AULA 30

Processamento Digital + Revisão

Prof. Dr. Adenauer G. CASALI

09 de Setembro de 2024

Conteúdo da Aula

Processamento Digital de sinais de tempo contínuo

AULA 30

AULA 29

Exemplos

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Processamento digital de sinais de tempo contínuo

O Teorema da Amostragem permite que tracemos as bases matemáticas de como pode ser processado, em tempo discreto, um sinal de tempo contínuo.

Ingrediente 1: o conversor C/D (contínuo para discreto)

Parâmetro: T (intervalo de amostragem)

X_d(\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\frac{\Omega-2\pi k}{T})

x(t)\\ X(\omega)

x_d[n]\\ X_d(\Omega)

Conversor C/D

(intervalo T)

x(t)\\ X(\omega)

p(t)\\ P(\omega)

x_d[n]\\ X_d(\Omega)

x_p(t)\\ X_p(\omega)

t\rightarrow n\\ \omega\rightarrow \Omega

Filtro anti-aliasing

(se necessário)

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Exemplos

(possivelmente após

filtro anti-aliasing)

X_p(\omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\omega - k\frac{2\pi}{T})

\omega=\frac{\Omega}{T}

X_d(\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\frac{\Omega - 2\pi k}{T})

Processamento digital de sinais de tempo contínuo

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

O Teorema da Amostragem permite que tracemos as bases matemáticas de como pode ser processado, em tempo discreto, um sinal de tempo contínuo.

Ingrediente 2: o sistema digital (filtro de tempo discreto)

Parâmetro:

H(\Omega)

Como determinar

H(\Omega)?

h[n],\:\:H(\Omega)

Sistema de Tempo Discreto

x_d[n]\\ X_d(\Omega)

y_d[n]\\ Y_d(\Omega)

Processamento digital de sinais de tempo contínuo

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

O Teorema da Amostragem permite que tracemos as bases matemáticas de como pode ser processado, em tempo discreto, um sinal de tempo contínuo.

Ingrediente 3: o conversor D/C (discreto para contínuo)

Parâmetro:

H_r(\omega)

y_d[n]\\ Y_d(\Omega)

y(t)\\ Y(\omega)

Conversor D/C

Y(\omega)=T\times Y_d(T\omega)\:\:\:\:|T\omega|<\pi

=0, \text{ caso contrário.}

Filtro de reconstrução ideal:

H_r(\omega)

n\rightarrow t\\ \Omega\rightarrow \omega

y_d[n]\\ Y_d(\Omega)

y_p(t)=\sum_{n}y_d[n]\delta(t-nT)\\ Y_p(\omega)=Y_d(\Omega=T\omega)

y(t)\\ Y(\omega)

H_r(\omega)

Processamento digital de sinais de tempo contínuo

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Reconstrução ideal:

Y_p(\omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}H(\omega T)X(\omega - \frac{2\pi k}{T})

Y_d(\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}H(\Omega)X(\frac{\Omega - 2\pi k}{T})

Y(\omega)=H(\omega T)X(\omega)

Y(\omega)=H_r(\omega)Y_p(\omega)

Y_d(\Omega)=H(\Omega)X_d(\Omega)

Y_d(\omega)

\Omega=T\omega

Y(\omega)

Y_p(\omega)

Processamento digital de sinais de tempo contínuo

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

O Teorema da Amostragem permite que tracemos as bases matemáticas de como pode ser processado, em tempo discreto, um sinal de tempo contínuo.

Parâmetro:

H(\Omega)

Como determinar ?

H(\Omega)

Y(\omega)=H(\Omega = \omega T)X(\omega)

H(\Omega)=\frac{Y(\omega=\Omega/T)}{X(\omega=\Omega/T)}

\textrm{Entre }-\pi \textrm{ e }\pi:

\textrm{(repete a cada }2\pi\textrm{)}

Ingrediente 2: o sistema digital (filtro de tempo discreto)

h[n],\:\:H(\Omega)

Sistema de Tempo Discreto

x_d[n]\\ X_d(\Omega)

y_d[n]\\ Y_d(\Omega)

Processamento digital de sinais de tempo contínuo

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Com reconstrução ideal:

Esquema Geral:

H(\Omega)=\frac{Y(\omega=\Omega/T)}{X(\omega=\Omega/T)}

\textrm{Entre }-\pi \textrm{ e }\pi

\textrm{(repete a cada }2\pi\textrm{)}

\omega_s=\frac{2\pi}{T}>2\omega_m

(possivelmente com filtro anti-aliasing)

Idealmente com filtro ideal de ganho T na banda de passagem (caso contrário revisar o filtro digital)

Processamento digital de sinais de tempo contínuo

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Exemplo: um diferenciador digital

H(\Omega)=\frac{Y(\omega=\Omega/T)}{X(\omega=\Omega/T)} = j\frac{\Omega}{T}

\textrm{Entre }-\pi \textrm{ e }\pi

\textrm{(repete a cada }2\pi\textrm{)}

Considere um sinal de tempo contínuo x(t) de banda limitada a .

\omega_m

Projete um sistema de tempo discreto para calcular a derivada deste sinal.

O que queremos?

y(t)=\frac{d}{dt}x(t)

Y(\omega)=j\omega X(\omega)

x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega

y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}j\omega X(\omega)e^{j\omega t}d\omega

Qual deve ser o filtro digital?

H(\omega)=j\omega

Filtro diferenciador

(analógico, amplifica altas frequências, elimina componente DC)

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Exemplo: um diferenciador digital

Considere um sinal de tempo contínuo x(t) de banda limitada a .

\omega_m

Projete um sistema de tempo discreto para calcular a derivada deste sinal.

T = \frac{\pi}{2\omega_m}

\omega_s=\frac{2\pi}{T}= 4\omega_m

Por exemplo:

H(\Omega)= j\frac{\Omega}{T}, \:\: |\Omega|<\pi\\ \textrm{repete a cada }2\pi

H_r(\omega) = T, \:\: |\omega|<2\omega_m\\ H_r(\omega) = 0, \:\:\textrm{c.c.}

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Exemplo: atraso de "meia amostra"

Projete um sistema em tempo discreto que produz um atraso de meia amostra no sinal

x(t)=\frac{\sin(10 t)}{t}

x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega

\omega_c

-\omega_c

\omega

x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}Ae^{j\omega t}d\omega

x(t)=\frac{A}{2\pi}\frac{e^{j\omega t}}{j t}\Bigl|_{\omega=-\omega_c}^{\omega=\omega_c}

=\frac{A}{2\pi}\frac{e^{j\omega_c t}- e^{-j\omega_c t}}{j t}

=\frac{A}{\pi}\frac{\sin(\omega_c t)}{t}

A=\pi

\omega_c=10

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Exemplo: atraso de "meia amostra"

Projete um sistema em tempo discreto que produz um atraso de meia amostra no sinal

-10

\pi

\omega

X(\omega)

\omega_m=10

\omega_s>20

\frac{2\pi}{T}>20

T < \frac{\pi}{10}

T =\frac{1}{5}

\omega_s=10\pi \:\:\:{(5Hz)}

Por exemplo:

x(t)=\frac{\sin(10 t)}{t}

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Exemplo: atraso de "meia amostra"

Projete um sistema em tempo discreto que produz um atraso de meia amostra no sinal

T =\frac{1}{5}

H(\Omega)=?

y(t)=x(t-\frac{T}{2})

Y(\omega)=e^{-j\omega \frac{T}{2}}X(\omega)

\frac{Y(\omega)}{X(\omega)}=e^{-j\omega \frac{T}{2}}

H(\Omega)=e^{-j\frac{\Omega}{2}}

|\Omega|<\pi

\textrm{repete a cada } 2\pi

x(t)=\frac{\sin(10 t)}{t}

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Exemplo: atraso de "meia amostra"

Projete um sistema em tempo discreto que produz um atraso de meia amostra no sinal

T =\frac{1}{5}

H(\Omega)=e^{-j\frac{\Omega}{2}}

|\Omega|<\pi

\textrm{repete a cada } 2\pi

Em tempo discreto, o que faz esse filtro?

h[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-j\Omega/2}e^{j\Omega n}d\Omega

h[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{j\Omega(n-1/2) }d\Omega

h[n]=\frac{1}{2\pi}\frac{e^{j\Omega(n-1/2) }}{j(n-1/2)}\Bigl|_{-\pi}^{\pi}

h[n]=\frac{2}{\pi(2n-1)}\sin(n\pi -\frac{\pi}{2})

h[n]=\frac{2}{\pi(2n-1)}\bigl(\sin(n\pi)\cos(\frac{\pi}{2})-\cos(n\pi)\sin(\frac{\pi}{2})\bigr)

=\frac{2}{\pi(2n-1)}(-1)^{n+1}

Não é um mero "atraso"!

x(t)=\frac{\sin(10 t)}{t}

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Exemplo: atraso de "meia amostra"

Projete um sistema em tempo discreto que produz um atraso de meia amostra no sinal

T =\frac{1}{5}

H(\Omega)=e^{-j\frac{\Omega}{2}}

Conversor D/C:

Filtro ideal

H_r(\omega)=T

|\omega|<\frac{\omega_s}{2}

c.c.

H_r(\omega)=0

H_r(\omega)=\frac{1}{5}

|\omega|<5\pi

c.c.

H_r(\omega)=0

,|\Omega|<\pi

x(t)=\frac{\sin(10 t)}{t}

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Exemplo: atraso de "meia amostra"

Projete um sistema em tempo discreto que produz um atraso de meia amostra no sinal

T =\frac{1}{5}

H(\Omega)=e^{-j\frac{\Omega}{2}}

H_r(\omega)=\frac{1}{5}

|\omega|<5\pi

H_r(\omega)=0

c.c.

,|\Omega|<\pi

x(t)=\frac{\sin(10 t)}{t}

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Exemplo: atraso de "meia amostra"

Projete um sistema em tempo discreto que produz um atraso de meia amostra no sinal

T =\frac{1}{5}

H(\Omega)=e^{-j\frac{\Omega}{2}}

,|\Omega|<\pi

H_r(\omega)=\frac{1}{5}

|\omega|<5\pi

H_r(\omega)=0

c.c.

x(t)=\frac{\sin(10 t)}{t}

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Exemplo: atraso de "meia amostra"

Projete um sistema em tempo discreto que produz um atraso de meia amostra no sinal

T =\frac{1}{5}

H(\Omega)=e^{-j\frac{\Omega}{2}}

,|\Omega|<\pi

H_r(\omega)=\frac{1}{5}

|\omega|<5\pi

H_r(\omega)=0

c.c.

X_d(\Omega)

Y_d(\Omega)

x(t)=\frac{\sin(10 t)}{t}

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

Exemplo: atraso de "meia amostra"

Projete um sistema em tempo discreto que produz um atraso de meia amostra no sinal

T =\frac{1}{5}

H(\Omega)=e^{-j\frac{\Omega}{2}}

,|\Omega|<\pi

H_r(\omega)=\frac{1}{5}

|\omega|<5\pi

H_r(\omega)=0

c.c.

Y(\omega)

X(\omega)

x(t)=\frac{\sin(10 t)}{t}

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Sistema de Tempo Discreto

Processamento Digital

PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO

Exemplo

Conversor D/C

Revisão Final

Conversor C/D

1) Sistemas LIT no Domínio da Frequência

h[n]

H(\Omega)

x[n]

x[n]\ast h[n] = y[n]

X(\Omega)

X(\Omega)\times H(\Omega)=Y(\Omega)

TFTD

Nesta altura do curso, você certamente já conhece algumas TFs importantes :

X(\Omega) = 2\pi\delta(\Omega -\Omega_0),\:\:\: |\Omega|\le \pi \text{ e repete com período }2\pi

x[n]=e^{j\Omega_0 n}

X(\Omega) = \frac{1}{1-ae^{-j\Omega}}

x[n]=a^{n}u[n], \:\:\:\: |a|<1

X(\Omega) = \frac{\sin \bigl((L+1/2)\Omega\bigr)}{\sin(\Omega/2)}

x[n]=u[n+L]-u[n-L-1]

X(\Omega) = u(\Omega+\Omega_c) - u(\Omega-\Omega_c)

x[n]=\frac{\sin\bigl(\Omega_c n\bigr)}{\pi n}

Revisão Final

2)Análise de Sistemas LIT no domínio da Frequência

Ação de um sistema LIT no domínio da frequência:

|Y(\Omega)|=|X(\Omega)||H(\Omega)|

\theta_Y(\Omega)=\theta_X(\Omega)+\theta_H(\Omega)

\log_{10}(|Y(\Omega)|)=\log_{10}(|X(\Omega)|)+\log_{10}(|H(\Omega)|)

(produto dos módulos)

(soma das fases)

(soma dos módulos em escala logarítmica)

No domínio da frequência, analisar um sistema LIT envolve:

|H(\Omega)|

\theta_H(\Omega)

Analisar a magnitude da sua resposta em frequência

2. Analisar a fase da sua resposta em frequência

informa quais frequências são amplificadas ou reduzidas pelo sistema

Magnitude em decibéis (dB):

10\log_{10} |H(\Omega)|^2

informa o atraso/adiantamento produzido pelo filtro em determinada frequência

Atraso de grupo:

\tau(\Omega)=-\frac{d}{d\Omega}\theta_H(\Omega)

Revisão Final

3) Filtros Ideais

|H_{PB}(\Omega)|

\Omega

H_{PB}(\Omega)=e^{-j\Omega N}

|\Omega|<\Omega_c

H_{PB}(\Omega)=0

\Omega_c<|\Omega|<\pi

Repete com período

2\pi

Ideal "passa-baixa"

h_{PB}[n]=\frac{\sin\bigl(\Omega_c (n-N)\bigr)}{\pi (n-N)}

Todos os outros filtros ideais podem ser construídos a partir deste!

Revisão Final

4) Filtros não ideais

y[n] = \sum_{k=-M_1}^{M_2}a_kx[n-k]

Possíveis polos somente na origem e/ou no infinito

Sistema é sempre ESTÁVEL

H(\Omega) = \sum_{k=-M_1}^{M_2}a_ke^{-jk\Omega}

em geral tem transições nos máximos mais suaves que filtros IIR da mesma ordem (picos menos definidos, mas com vales mais definidos)

em geral é uma função mais comportada, com fase podendo ser linear ou próxima de linear

|H(\Omega)|

H(\Omega)

Fase de

\sum_{k=-M_1}^{M_2}a_ky[n-k]=x[n]

H(\Omega) = \frac{1}{\sum_{k=-M_1}^{M_2}a_ke^{-jk\Omega}}

Sistema pode não ser ESTÁVEL

em geral tem transições nos máximos mais bruscas que a de filtros FIR de mesma ordem (picos mais definidos, mas com vales menos definidos)

em geral é uma função menos comportada, menos linear que a fase de filtros FIR

FIR

Além da origem e/ou no infinito, possíveis polos também nas raízes do denominador.

IIR

Estabilidade

Polos

Equação de Diferenças

Resposta em Frequência

Revisão Final

5) Análise de Filtros Compostos

H(\Omega) = H_1(\Omega) H_2(\Omega) H_3(\Omega)

Escreva a Resposta em Frequência como o produto de sistemas de ordem inferior

|H_1(\Omega)|, |H_2(\Omega)|,...

Analise cada sistema individualmente

Esboce os gráficos do sistema composto (somando fases e magnitudes em dB) e analise o sistema composto

\theta_1(\Omega), \theta_2(\Omega),...

\log_{10}(|H(\Omega)|^2) = \log_{10}(|H_1(\Omega)|^{2})+\log_{10}(|H_2(\Omega)|^{2})+...

\theta(\Omega) = \theta_1(\Omega) + \theta_2(\Omega) + ...

Use técnicas de inversão (frações parciais ou derivada em z/Omega) para achar a resposta ao impulso

h[n]

Revisão Final

6) IIR de primeira ordem

|H_1(\Omega)|^2=\frac{1}{1+a^2-2a\cos(\Omega)}

\theta_1(\Omega) =-\arctan\Bigl(\frac{a\sin(\Omega)}{1-a\cos(\Omega)}\Bigr)

y[n]-ay[n-1]=x[n]

a>0 - Filtro Passa Baixa

a<0 - Filtro Passa Alta

H_1(\Omega) = \frac{1}{1-ae^{-j\Omega}}

h_1[n]=a^{n}u[n]

|a| < 1

Revisão Final

Extremos da fase em:

\Omega_{ex}=\cos^{-1}(a)

7) IIR de segunda ordem

Caso 1:

z_1=z_2^{\ast} = re^{j\phi}

y[n]-a_1y[n-1]-a_2y[n-2]=x[n]

H(z) =\frac{z^2}{z^2-a_1z-a_2}=\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}

Se r < 1, o filtro é estável

H(\Omega)=H_1(\Omega-\phi) H_1(\Omega+\phi)

Neste caso os filtros de primeira ordem estão deslocados do ângulo phi:

Caso 2:

z_1 \:\textrm{e}\:z_2 \:\: \textrm{reais}

H(z) =\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}

=\frac{Az}{z-z_1}+\frac{Bz}{z-z_2}

=-\frac{z}{z_1}\frac{d}{dz}\bigl(\frac{z}{z-z_1}\bigr)

z_1\neq z_2

z_1= z_2

Dois filtros de primeira ordem em série!

h[n]=Ah_1[n]+Bh_2[n]

h[n]=\frac{1}{z_1}nh_1[n]

Revisão Final

Frequência de passagem

Fator de amortecimento

8) Amostragem

Revisão Final

Taxa de Nyquist

8) Amostragem

Revisão Final

p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]

P(\Omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-k\frac{2\pi}{N})

p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)

P(\omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\frac{2\pi}{T})

x_p(t)=x(t)p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)

X_p(\omega)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\omega-n\frac{2\pi}{T})

x_d[n]=x(nT)

X_d(\Omega)=X_p(\omega = \frac{\Omega}{T})

x(t)=\frac{\sin(\omega_0 t)}{\pi t}

X(\omega)=u(\omega +\omega_0) - u(\omega -\omega_0)

8) Amostragem em Tempo Discreto

Revisão Final

Tempo

Frequência

Multiplicar por trem de impulsos com período N (zerar amostras)

Dividir o espectro por 1/N e replicá-lo a cada

\frac{2\pi}{N}

Remover N-1 zeros entre as amostras (dizimação)

Multiplicar a frequência por N

Inserir N-1 zeros entre as amostras

Dividir a frequência por N

Interpolar

Usar um filtro de reconstrução passa-baixa

9) Interpolação

Revisão Final

x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)

10) Aliasing

Revisão Final

11) Processamento em Tempo Discreto de Sinais de Tempo Contínuo

Revisão Final

H(\Omega)=\frac{Y(\omega=\Omega/T)}{X(\omega=\Omega/T)}

\textrm{Entre }-\pi \textrm{ e }\pi

\textrm{(repete a cada }2\pi\textrm{)}

\omega_s=\frac{2\pi}{T}>2\omega_m

(possivelmente com filtro anti-aliasing)

Idealmente com filtro ideal de ganho T na banda de passagem (caso contrário revisar o filtro digital)

12) Algumas aplicações diretas da Teoria de Análise de Sinais

Revisão Final

Técnicas

Científicas

Análise de Sistemas Compostos
Projeto de Sistemas Compostos
Filtragem (remoção de artefatos, seleção de informação, etc)
Amostragem (subamostragem, sobreamostragem, etc)
Reconstrução de sinais (interpolação)
Bases do processamento digital
Desenvolvimento de softwares e jogos
Processamento de imagens

Inúmeras aplicações da análise espectral (exemplo: diagnóstico médico, estudo de mecanismos fisiológicos, sincronia e conectividade, astrofísica, geologia, ciência dos materiais, meteorologia, etc...)
Aprendizado de máquina e inteligência artificial (características no domínio da frequência)
Modelagem linear de sistemas físicos e biológicos

Revisão Final