AULA 28
Interpolação e Aliasing
Prof. Dr. Adenauer G. CASALI
04 de Setembro de 2024
Conteúdo da Aula
Interpolação: ideal e não ideal
AULA 28
AULA 27
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercícios
Aliasing
Teorema de Amostragem
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Teorema de Amostragem
x(t) = \frac{\sin(\frac{\pi}{8}t)}{\pi t}
X(\omega) = 1 \:\:\:\textrm{se }|\omega|<\pi/8
= 0 \:\:\:\textrm{se }|\omega|>\pi/8
\omega_m=\frac{\pi}{8}
\omega_s>\frac{\pi}{4}
T<8
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Teorema de Amostragem
x(t) = \frac{\sin(\frac{\pi}{8}t)}{\pi t}
T=5
x[n] = \frac{\sin(\frac{5\pi}{8}n)}{5\pi n}
Como é possível partir do sinal amostrado e recuperar o sinal de tempo contínuo?
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Reconstruindo sinais
x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Reconstruindo sinais
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
X_r(\omega)=X_p(\omega)H_r(\omega)
x_r(t)=x_p(t)\ast h_r(t)
x_r(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_p(\tau)h_r(t-\tau)d\tau
=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)p(\tau)h_r(t-\tau)d\tau
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau-nT)h_r(t-\tau)d\tau
Reconstruindo sinais
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
x_r(t)=x_p(t)\ast h_r(t)
x_r(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_p(\tau)h_r(t-\tau)d\tau
=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)p(\tau)h_r(t-\tau)d\tau
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)h_r(t-nT)
Reconstruindo sinais
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
X_r(\omega)=X_p(\omega)H_r(\omega)
x_r(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)h_r(t-nT)
Reconstruindo sinais
Amostras de "encaixe"
Função de interpolação
(resposta ao impulso do filtro de reconstrução)
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Reconstruindo sinais: interpolação ideal
x_r(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)h_r(t-nT)
h_r(t) =T \frac{\sin(\frac{\omega_s}{2} t)}{\pi t}
x(t)
x(t)=T\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT) \frac{\sin(\frac{\pi}{T} (t-nT)}{\pi (t-nT)}
Interpolação
Ideal
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Reconstruindo sinais: retentores
x_r(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)h_r(t-nT)
h_r(t)=h_0(t)
x_r(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)h_0(t-nT)
Interpolação não ideal: exemplo
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Reconstruindo sinais: retentores
H_0(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}h_0(t)e^{-j\omega t}dt
=\int_{0}^{T}e^{-j\omega t}dt
H_0(\omega)=\frac{1}{-j\omega}e^{-j\omega t}\Bigr|_{{t=0}}^{t=T}
=\frac{1}{-j\omega}(e^{-j\omega T}-1)
=\frac{e^{-j\omega T/2}}{-j\omega}(e^{-j\omega T/2}-e^{j\omega T/2})
=\frac{2e^{-j\omega T/2}}{\omega}\sin(\omega T/2)
E na frequência?
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Reconstruindo sinais: retentores
H_0(\omega)=\frac{2e^{-j\omega T/2}}{\omega}\sin(\omega T/2)
E na frequência?
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Teorema da Amostragem
Porém: e se o teorema de amostragem não for respeitado?
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Aliasing
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Aliasing
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Aliasing
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Aliasing
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Aliasing
https://www.showmetech.com.br/anti-aliasing-efeito-torna-melhor-jogatina/
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Aliasing
Como evitar aliasing na amostragem de sinais reais?
Filtro analógico anti-aliasing:
Passa-baixa com frequência de corte menor que
\frac{\omega_s}{2}
\omega_s>2\omega_m
\omega_m<\frac{\omega_s}{2}
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Aliasing
Fontes das imagens
https://jp.mathworks.com/company/newsletters/articles/teaching-medical-instrumentation-at-the-university-of-washington.html
http://www.ling197m.krisyu.org/pages/13/13-erp-language-music.html
Taxa de Nyquist = 200Hz
Teorema da amostragem: podemos amostrar com frequências de amostragem superiores a 200Hz
Certo?
Certo! Mas antes da amostragem: filtro anti-aliasing!
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Informação relevante está abaixo de 100Hz
Análise de Sinais
Aula 22
Prof. Dr. Adenauer CASALI
Exemplos
Exercício
Amostragem de sinais em tempo discreto
Subamostragem
Sobreamostragem
Fonte das imagens: Oppenheim and Willsky, "Sinais e Sistemas", Pearson, 2ª ed.(2010)
Considere o sinal x[n] com o espectro abaixo.
X(\Omega)
\Omega
Qual é o máximo intervalo entre as amostras para a subamostragem sem aliasing deste sinal.
a)
\omega_m=\frac{2\pi}{9}
2\omega_m=\frac{4\pi}{9}
Taxa de Nyquist:
Para não ter Aliasing:
\omega_s\ge\frac{4\pi}{9}
\frac{2\pi}{N}\ge\frac{4\pi}{9}
N\le\frac{9}{2}
N=4
X(\Omega)
\Omega
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Exercício 2
Considere um sinal periódico cuja representação em série de Fourier pode ser escrita como
x[n]=\sum_{k=0}^{3}(\frac{1}{2})^{k+1}e^{jk\frac{n\pi}{5}}+\sum_{k=0}^{3}(\frac{1}{2})^{k+1}e^{-jk\frac{n\pi}{5}}
x[n]=\sum_{k=-4}^{5}a_ke^{jk\frac{n\pi}{5}}
Período = 10
a_{-4}=0
a_{-3}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^4
a_{-2}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^3
a_{-1}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
a_{0}=1
a_{1}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
a_{2}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^3
a_{3}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^4
a_{4}=a_{5}=0
É possível subamostrar este sinal de modo a que se possa reconstruí-lo perfeitamente a partir da versão subamostrada aplicando-se um filtro ideal passa-baixa?
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Considere um sinal periódico cuja representação em série de Fourier pode ser escrita como
a_{-4}=0
a_{-3}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^4
a_{-2}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^3
a_{-1}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
a_{0}=1
a_{1}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
a_{2}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^3
a_{3}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^4
a_{4}=a_{5}=0
X(\Omega)=2\pi\sum_{k=-4}^{5}a_k\delta(\Omega - k\frac{\pi}{5})
|\Omega|<\pi
X(\Omega)=2\pi\sum_{k=-3}^{3}a_k\delta(\Omega - k\frac{\pi}{5})
É possível subamostrar este sinal de modo a que se possa reconstruí-lo perfeitamente a partir da versão subamostrada aplicando-se um filtro ideal passa-baixa?
Repete com período
2\pi
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Exercício 2
0
\frac{\pi}{5}
\frac{2\pi}{5}
\frac{3\pi}{5}
-\frac{3\pi}{5}
-\frac{2\pi}{5}
-\frac{\pi}{5}
\Omega
X(\Omega)
2\pi
-\pi
\pi
\omega_m=\frac{3\pi}{5}
2\omega_m=\frac{6\pi}{5}
\omega_s>\frac{6\pi}{5}
T<\frac{5}{3}
Mas este é um sinal discreto!!
T deve ser inteiro!
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Exercício 2
Considere um sinal periódico cuja representação em série de Fourier pode ser escrita como
Não!
Reamostragem sem aliasing em sinais de tempo discreto:
Como
T\ge 2
T<\frac{2\pi}{2\omega_m}
2<\frac{\pi}{\omega_m}
\omega_m<\frac{\pi}{2}
e
É possível subamostrar este sinal de modo a que se possa reconstruí-lo perfeitamente a partir da versão subamostrada aplicando-se um filtro ideal passa-baixa?
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
Exercício 2
Considere um sinal periódico cuja representação em série de Fourier pode ser escrita como
Não!
\omega_s=\frac{2\pi}{T}=\pi
É possível subamostrar este sinal de modo a que se possa reconstruí-lo perfeitamente a partir da versão subamostrada aplicando-se um filtro ideal passa-baixa?
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
E se mesmo assim o sinal fosse amostrado com Intervalo de Amostragem de 2 amostras?
Exercício 2
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
0
\frac{3\pi}{5}
-\frac{3\pi}{5}
\Omega
X(\Omega)
-\pi
\pi
0
\frac{3\pi}{5}
-\frac{3\pi}{5}
\Omega
X_p(\Omega)
-\pi
\pi
2\pi
\pi
Exercício 2
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
0
\frac{3\pi}{5}
-\frac{3\pi}{5}
\Omega
X_p(\Omega)
-\pi
\pi
0
\frac{4\pi}{5}
\Omega
X_d(\Omega)
2\pi
\frac{2\pi}{5}
-2\pi
\frac{6\pi}{5}
\frac{8\pi}{5}
\pi
2\pi
Exercício 2
Interpolação ideal
Reconstruindo Sinais
INTERPOLAÇÃO E ALIASING
Exercício
Interpolação não ideal
Aliasing
0
\frac{3\pi}{5}
-\frac{3\pi}{5}
\Omega
X(\Omega)
-\pi
\pi
0
\frac{4\pi}{5}
\Omega
X_d(\Omega)
2\pi
-\frac{4\pi}{5}
-2\pi
Após subamostragem
Antes subamostragem
Exercício 2
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Aula 29 - Processamento em Tempo Discreto de Sinais de Tempo Contínuo
Análise de Sinais - Aula 28 - Aliasing
By ADENAUER GIRARDI CASALI
