j)$

\begin{matrix} dp[i] &= & & \max\limits_{j < i}( dp[j] + a \times (s_i - s_j)^2 + b \times (s_i-s_j) + c) \\ &= & & a\times s_i^2 + b\times s_i + c \\ & &+ & \max\limits_{j < i}((-2a \times s_j) \times s_i + (dp[j] + a\times s_j^2 - b\times s_j)) \end{matrix}

\begin{matrix} dp[i] &= & & \max\limits_{j < i}( dp[j] + a \times (s_i - s_j)^2 + b \times (s_i-s_j) + c) \\ &= & & a\times s_i^2 + b\times s_i + c \\ & &+ & \max\limits_{j < i}((-2a \times s_j) \times s_i + (dp[j] + a\times s_j^2 - b\times s_j)) \end{matrix}

轉換成功！可是到底怎麼做？

注意這些直線的斜率是 $(-2a \times s_j)$ ，因為原序列是正整數，所以斜率會遞增！而且我們每次都是要查 $s_i$ ，這東西也會遞增！

斜率、查詢遞增的斜率優化

用deque照斜率遞增維護直線

1

2

3

查詢

插入直線

O(N)
YA!

斜率不單調

用multiset往後殺往前(被)殺
直接當模板ㄅ

方法一

https://github.com/edisonhello/waynedisonitau123/blob/master/Codebook/dynamic-programming/DynamicConvexHull.cpp

李超線段樹

方法二

二分搜

wqs

我也不太懂啦QQ

BZOJ 2654

作法

二分搜一個mid，把每個白邊的權重都加上mid(也就是指選每個白邊的代價)，然後做最小生成樹，若用太多白邊就增加代價，否則減少代價。最後答案就是最小生成樹權重減need*mid。

使用白邊的數量

最小生成樹權重

$need$

$f(need)$

等等，他為啥是凸的？

我就爛QQ

根據經驗
顯然
寫完之後AC
感覺
別人說

使用白邊的數量

最小生成樹權重

$need$

$f(need)$

???

$min$

$f(min)$

OK!

使用白邊的數量

最小生成樹權重

$f(x)$

$f(x)-x$

$f(x)-2x$

$f(x)+x$

$f(x)+2x$

need

$f(need)$

$f(need)-need\times2$

YA!

aliens 優化

就是把wqs二分搜套到DP上

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/2039

例題是理解的試金石

狀態

$dp[i][j][0]$ :考慮前 $i$ 天，交易了 $j$ 次，而現在手上沒有東西的最大價值

$dp[i][j][1]$ :考考慮前 $i$ 天，交易了 $j$ 次，而現在手上有東西的最大價值

轉移

$dp[i][j][0] = \max(dp[i-1][j][0],dp[i-1][j][1] +v[i])$

$dp[i][j][1] = \max(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j-1][0] -v[i])$

凸性誰來救

我噁噁的code(不要學)

https://pastebin.com/0M770Lf2

關於aliens的一些事

1. 你覺得一題是aliens，不是因為他的函數是凸的(除非you mean wall)，個人認為有兩個東西比較好看出：

(1)他限制了某個東西的次數

(2)你列出DP式，把不必要的東西去掉後，狀態還是多到就算轉移是O(1)也跑不完

關於aliens的一些事

2. 倘若那個凸函數的值域是整數，就不用小數二分搜

3. 有時候那個函數是不嚴格凸的，所以不一定二分搜的到剛好用了 $k$ 次的時候，這時候就讓你的dp在答案一樣的時候盡量用比較少次，再直接把二分搜所加上的權重 $w$ 拿去dp，然後你就輸出dp的答案 $-w*k$ 就好了

4.二分搜的上下界自己搞清楚或是問@casperwang

現在有時間的話寫寫看這題

四邊形優化

溫馨提醒：為了延續蕭電的風格，就先暫時放下自己的強迫症好了

-- by 忍不住想排版的03t

為什麼叫四邊形?

pD/qD DP

大家應該都知道這是甚麼鬼東西了吧

凸?

若對於任意的 $i < i^′, j < j^′$ ：
如果 $F(j, i)\geq F(j^′, i)$ 成立的話，必可以保證 $F(j, i^′)\geq F(j^′, i^′)$ 。

這是什麼鬼

凸?

若對於任意的 $i < i^′, j < j^′$ ：
如果 $F(j, i)\geq F(j^′, i)$ 成立的話，必可以保證 $F(j, i^′)\geq F(j^′, i^′)$ 。

多米諾效應：

我現在比你多，未來一定比你多

凹?

若對於任意的 $i < i^′, j < j^′$ ：
如果 $F(j, i)\leq F(j^′, i)$ 成立的話，必可以保證 $F(j, i^′)\leq F(j^′, i^′)$ 。

應該懂了(?

小測驗

判斷以下函數是否有凹四邊形單調性

$F(x, y) = xy$

$F(x, y) = (x-y)^2$

$F(x, y) = s_x + t_y$

$s, t$ 是遞增數列

$F(x, y) = aA(x, y) + bB(x, y)$

$a, b \geq 0$

A, B 有凹四邊形單調性

四邊形不等式(交叉與包含)

如果對於任何 $i < i^′ \leq j < j^′$

都有 $F(j, i) + F(j^′, i^′)\leq F(j, i^′) + F(j^′, i)$

則 F 滿足凸四邊形單調性。

舉一隅以一隅反

如果對於任何 $i < i^′ \leq j < j^′$

都有 $F(j, i) + F(j^′, i^′)\geq F(j, i^′) + F(j^′, i)$

則 F 滿足凹四邊形單調性。

還有

判斷以下函數是否有凹四邊形單調性

C 是正整數數列，K 是正整數

我也不知道答案

[HNOI 2008] 玩具裝箱

它也可以斜率優化

[POI 2011]Lightning Conductor

$F(i, j) =$

反芻

凹

凸

四邊形不等式

凹跟凸有什麼用

四邊形單調性

2D/1D四邊形優化

長相(通常)：

$dp[i][j] = \min\limits_{i\leq k\leq j}\{dp[i][k] + dp[k][j] + w(i, j)\}$

從夾在裡面的東西轉移

尋找蘿莉第二彈

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1639

額，先別管題敘

算了還是看一下好了

這是建中校內賽題

尋找蘿莉第二彈

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1639

$dp[l][r]=\min\limits_{l≤k≤r}\{dp[l][k]+dp[k][r] + sum(l, r)\}$

尋找蘿莉第二彈

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1639

$dp[l][r]=\min\limits_{l≤k≤r}\{dp[l][k]+dp[k][r] + sum(l, r)\}$

凸??

~~好啦通常w凸dp就凸 QQ 然後這就凸凸的~~

重要定理

設 $p_{i,j}$ 是dp[i][j] 在轉移時所找到的最佳轉移點，且dp 滿足凸四邊形不等式，則：
$p_{i,j−1} \leq p_{i,j} \leq p_{i+1, j}$

打無限個星號考翻了

2D/1D凸四邊形優化

$dp[i][j] = \min\limits_{i\leq k\leq j}\{dp[i][k] + dp[k][j] + w(i, j)\}$

$dp[i][j] = \min\limits_{p_{i, j-1}\leq k\leq p_{i+1, j}}\{dp[i][k] + dp[k][j] + w(i, j)\}$

紀錄好轉移來源

for(int len = 2; len <= n; len++){  // 枚舉區間長度 (i - j)
    for(int i = 1, r = len; j <= n; i++, j++){
        // 枚舉長度為 len 的所有區間
        dp[i][j] = INF;
        for (int k = p[i][j-1]; k <= p[i+1][j]; k++) {
            if (dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k+1][j] + w(i, j)) {
            	// 更新 dp 陣列
            	dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + w(i, j);
            	p[i][j] = k;  // 記錄（最小）轉移來源
            }
        }
    }
}

核心代碼

這題其實有很多種等價的題序，讓我們來看看吧！

其實也有 $O(nlogn)$ 的做法

1.石子合併
2.OBST

2D/1D凸四邊形優化

使用時機

1. DP式是2D/1D的

2. 滿足四邊形不等式

3. 至少w要凸

2D/1D凹沒有好性質

所以只能枚舉 $i$ ，讓dp狀態變成一維

用N次的1D/1D 解決

時間複雜度 $N^2 \log N$ 。

1D/1D四邊形優化

a.k.a. 決策單調性優化

長相(通常)：

$dp[i] = \min\limits_{0\leq j < i}\{dp[j] + w(i, j)\}$

$dp[i] = \min\limits_{0\leq j < i}\{w(i, j)\}$

枚舉前面的點轉移

Lightning Conductor

a 是正整數序列，對於每個i求f[i]

https://szkopul.edu.pl/problemset/problem/iYVwsAcHHCRZzAtQh0QFKbsu/site/?key=statement

Lightning Conductor

先假設 $i > j$ 把絕對值拆掉

i - j

i - j

< i

< i

f[i] = \min\limits_{1 \leq j < i}\{0, -\lceil a_j + \sqrt{i-j} - a_i\rceil \}

f[i] = \min\limits_{1 \leq j < i}\{0, -\lceil a_j + \sqrt{i-j} - a_i\rceil \}

Lightning Conductor

凸?

f[i] = \min\limits_{1 \leq j < i}\{0, -\lceil a_j + \sqrt{i-j} - a_i\rceil \}

f[i] = \min\limits_{1 \leq j < i}\{0, -\lceil a_j + \sqrt{i-j} - a_i\rceil \}

Lightning Conductor

證明四邊形不等式

$w(a, d) + w(b, c) \leq w(a, c) + w(b, d)$

兩邊消掉一些東西

$\sqrt{d - a} + \sqrt{c - b} \geq \sqrt{c - a} + \sqrt{d - b}$

兩邊平方，排序不等式

$bd + ac \geq bc + da$

f[i] = \min\limits_{1 \leq j < i}\{0, -\lceil a_j + \sqrt{i-j} - a_i\rceil \}

f[i] = \min\limits_{1 \leq j < i}\{0, -\lceil a_j + \sqrt{i-j} - a_i\rceil \}

Lightning Conductor

有單調性了 XD

多米諾效應：

我現在比你差，未來一定比你差

f[i] = \min\limits_{1 \leq j < i}\{0, -\lceil a_j + \sqrt{i-j} - a_i\rceil \}

f[i] = \min\limits_{1 \leq j < i}\{0, -\lceil a_j + \sqrt{i-j} - a_i\rceil \}

1D/1D凸四邊形優化

：

struct seg{int p,l,r;};
deque<seg> deq;
void solve() {
    deq.push_back(seg{0,1,n});
    for(int i=1; i<n; i++) {
        // 計算dp[i]
        while(deq.front().r <= i) deq.pop_front();
        dp[i] = f(deq.front().p, i);
        // 更新以 i 作為轉移來源的區間
        while(deq.size() && f(i, deq.back().l) < f(deq.back().p, deq.back().l))
            deq.pop_back();
        seg new_seg = seg{i, i+1, n};
        if(deq.size()) { // 有可能全部被 pop 掉
            int c = binary_search(deq.back().p, i);
            // c 是滿足 f(i, k) < f(deq.back().i, k) 的最小 k
            deq.back().r = new_seg.l = c;
        }
        if(new_seg.l < n) deq.push_back(new_seg);
    }
}

核心代碼

1D/1D凸四邊形優化

使用時機

1. DP式是1D/1D的

2. 滿足四邊形單調性

3. 至少w要凸

1D/1D的也可以是凹

可是好像沒什麼必要用QQ

分治優化

同一題

a 是正整數序列，對於每個i求f[i]

分治做法

哈哈其實這題有輕鬆的做法

solve(L, R, ll, rr)

計算區間[L, R)且轉移點限制在[ll, rr)內的答案

分治做法

solve(L, R, ll, rr)

暴力算mid的答案與轉移來源p

分治解決solve(l, mid, ll, p) 和

solve(mid+1, r, p, rr)即可

核心代碼

void solve(int l,int r,int ll,int rr) {
    if(l > r) return;
    int mid = (l+r)/2, p = 0;
    for(int i=ll; i<=min(mid,rr); i++) {
        if(num[i] - num[mid] + sqrt(abs(mid-i)) > dp[mid]) {
            dp[mid] = num[i] - num[mid] + sqrt(abs(mid-i));
            p = i;
        }
    }
    solve(l, mid, ll, p), solve(mid+1, r, p, rr);
}

注意：dp数组要开成 $d o u b l e$ ，决策时也要用 $d o u b l e$ ，只有输出时才取整，这样才是符合题意的，不能过程中直接取整=。=(不要问我为什么要说这个)

-- 崩潰的大陸人

分治優化使用時機

1. 還是要有決策單調性

2. 不限定計算順序 (轉移式不含dp項)

一堆題目

https://ojdl.ck.tp.edu.tw/problem/7077

狀態

$dp[i][0]$ :考慮前 $i$ 天，第i天不吃拉麵的最高分

$dp[i][1]$ :考慮前 $i$ 天，第i天吃拉麵的最高分

轉移

$dp[i][0] = \max(dp[i-1][0],dp[i-1][1])$

$dp[i][1] = \max\limits_{i-k \leq j < i}(dp[j][0] + S[i] - S[j])$

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1283

1D/1D四邊形優化經典題

$ans[i] = \max\limits_{j < i} \{A(j, i)\}$

$A(j, i)$ 是以第j條線為下界，第i條橫線為下界的最大矩形面積

可以證明轉移點遞增

再用1D/1D凸或分治解決

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1676

倒過來考慮

狀態
$dp[i]$ 代表放完前 $i$ 個東西後的最大值

轉移

$dp[i] = \max\limits_{i-k\leq j < i}(dp[j]+S_j - (i-j)^2)$

小心處理過期

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1921

狀態
$dp[i]$ 表示買進第 $i$ 台機器時，擁有的最多錢數

轉移

$dp[i] = \max\limits_{j < i,dp[j]\geq0}(dp[j]+(D_i - D_j)^2*G_j+R_j-Pi)$

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1449

狀態
$dp[i][j]$ 表示考慮前 $i$ 個房子，蓋了 $j$ 座郵局的最短距離和
$w[i][j]$ 表示在第 $i$ 個房子和第 $j$ 個房子中，只蓋一座郵局的最短距離和

轉移
$dp[i][j] = \min\limits_{k < i}(dp[k][j-1]+w[k+1][i])$

https://codeforces.com/contest/797/problem/F

狀態

$dp[i][j]$ 表示考慮前 $i$ 個洞，放入前 $j$ 隻老鼠

$w[i][j]$ 代表前 $j$ 隻老鼠都跑到第 $i$ 個洞所需的花費

轉移

$dp[i][j] = \min\limits_{k+c[i] > j}(dp[i-1][k] + w[i][j] - w[i][k+1])$

狀態

$dp[i][j]$ 表示考慮前 $i$ 個洞，放入前 $j$ 隻老鼠

$w[i][j]$ 代表前 $j$ 隻老鼠都跑到第 $i$ 個洞所需的花費

轉移

$dp[j] = \min\limits_{k+c > j}(dp1[k] + w[j] - w[k+1])$

https://codeforces.com/problemset/problem/739/E

狀態：

$dp[i][j][k]$ 代表考慮前 $i$ 隻pokemon，用了 $j$ 個紅球、 $k$ 個黑球的隻數最大期望值

轉移：

$dp[i][j][k] = \max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-1][k] + p_i,dp[i-1][j][k-1] + u_i,dp[i-1][j-1][k-1] + u_i+p_i-p_i\times u_i)$

https://codeforces.com/contest/958/problem/E2

狀態:

$dp[i][j][0]$ 代表前 $i$ 組，取了 $j$ 組，第 $i$ 組不取

$dp[i][j][1]$ 代表前 $i$ 組，取了 $j$ 組，第 $i$ 組要取

轉移:

$dp[i][j][0] = \min(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j][0])$

$dp[i][j][1] = dp[i-1][j-1][0] + 1$

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1986

狀態
$dp[i][j]$ 表示考慮前 $i$ 個房子，蓋了 $j$ 座郵局的最短距離和
$w[i][j]$ 表示在第 $i$ 個房子和第 $j$ 個房子中，只蓋一座郵局的最短距離和

轉移
$dp[i][j] = \min\limits_{k < j}(dp[k][j-1]+w[k+1][j])$

狀態
$dp[i][j]$ 表示考慮前 $i$ 個房子，蓋了 $j$ 座郵局的最短距離和
$w[i][j]$ 表示在第 $i$ 個房子和第 $j$ 個房子中，只蓋一座郵局的最短距離和

轉移
$dp[i] = \min\limits_{k < i}(dp[k]+w[k+1][i] + cost)$

DP優化

先說一下：今天說的都是求最大最小值的DP，等一下的max也可以是min

單調隊列優化

長相(通常)：

考慮

回來看：

根本跟剛剛一樣？ deque做到O(N)!

例題是理解的試金石

其實不只這樣？

斜率優化

長相(通常)：

一樣轉換問題

例題是理解的試金石

狀態

轉移

怎麼變成

轉換成功！可是到底怎麼做？

斜率、查詢遞增的斜率優化

查詢

插入直線

O(N) YA!

斜率不單調

用multiset往後殺往前(被)殺 直接當模板ㄅ

李超線段樹

二分搜

我也不太懂啦QQ

BZOJ 2654

作法

等等，他為啥是凸的？

YA!

aliens 優化

就是把wqs二分搜套到DP上

狀態

轉移

凸性誰來救

我噁噁的code(不要學)

關於aliens的一些事

關於aliens的一些事

現在有時間的話寫寫看這題

四邊形優化

為什麼叫四邊形?

pD/qD DP

凸?

凸?

凹?

小測驗

F(x,y)=xyF(x, y) = xyF(x,y)=xy

F(x,y)=(x−y)2F(x, y) = (x-y)^2F(x,y)=(x−y)2

F(x,y)=sx+tyF(x, y) = s_x + t_yF(x,y)=sx​+ty​

s,ts, ts,t 是遞增數列

F(x,y)=aA(x,y)+bB(x,y)F(x, y) = aA(x, y) + bB(x, y)F(x,y)=aA(x,y)+bB(x,y)

a,b≥0a, b \geq 0a,b≥0

A, B 有凹四邊形單調性

四邊形不等式(交叉與包含)

舉一隅以一隅反

還有

C 是正整數數列，K 是正整數

我也不知道答案

[POI 2011]Lightning Conductor

F(i,j)=F(i, j) = F(i,j)=

反芻

2D/1D四邊形優化

長相(通常)：

尋找蘿莉第二彈

尋找蘿莉第二彈

尋找蘿莉第二彈

凸??

重要定理

2D/1D凸四邊形優化

核心代碼

這題其實有很多種等價的題序，讓我們來看看吧！

1.石子合併 2.OBST

2D/1D凸四邊形優化

使用時機

2D/1D凹沒有好性質

1D/1D四邊形優化

長相(通常)：

Lightning Conductor

Lightning Conductor

Lightning Conductor

根本跟剛剛一樣？
deque做到O(N)!

O(N)
YA!

用multiset往後殺往前(被)殺
直接當模板ㄅ

$F(x, y) = xy$

$F(x, y) = (x-y)^2$

$F(x, y) = s_x + t_y$

$s, t$ 是遞增數列

$F(x, y) = aA(x, y) + bB(x, y)$

$a, b \geq 0$

$F(i, j) =$

1.石子合併
2.OBST

狀態
$dp[i]$ 代表放完前 $i$ 個東西後的最大值

$dp[i] = \max\limits_{i-k\leq j < i}(dp[j]+S_j - (i-j)^2)$

狀態
$dp[i]$ 表示買進第 $i$ 台機器時，擁有的最多錢數

$dp[i] = \max\limits_{j < i,dp[j]\geq0}(dp[j]+(D_i - D_j)^2*G_j+R_j-Pi)$