PRINCÍPIOS E TÉCNICAS DE ELETROENCEFALOGRAFIA EM NEUROCIÊNCIA

AULA 06 - Transformada de Hilbert e a Decomposição em Modos Empíricos

Instituto de Ciência e Tecnologia

Graduação em Engenharia Biomédica

Prof. Dr. Adenauer G. Casali

Laboratório de Neuroengenharia e Computação

casali@unifesp.br

PRINCÍPIOS E TÉCNICAS DE EEG EM NEUROCIÊNCIA

A fase da decomposição tempo-frequência
A Transformada de Hilbert
Extraindo a fase com a transformada de Hilbert: mais sobre filtros
A Transformada Hilbert-Huang: modos empíricos

Adenauer G. CASALI

AULA 06

Nesta aula, nós veremos...

Wavelets

\psi(t)= g(t)e^{j\omega_0 t}

Frequência da wavelet

"Envelope"

g(t)

e^{j\omega_0 t}

\psi(t)

Parte real:

g(t)\cos(\omega_0 t)

Parte Imaginária:

g(t)\sin(\omega_0 t)

= g(t)\cos(\omega_0 t-\frac{\pi}{2})

1. Fase e Decomposição Tempo-Frequência

Princípios e Técnicas de EEG

Aula 06

Wavelet de Morlet

Parte real:

g(t)\cos(\omega_0 t)

Parte Imaginária:

g(t)\sin(\omega_0 t)

= g(t)\cos(\omega_0 t-\frac{\pi}{2})

Fonte

1. Fase e Decomposição Tempo-Frequência

Princípios e Técnicas de EEG

Aula 06

1. Fase e Decomposição Tempo-Frequência

Cohen, M. - Analyzing Neural Time Series Data (2014) - cap. 13

Princípios e Técnicas de EEG

Aula 06

1. Fase e Decomposição Tempo-Frequência

Amplitude(k,f,\tau)

Fase(k,f,\tau)

Cohen, M. - Analyzing Neural Time Series Data (2014) - cap. 13

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2. A Transformada de Hilbert

\text{Uma função $F(t)$ qualquer (que assume valores complexos) pode sempre ser expressa da forma}

F(t) = A(t) e^{j\Theta(t)} = A(t)\cos(\Theta(t))+jA(t)\sin(\Theta(t))

\text{Um sinal de EEG é uma função real $x(t)$, ou seja, deve existir algum $F(t)$ tal que}

x(t) = \Re(F(t)) = A(t)\cos(\Theta(t))

\text{Encontrar $F(t)$ cuja parte real é o sinal $x(t)$ não é tão difícil quanto parece: o que falta é a parte}

\text{imaginária, mas esta é igual à parte real trocando o cosseno por seno!}

\text{Se você tem um sinal $x(t) = A(t)\cos(\Theta(t))$, como encontrar $A(t)\sin(\Theta(t))$?}

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\text{Suponha $x(t)$ como formado por um modo de Fourier de frequência $f>0$, amplitude $a$ e fase $\theta$:}

x(t) = a\cos(ft + \theta)

\text{A transformada de Fourier deste sinal possui apenas duas componentes, nas frequências $\pm f$:}

X(\omega) = \pi e^{j\theta} \delta(\omega - f) + \pi e^{-j\theta}\delta(\omega + f)

y(t) = a\sin(ft + \theta)

\text{Agora troque o cosseno pelo seno, isto é, defina $y(t)$ assim:}

\text{Veja que neste caso a transformada de Fourier é:}

Y(\omega) = -j \pi e^{j\theta} \delta(\omega - f) + j \pi e^{-j\theta}\delta(\omega + f)

\text{É fácil de ver que $Y(\omega)$ relaciona-se com $X(\omega)$ da seguinte forma:}

\omega > 0 : Y(\omega) = -j X(\omega)

\omega < 0 : Y(\omega) = j X(\omega)

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2. A Transformada de Hilbert

\text{Suponha então um sinal qualquer $x(t)$ escrito na base de Fourier}

x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{j\omega t} d\omega= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)(\cos(\omega t) + j\sin(\omega t)) d\omega

x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{0} A(\omega)e^{j\Theta(\omega)}e^{j\omega t} d\omega+\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} A(\omega)e^{j\Theta(\omega)}e^{j\omega t} d\omega

= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} A(-\omega)e^{j\Theta(-\omega)}e^{-j\omega t} d\omega+\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} A(\omega)e^{j\Theta(\omega)}e^{j\omega t} d\omega

= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} A(\omega)e^{-j\Theta(\omega)}e^{-j\omega t} d\omega+\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} A(\omega)e^{j\Theta(\omega)}e^{j\omega t} d\omega

= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} A(\omega)\cos(\Theta(\omega)+\omega t) d\omega

\text{Fazendo $X(\omega) = A(\omega)e^{j\Theta(\omega)}$, se $x(t)$ for real, então $A(\omega)=A(-\omega)$ e $\Theta(\omega)=-\Theta(-\omega)$. Logo}

\omega \rightarrow -\omega

A(\omega)=A(-\omega)

\Theta(\omega)=-\Theta(-\omega)

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2. A Transformada de Hilbert

\text{Agora considere $y(t)$ o resultado de trocar os modos de Fourier $X(\omega)$ de $x(t)$ para $Y(\omega)$ tal que}

\omega > 0 : Y(\omega) = -j X(\omega)

\omega < 0 : Y(\omega) = j X(\omega)

y(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} Y(\omega) e^{j\omega t} d\omega

= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{0} jX(\omega) e^{j\omega t} d\omega+\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} -jX(\omega) e^{j\omega t} d\omega

= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} jX(-\omega) e^{-j\omega t} d\omega-\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} jX(\omega) e^{j\omega t} d\omega

= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} jA(\omega) e^{-j\Theta(\omega)}e^{-j\omega t} d\omega-\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} jA(\omega) e^{j\Theta(\omega)}e^{j\omega t} d\omega

= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} A(\omega) \sin({\Theta(\omega)+\omega t}) d\omega

\text{$y(t)$ é $x(t)$ trocando todos os cossenos no tempo por senos!}

\omega \rightarrow -\omega

A(\omega)=A(-\omega)

\Theta(\omega)=-\Theta(-\omega)

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2. A Transformada de Hilbert

\text{Seja $y(t)$ o sinal resultante de se trocar os modos de Fourier $X(\omega)$ de $x(t)$ por $Y(\omega)$ tal que}

\omega > 0 : Y(\omega) = -j X(\omega)

\omega < 0 : Y(\omega) = j X(\omega).

\text{Chama-se $y(t)$ da {\bf Transformada de Hilbert} de $x(t)$:}

\mathcal{H}(x(t)) = y(t)

\text{A transformada de Hilbert corresponde à parte imaginária da função $F(t)$ que tem como parte }

\text{real $x(t)$:}

F(t) = x(t) + j\mathcal{H}(x(t))

\text{$F(t)$ é chamado de {\bf sinal analítico} de $x(t)$.}

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2. A Transformada de Hilbert

\text{A transformada de Hilbert possui uma representação integral: }

y(t) = \mathcal{H}(x(t)) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau

\text{Para entender esta representação, observe que ela corresponde a uma convolução de $x(t)$ com }

h(t) = \frac{1}{\pi t}:

y(t) = \mathcal{H}(x(t)) = x(t) \ast \frac{1}{\pi t} = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau

Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)

\text{Portanto, no domínio da frequência $Y(\omega)$ é o produto: }

H(\omega) = \mathcal{F}_{\omega}(1/\pi t) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-j\omega t}}{\pi t}dt

\text{onde $H(\omega)$ é a transformada de Fourier de $h(t)$: }

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2. A Transformada de Hilbert

\text{Para resolver esta integral de $H(\omega)$, precisamos transformá-la para uma integral no plano complexo. }

\oint \frac{e^{-j\omega z}}{\pi z}dz

\text{Considere}

\text{num caminho semi-circular, tal que, se $z=t+jv = re^{j\theta}$,}

\oint = \int_{t=-R,v=0}^{t=-\epsilon,v=0} + \int_{r=\epsilon,\theta=\pi}^{r=\epsilon,\theta=0}+\int_{t=\epsilon,v=0}^{t=R,v=0}+\int_{r=R,\theta=0}^{r=R,\theta=\pi}

\text{Veja que }

\int_{r=\epsilon,\theta=\pi}^{r=\epsilon,\theta=0} \frac{e^{-j\omega z}}{\pi z} dz =-\frac{1}{2}\oint_{c}\frac{e^{-j\omega z}}{\pi z} dz

\text{E, pelo teorema de resíduos:}

\oint_c\frac{e^{-j\omega z}}{\pi z} dz = 2\pi j \text{Res}(\frac{e^{-j\omega z}}{\pi z})_{z=0}=2j

\text{Ou seja:}

0 = \oint \frac{e^{-j\omega z}}{\pi z}dz =

\int_{t=-R,v=0}^{t=-\epsilon,v=0} \frac{e^{-j\omega z}}{\pi z}dz -j +\int_{t=\epsilon,v=0}^{t=R,v=0}\frac{e^{-j\omega z}}{\pi z}dz +\int_{r=R,\theta=0}^{r=R,\theta=\pi}\frac{e^{-j\omega z}}{\pi z}dz

\text{onde $c$ é o círculo que envolve a origem no}

\text{sentido anti-horário}

\text{Pelo teorema de Cauchy, esta integral é nula.}

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2. A Transformada de Hilbert

\text{Tomando o limite de $\epsilon\rightarrow 0$, obtemos}

\text{Note que se $R\rightarrow \infty$, a primeira integral é a integral que buscamos e que resulta em $H(\omega)$.}

\int_{0}^{\pi} \frac{e^{-j\omega R(\cos(\theta) +j\sin(\theta))}}{\pi }jd\theta=\frac{j}{\pi}\int_{0}^{\pi} e^{-j\omega R\cos(\theta)}e^{\omega R \sin(\theta)}d\theta

\text{Como $\sin(\theta)>0$ nos dois quadrantes superiores, para $\omega<0$ a integral se anula quando $R\rightarrow \infty$ e}

\int_{t=-R,v=0}^{t=R,v=0} \frac{e^{-j\omega z}}{\pi z}dz +\int_{r=R,\theta=0}^{r=R,\theta=\pi}\frac{e^{-j\omega z}}{\pi z}dz

= \int_{-R}^{R} \frac{e^{-j\omega t}}{\pi t}dt +\int_{0}^{\pi}\frac{e^{-j\omega R e^{j\theta}}}{\pi Re^{j\theta}}Rje^{j\theta}d\theta

\text{A última integral pode ser escrita como:}

\text{obtemos o resultado:}

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-j\omega t}}{\pi t}dt =j,

\omega < 0

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2. A Transformada de Hilbert

\text{Para $\omega > 0$, devemos voltar à integração e fechar o semi-círculo pela parte negativa do eixo imaginário:}

\oint = \int_{t=-R,v=0}^{t=-\epsilon,v=0} + \int_{r=\epsilon,\theta=\pi}^{r=\epsilon,\theta=0}+\int_{t=\epsilon,v=0}^{t=R,v=0}+\int_{r=R,\theta=0}^{r=R,\theta=-\pi}

\text{Neste caso todo o raciocínio será o mesmo, exceto que agora a integral completa não é nula, mas}

\text{pelo teorema de resíduos:}

\oint\frac{e^{-j\omega z}}{\pi z} dz = - 2\pi j \text{Res}(\frac{e^{-j\omega z}}{\pi z})_{z=0}=-2j

\text{Ou seja:}

\oint \frac{e^{-j\omega z}}{\pi z}dz = -2j=

\int_{t=-R,v=0}^{t=-\epsilon,v=0} \frac{e^{-j\omega z}}{\pi z}dz -j +\int_{t=\epsilon,v=0}^{t=R,v=0}\frac{e^{-j\omega z}}{\pi z}dz +\int_{r=R,\theta=0}^{r=R,\theta=-\pi}\frac{e^{-j\omega z}}{\pi z}dz

\frac{j}{\pi}\int_{0}^{-\pi} e^{-j\omega R\cos(\theta)}e^{\omega R \sin(\theta)}d\theta

-j= \int_{-R}^{R} \frac{e^{-j\omega t}}{\pi t}dt +\int_{0}^{-\pi}\frac{e^{-j\omega R e^{j\theta}}}{\pi Re^{j\theta}}Rje^{j\theta}d\theta

\text{Neste caso, temos a última integral igual a}

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2. A Transformada de Hilbert

\text{Como $\sin(\theta)<0$ nos dois quadrantes inferiores, para $\omega>0$ esta integral se anula quando}

\text{ $R\rightarrow \infty$ e obtemos o resultado:}

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-j\omega t}}{\pi t}dt =-j,

\omega > 0

\text{Ou seja, se $h(t)=\frac{1}{\pi t}$, então}

H(\omega) = \mathcal{F}_{\omega}(1/\pi t) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-j\omega t}}{\pi t}dt

=-j,

\omega > 0

=j,

\omega < 0

y(t) = x(t) \ast \frac{1}{\pi t} = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau

\text{Isso significa que se $y(t)$ for o resultado da convolução:}

Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)

\text{Então}

=-jX(w),

\omega > 0

=jX(\omega),

\omega < 0

\text{De onde vemos que, de fato,}

\text{$y(t)$ é a transformada de Hilbert de $x(t)$}

y(t) = \mathcal{H}(x(t))

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2. A Transformada de Hilbert

\text{Então, se $x(t)$ for um sinal real, o sinal analítico correspondente no plano complexo $F(t)$ é}

F(t) = x(t) + j\mathcal{H}(x(t))

\text{onde $\mathcal{H}(x(t)) $ é a transformada de Hilbert de $x(t)$:}

\mathcal{H}(x(t)) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau

\text{Se representarmos $F(t)$ em forma polar, poderemos extrair uma {\bf amplitude} e uma {\bf fase} associadas }

F(t) = A(t)e^{j\Theta(t)}

\text{a $x(t)$ :}

\text{Amplitude}

\text{Fase}

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2. A Transformada de Hilbert

\omega(t) = \frac{d}{dt}\Theta(t)

\text{{\bf Frequência} instantânea: }

A(t)

\Theta(t)

x(t)

\text{$A(t)$: amplitude do sinal analítico = envelope de $x(t)$}

\text{$\Theta(t)$: fase do sinal analítico = fase instantânea de $x(t)$}

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2. A Transformada de Hilbert

3. Extraindo a fase com a Transformada de Hilbert

Source: Gómez et al., Cognitive Neurodynamics (2021)

F(t) = x(t) + j\mathcal{H}(x(t)) =A(t)e^{j\Theta(t)}

Esta fase tem informação da frequência?

A Transformada de Hilbert deve ser combinada à filtragem!

X^{(W)}(\omega,t) = x(t)\ast(w(t)e^{j\omega t})

X^{(H)}(\omega,t) = x(t)\ast(b(t)e^{j\omega t})

Tempo-frequência com wavelet:

Tempo-frequência com Hilbert:

wavelet

resposta ao impulso do filtro

Ver: Bruns, A (2004)

Principal vantagem de Hilbert: melhor controle sobre a convolução (mas essencialmente os métodos são equivalentes!)

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\omega(t) = \frac{d}{dt}\Theta(t)

em geral não é frequência física!

Mas qual filtro usar?

Prefira filtros FIR

Principal vantagem de Hilbert: melhor controle sobre a convolução

Dois métodos típicos de construção: erro quadrático mínimo, janelamento

Lembre-se: o filtro é como uma wavelet - a frequência mínima determina a ordem mínima do filtro (tipicamente a duração da resposta ao impulso deve ser de pelo menos 3 ciclos da frequência mínima)

Sempre inspecione o seu filtro!

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3. Extraindo a fase com a Transformada de Hilbert

Método 1: scipy.signal.firls

Você determina a forma ideal da resposta em frequência e o Python encontra os coeficientes do filtro FIR (fase linear) que melhor reproduz a resposta em frequência desejada (em termos de erro quadrático médio)

numtaps = número de coeficientes do filtro (número ímpar, igual à ordem do filtro + 1)

bands = vetor com as frequências para determinar a forma da resposta em frequência

desired = vetor com as amplitudes da resposta em frequência desejada nas frequências determinadas em "bands".

fs = frequencia de amostragem em hz (se deixado como "None", o vetor "bands" será em unidades de frequencia normalizada, onde 1 = taxa de Nyquist).

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3. Extraindo a fase com a Transformada de Hilbert

Método 1: scipy.signal.firls

Exemplo

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3. Extraindo a fase com a Transformada de Hilbert

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3. Extraindo a fase com a Transformada de Hilbert

Método 2: mne.filter.filter_data

Filtro FIR gerado pelo método de janelamento.

sfreq = frequencia de amostragem em hz

l_freq = frequência baixa de corte (None = passa-baixa)

h_freq = frequência alta de corte (None = passa-alta)

filter_length = ordem do filtro ('auto' = calcula em automático)

fir_window = janela usada para o filtro ('hamming', 'han' ou 'blackman')

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3. Extraindo a fase com a Transformada de Hilbert

Método 2: mne.filter.filter_data

Exemplo janelas (ordem = 102)

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3. Extraindo a fase com a Transformada de Hilbert

Tempo-Frequência no MNE:

Veja também este exemplo sobre o uso dos diferentes métodos de tempo-frequência

Hilbert: método "apply_hilbert"

Morlet (e outros): ver família de métodos "time_frequency"

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3. Extraindo a fase com a Transformada de Hilbert

A transformada de Hilbert possibilita encontrar a fase e a amplitude instantâneas do sinal. Mas o problema é que não há informação da frequência (para isso é necessário filtros).

Exceto se...

Existisse uma forma de decompor o sinal em sinais "monocomponentes" (que só possuem uma frequência)!

Essa é a ideia por trás da Transformada Hilbert-Huang

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4. A Transformada Hilbert-Huang

Todas análises baseadas na Transformada de Fourier assumem que:

Os sinais são aproximadamente estacionários, mesmo se em segmentos

Os sinais são resultados de processos lineares

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4. A Transformada Hilbert-Huang

Senos e cossenos são combinados linearmente.

Saltos nos sinais geram espectros largos e espúrios: é difícil gerar o não-linear a partir de combinações lineares!

Processos biológicos não são lineares!

A distribuição de probabilidade conjunta para um determinado número de amostras do sinal não varia no tempo.

Sinais biológicos quase nunca são estacionários!

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4. A Transformada Hilbert-Huang

\text{Vamos começar com o seguinte exemplo:}

Hilbert-Huang: encontrar uma base empírica, de onde se possa extrair uma frequência instantânea que faça sentido. Que tipo de sinal tem frequência instantânea com sentido físico?

x(t)=a+\sin(t)

\text{Note que:}

\mathcal{H}(x(t))=\mathcal{H}(a)+\mathcal{H}(\sin(t))

=\mathcal{H}(a\cos(0t))+\mathcal{H}(\cos(t-\pi/2))

=a\sin(0t)+\sin(t-\pi/2)

=-\cos(t)

\text{Portanto, o sinal analítico é:}

z(t)=x(t) + j \mathcal{H}(x(t)) = a+\sin(t) - j \cos(t)

\text{E a fase instantânea é:}

\theta(t) = t - \frac{\pi}{2}\text{,\:\:\: se $a=0$}

\theta(t) = -\arctan\Bigl(\frac{\cos(t)}{a+\sin(t)}\Bigr)\text{,\:\:\: se $a\neq 0$}

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4. A Transformada Hilbert-Huang

x(t)=a+\sin(t)

\theta(t) = t - \frac{\pi}{2}\text{,\:\:\: se $a=0$}

\theta(t) = -\arctan\Bigl(\frac{\cos(t)}{a+\sin(t)}\Bigr)\text{,\:\:\: se $a\neq 0$}

\text{Se $a=0$: }\:\:\:\omega(t) = 1

\omega(t) = \frac{d\theta}{dt}= -\frac{1}{1+\cos^2(t)/(a+\sin(t))^2} \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\cos(t)}{a+\sin(t)}\Bigr)

\text{Se $a\neq 0$: }\:\:\:

= -\frac{(a+\sin(t))^2}{(a+\sin(t))^2+\cos^2(t)} \Bigl(\frac{-\sin(t)(a+\sin(t)) -\cos^2(t) }{(a+\sin(t))^2}\Bigr)

= \frac{1+ a\sin(t)}{(a+\sin(t))^2+\cos^2(t)}

\text{Se $|a| > 1$, $\omega(t)$ assume valores negativos!}

\text{Mas $x(t)$ é um sinal real!}

Frequência instantânea só pode ser definida com sentido físico se o sinal for localmente simétrico em torno do zero, (sem "riding waves")

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4. A Transformada Hilbert-Huang

Condições para que os sinais possuam frequencia instantânea interpretável:

1.Possuir um número de cruzamentos pelo zero igual ao número de extremos (diferindo no máximo por 1).

2. Ser localmente simétrica em relação ao zero

Mais do que isso: como não usaremos senos e cossenos, esta é uma condição necessária para definir o que é uma oscilação: uma oscilação válida deve ter um zero entre dois extremos

Sem esta condição a frequência instantânea de sinal real pode ser negativa.

Sem esta condição não garantimos sinais "monocomponentes": podemos ter duas oscilações sobrepostas, ou "riding waves"

Estes sinais de base são chamados de Intrinsic Mode Functions (IMFs)

O que caracteriza uma "Intrinsic Mode Function" (critérios de parada):

1. O número de zeros do sinal difere do número de extremos no máximo por 1.

2. A média do sinal é aproximadamente zero.

Uma componente oscilatória simples (como uma senoide) possui ciclos com máximo, mínimo e dois zeros, ou seja, número de zeros é igual ao número de extremos.

Se a média não fosse zero, poderiam ocorrer oscilações "encima" de outras ondas lentas (mistura de componentes)

Mas estes são critérios empíricos: não derivam de um teorema formal

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4. A Transformada Hilbert-Huang

Estratégia para encontrar os chamados "Intrinsic Mode Function":

Identificamos os extremos locais do sinal x(t)
Construimos envelopes superior e inferior com estes extremos
Estimamos a tendência local como a média m(t) entre os envelopes. Se o sinal fosse simétrico em torno do zero, esta tendência local seria nula.
Subtraimos esta tendência do sinal e encontramos um sinal c(t) = x(t) - m(t) mais próximo de ser simétrico.
Repetimos estes passos até que o resultado satisfaça propriedades que definem os IMFs

Fonte

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4. A Transformada Hilbert-Huang

Algoritmo do EMD:

\text{Sinal: }x_k(t)

\text{Tendência: }m(t)

\text{Componente: }h(t) = x_k(t) - m(t)

\text{Satisfaz critérios para IMF?}

\text{Não:}

\text{Sim:}

x_k(t)=h(t)

k=k+1\\ c_k(t)=h(t)

x_k(t)=x_{k-1}(t) - c_k(t)

\text{Começa com $k=0$ e }x_0(t) = x(t)

\text{$x_{k}(t)$ é resíduo?}

\text{Sim: parada}

\text{Não: repete}

Critérios para ser resíduo:

1. Monotônico (menos que 2 extremos)

2. Energia muito pequena (irrelevante na construção do sinal)

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4. A Transformada Hilbert-Huang

\text{Tipicamente: }K\approx \log_2(N)

Ao fim do processo:

x(t)=\sum_{k=1}^{K}c_k(t) + r(t)

Sinal original

IMFs

Resíduo

\mathcal{H}(x(t))\approx \sum_{k=1}^{K}\mathcal{H}(c_k(t))

c_k(t)\approx A_{k}(t) \cos(\phi_{k}(t))

\omega_k(t) = \frac{d}{dt}\phi_{k}(t)

\text{A transformada de Hilbert de cada modo $c_k(t)$ revela a fase e amplitude instantâneas}

\text{ na frequência do modo, $\omega_k$}

\text{O conjunto $A_k(t), \phi_k(t)$ e $\omega_k(t)$ forma o espectro de Hilbert-Huang}

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4. A Transformada Hilbert-Huang

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4. A Transformada Hilbert-Huang

Resíduo

Sinal

IMFs

Fonte: Huang et al., 1998

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4. A Transformada Hilbert-Huang

Cada IMF tem uma faixa de frequência local diferente (primeiros mais rápidos, últimos mais lentos)
Como os IMFs tem media aproximadamente zero, o produto de dois IMFs com frequência distintas oscila rapidamente em torno do zero e portanto possui média próxima a zero.
Correlação entre IMFs portanto tende a zero

IMFs são aproximadamente ortogonais!