AULA 27
Teorema da Amostragem
Prof. Dr. Adenauer G. CASALI
02 de Setembro de 2024
Conteúdo da Aula
O Problema da Amostragem
AULA 27
AULA 26
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
O Teorema da Amostragem
O Processo da Amostragem
O Problema da Amostragem
O problema da Amostragem
Exemplo de tempo discreto
Exemplo de tempo contínuo
O Processo de Amostragem
O Teorema da Amostragem
Fontes das imagens :
https://gfycat.com/stickers/search/cell+signaling
https://www.lafsozluk.com/2017/09/sonar-nedir-ne-demektir-ne-ise-yarar.html
https://www.shutterstock.com/pt/video/clip-11109230-ekg-monitor-icu-unit-show-waves-blood
Análise de Sinais
Aula 25
Prof. Dr. Adenauer CASALI
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
O Problema da Amostragem
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Vamos selecionar uma em cada 4 amostras de x[n]
Tempo discreto
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TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Exemplo:
Amostrando um sinal de tempo discreto...
Tempo discreto
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Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]
Tempo discreto
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TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]
x_p[n]=x[n]\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]
x_d[k]=x[kN]
Sinal final reamostrado
"Dizimação"
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
Mas o que acontece na frequência?
Já encontramos esse sinal antes:
resposta ao impulso do filtro ideal passa baixa de frequencia de corte
\frac{\pi}{8}
X(\Omega)
\Omega
Tempo discreto
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Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
O que acontece na frequência?
Sinal periódico, período 4. Série de Fourier:
a_k=\frac{1}{4}\sum_{n=<4>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{4}n}
=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{3}x[n]e^{-jk\frac{\pi}{2}n}
=\frac{1}{4}
P(\Omega)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\delta(\Omega-k\frac{2\pi}{N})
=\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-k\frac{\pi}{2})
p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]
Tempo discreto
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TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
O que acontece na frequência?
P(\Omega)=\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-k\frac{\pi}{2})
P(\Omega)
\Omega
p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]
Tempo discreto
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Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
O que acontece na frequência?
P(\Omega)
\Omega
X(\Omega)
Convolução!
X_p(\Omega)=X(\Omega)\ast P(\Omega)
Tempo discreto
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Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
O que acontece na frequência?
P(\Theta)=\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})
X_p(\Omega)=X(\Omega)\ast P(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}P(\Theta)X(\Omega-\Theta)d\Theta
X_p(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})X(\Omega-\Theta)d\Theta
=\frac{1}{4}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{2\pi}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})X(\Omega-\Theta)d\Theta
k= 0, 1, 2, 3
=\frac{1}{4}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{0-\epsilon}^{2\pi -\epsilon}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})X(\Omega-\Theta)d\Theta
Tempo discreto
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TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
O que acontece na frequência?
P(\Theta)=\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})
=\frac{1}{4}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{2\pi}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})X(\Omega-\Theta)d\Theta
=\frac{1}{4}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{0-\epsilon}^{2\pi -\epsilon}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})X(\Omega-\Theta)d\Theta
=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
k=0
k=1
k=2
k=3
X_p(\Omega)=X(\Omega)\ast P(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}P(\Theta)X(\Omega-\Theta)d\Theta
X_p(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})X(\Omega-\Theta)d\Theta
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
O que acontece na frequência?
X_p(\Omega)=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
X(\Omega)
\Omega
Tempo discreto
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Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
O que acontece na frequência?
X_p(\Omega)=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
X(\Omega)
X(\Omega-\frac{\pi}{2})
+
\Omega
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
O que acontece na frequência?
X_p(\Omega)=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
X(\Omega)
X(\Omega-\frac{\pi}{2})
X(\Omega-\pi)
+
+
\Omega
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
O que acontece na frequência?
X(\Omega)
X(\Omega-\frac{\pi}{2})
X(\Omega-\pi)
X(\Omega-\frac{3\pi}{2})
+
+
+
X_p(\Omega)=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
\Omega
Tempo discreto
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TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
O que acontece na frequência?
X_p(\Omega)=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
\Omega
X_p(\Omega)
Tempo discreto
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Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo discreto...
O que acontece na frequência?
X_p(\Omega)
X_p(\Omega)=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
\Omega
Amostrando um sinal de tempo discreto...
Tempo discreto
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Tempo contínuo
Processo de Amostragem
O que acontece na frequência?
"Dizimação"
X_p(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_p[n]e^{-jn\Omega }
X_d(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n]e^{-jn\Omega}
x_p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]e^{-jn\Omega }
=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]e^{-jkN\Omega }
X_d(\Omega)=X_p(\Omega/N)
(multiplica o eixo da frequencia no gráfico por N)
x_d[k]
X_d(N\Omega)=X_p(\Omega)
Re-escala na frequência (multiplica o eixo da frequencia por N)
Introdução: amostrando um sinal de tempo discreto
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Processo de Amostragem: Tempo Discreto
Etapa 1: Produto por trem de impulso
(intervalo de amostragem N)
X(\Omega)
P(\Omega)
X_p(\Omega)
Espectro resultante é multiplicado por 1/N e replicado a cada
\omega_s=\frac{2\pi}{N}
\omega_s
Espectro original
\Omega
\Omega
\Omega
Espectro do trem de impulso
Espectro resultante
Tempo discreto
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Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Eixo da frequência é multiplicado por N
\omega_s=\frac{2\pi}{N}
X(\Omega)
\Omega
\Omega
\Omega
X_d(\Omega)
X_p(\Omega)
Espectro retorna a ser periódico com período
2\pi
\omega_s=\frac{2\pi}{N}
Espectro periódico com período
Espectro periódico com período
2\pi
Etapa 2: Dizimação
(intervalo de amostragem N)
Processo de Amostragem: Tempo Discreto
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
É possível recuperar
a partir de ?
x[n]
x_p[n]
Para o nosso exemplo...
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando um sinal de tempo contínuo...
Fontes das imagens
https://jp.mathworks.com/company/newsletters/articles/teaching-medical-instrumentation-at-the-university-of-washington.html
http://www.ling197m.krisyu.org/pages/13/13-erp-language-music.html
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Contínuo x Discreto
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Fontes das imagens
https://jp.mathworks.com/company/newsletters/articles/teaching-medical-instrumentation-at-the-university-of-washington.html
http://www.ling197m.krisyu.org/pages/13/13-erp-language-music.html
Frequência de Amostragem:
número de amostras por unidade da variável independente
Exemplo:
\omega_s=1000Hz
1000 amostras (discretas) a cada segundo
Amostrando um sinal de tempo contínuo...
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Frequência de Amostragem:
número de amostras por unidade da variável independente
x(t)
p(t)
\times
p(t)=...+ \delta(t) + \delta(t-T)+ \delta(t-2T)+...
p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)
Exemplo:
\omega_s=1000 \times 2\pi rad/s
1000 amostras (discretas) a cada segundo
T=\frac{2\pi}{\omega_s} = 0.001s = 1ms
1 amostra a cada 1 milisegundo
Período ou Intervalo de Amostragem:
=1000 Hz
x[n]
Amostrando um sinal de tempo contínuo...
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Exemplo:
\omega_s=1000 \times 2\pi rad/s
1000 amostras (discretas) a cada segundo
T=\frac{2\pi}{\omega_s} = 0.0001s = 1ms
1 amostra a cada 1 milisegundo
Período ou Intervalo de Amostragem:
x[n]
x(t=nT)
Sinal de tempo discreto (EEG digital)
Sinal tempo contínuo (EEG) calculado nos tempos correspondentes aos múltiplos do Intervalo de Amostragem
=
=1000 Hz
Frequência de Amostragem:
número de amostras por unidade da variável independente
Amostrando um sinal de tempo contínuo...
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo
A amostragem de um sinal de tempo contínuo também ocorre em duas etapas:
1) Produto pelo trem de impulso: preserva-se amostras discretas em tempos correspondentes a múltiplos do intervalo de amostragem, zerando todos os demais tempos.
x(t)
p(t)
\times
p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)
x_d[n]=x(nT)
\omega_s=\frac{2\pi}{T}
Intervalo de Amostragem
Frequência de Amostragem
2) Discretização: define-se o sinal de tempo discreto correspondente como sendo a sequência
x(nT)
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
1) Primeira etapa
x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)
X_p(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x_p(t)e^{-j\omega t}dt
=\int_{-\infty}^{\infty}\Bigl[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)\Bigr]e^{-j\omega t}dt
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)e^{-j\omega t}dt
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-jn\omega T}
O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo
A amostragem de um sinal de tempo contínuo também ocorre em duas etapas:
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
1) Primeira etapa
x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)
X_p(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-jn\omega T}
X_p(\omega + \frac{2\pi}{T})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-jn(\omega+\frac{2\pi}{T}) T}
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-jn\omega T}e^{-jn2\pi}
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-jn\omega T}
=X_p(\omega)
O espectro resultante é periódico: repete-se a cada
\omega_s=\frac{2\pi}{T}
O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo
A amostragem de um sinal de tempo contínuo também ocorre em duas etapas:
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
x_p(t)=x(t) \times p(t)
X_p(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}P(\theta)X(\omega-\theta)d\theta
Primeira etapa: replicar o espectro original a cada e somar as cópias (divididas por T)
\omega_s
p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)
P(\omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\frac{2\pi}{T})
X_p(\omega)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\omega-n\frac{2\pi}{T})
Sim! Veja esse resultado de uma outra forma:
trem de impulso de período T no tempo
produto no tempo
convolução na frequência
trem de impulso de período
\frac{2\pi}{T}
1) Primeira etapa: o espectro de um sinal contínuo torna-se periódico?
O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo
A amostragem de um sinal de tempo contínuo também ocorre em duas etapas:
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
2) Segunda etapa:
X_p(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-jn\omega T}
x_d[n]=x(nT)
X_p(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n]e^{-jn\omega T}
X_d(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n]e^{-jn\Omega}
Mas a TF de um sinal discreto é definida por:
\omega T = \Omega
\omega = \frac{\Omega}{T}
Intervalo de Amostragem
Frequência Normalizada
(sem unidade, ângulo)
Frequência "física"
(exemplo: ciclos por segundo)
O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo
A amostragem de um sinal de tempo contínuo também ocorre em duas etapas:
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
1) Produto pelo trem de impulso: preservar amostras discretas em tempos correspondentes a múltiplos do intervalo de amostragem, zerando todos os demais tempos.
1) Na frequência: replicar o espectro original em cópias deslocadas de múltiplos da frequência de amostragem e somar as cópias dividindo pelo intervalo de amostragem
2) Na frequência: renormalizar as frequências multiplicando-as pelo intervalo de amostragem
2) Discretização: define-se o sinal de tempo discreto correspondente como sendo a sequência
x(nT)
O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo
A amostragem de um sinal de tempo contínuo também ocorre em duas etapas:
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
SIM!
2\pi-\omega_mT
O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
O Teorema da Amostragem
2\pi-\omega_mT
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Exemplo:
x(t)=\sin(\frac{5\pi}{2}t) + \cos(\frac{3\pi}{4}t)
\omega_m=\frac{5\pi}{2}
2\omega_m=5\pi
Qual o máximo intervalo de amostragem para se amostrar o sinal abaixo de forma apropriada?
\omega_s>2\omega_m
\omega_s>5\pi
T<\frac{2\pi}{2\omega_m}
T<\frac{2}{5}s
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
Amostrando o EEG?
Fontes das imagens
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http://www.ling197m.krisyu.org/pages/13/13-erp-language-music.html
Informação relevante está abaixo de 100Hz
Taxa de Nyquist = 200Hz
Teorema da amostragem: podemos amostrar com frequências de amostragem superiores a 200Hz
Certo?
Tempo discreto
O Problema da Amostragem
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
Teorema da Amostragem
Tempo contínuo
Processo de Amostragem
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By ADENAUER GIRARDI CASALI
