PRINCÍPIOS E TÉCNICAS DE ELETROENCEFALOGRAFIA EM NEUROCIÊNCIA
AULA 08 - PRÉ-PROCESSAMENTO DO EEG (parte I)
Instituto de Ciência e Tecnologia
Graduação em Engenharia Biomédica
Prof. Dr. Adenauer G. Casali
Laboratório de Neuroengenharia e Computação
casali@unifesp.br
PRINCÍPIOS E TÉCNICAS DE EEG EM NEUROCIÊNCIA
- Princípios do pré-processamento de EEG
- Filtragem: quando e como passar filtros?
- Artefatos de estimulação: o artefato magnético
- Inspeção visual de épocas e canais
- Removendo artefatos com a Análise de Componentes Principais
Adenauer G. CASALI
AULA 08
Nesta aula, nós veremos...
Princípios e Técnicas de EEG
Aula 08
1. Princípios do pré-processamento do EEG
Princípio 1: Não remova o que você não sabe o que é
Princípio 2: Não existe método perfeito
Princípio 3: Ser objetivo é bom mas lembre-se que o mapa não é o território
Princípio 4: O método serve ao sinal e não o sinal ao método
O Cérebro é complexo!
Se um método é eficiente para remover artefato, então o mesmo método pode acabar removendo atividade neural ou mesmo produzindo artefatos no sinal
Automatizar nem sempre é a solução
Experiência de identificar o que é relevante pode ser importante (análise "às cegas")
O sinal é quem manda (não esqueça de conferi-lo!)
Desconfie sempre (não esqueça de pensar!)
2. Filtragem
O que é um filtro digital?
\sum_{k}b_ky[n-k]=\sum_la_lx[n-l]
x[n]
y[n]
Filtro
y[n]=\sum_k h[k] x[n-k]
Y(\Omega)=H(\Omega)X(\Omega)
h[n]
H(\Omega)
No tempo:
Na frequência:
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Filtro causal
Filtro não causal
Descrição alternativa:
No tempo...
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Na frequência...
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Na frequência...
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Sinal filtrado em um determinado tempo é o resultado de somas ponderadas do próprio sinal ao redor deste tempo
Atenção com a filtragem de épocas (especialmente com filtragem passa-alta)
Filtrando sinais segmentados
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Uso de filtro passa-alta
Luck, S. J. - An Introduction to the Event-Related Techinque (2014) - cap. 7
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Uso de filtro passa-alta
Luck, S. J. - An Introduction to the Event-Related Techinque (2014) - cap. 7
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Filtrando sinais com artefatos do tipo "descontinuidade"
Atenção ao fenômeno de Gibbs (com filtragem passa-baixa)
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Distorções de fase produzidas por filtragem
filtro causal
"filtfilt"
"ringing"
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Distorções de fase produzidas por filtragem
passa-baixa
passa-alta
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Distorções de banda estreita: resposta ao impulso
"Boxcar" (50 ms)
Mesmo que o anterior com filtfilt
"Butterworth" passa-baixa (10Hz, ordem 8)
"Butterworth" passa-baixa (20Hz, ordem 8)
Mesmo que o anterior com filtfilt
"Butterworth" passa-banda (10-20Hz, ordem 8)
"Butterworth" passa-banda (10-20Hz, ordem 2)
"Butterworth" passa-banda (10-12Hz, ordem 2)
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Distorções de banda estreita: resposta ao degrau
Mesmo que o anterior com filtfilt
"Butterworth" passa-baixa (10Hz, ordem 8)
Mesmo que o anterior com filtfilt
"Butterworth" passa-banda (10-20Hz, ordem 2)
"Butterworth" passa-banda (10-12Hz, ordem 2)
"Butterworth" passa-alta (10Hz, ordem 2)
"Butterworth" passa-alta (10Hz, ordem 8)
Mesmo que o anterior com filtfilt
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Quando não filtrar?
Quando há informação útil na banda filtrada (óbvio!)
Quando o filtro introduz distorções nas mesmas escalas temporais dos potenciais de interesse (por exemplo, na morfologia dos ERPs!)
Efeitos de filtragem passa-alta
Quando o filtro introduz atividades oscilatórias em bandas de interesse do EEG
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
Como filtrar? Regras gerais:
- Evite filtros de banda estreita ou notch
- Passa-alta? Prefira filtrar o dado contínuo sempre que possível
- Evite filtros de ordem elevada
- Considere remover os artefatos mais promenientes ANTES de aplicar filtragem
- Conheça o seu filtro e considere o que você quer medir
- Teste versões distintas
- Prefira filtros de fase-zero ou "filtfilt" sempre que possível
Princípios e Técnicas de EEG
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2. Filtragem
FILTROS NO MNE:
Inspecionar o filtro: https://mne.tools/stable/generated/mne.viz.plot_filter.html#mne.viz.plot_filter
Filtrar dados raw: https://mne.tools/stable/generated/mne.io.Raw.html#mne.io.Raw.filter
Filtrar dados segmentados: https://mne.tools/stable/generated/mne.Epochs.html#mne.Epochs.filter
Princípios e Técnicas de EEG
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3. Artefatos de estimulação: o artefato magnético
Exemplo de artefato que precisa ser removido antes de QUALQUER etapa de pré-processamento
Fonte: Rogasch et al., 2017
Princípios e Técnicas de EEG
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3. Artefatos de estimulação: o artefato magnético
Método mais comum de remoção: cortar e substituir o dado (1 a 2ms antes, 5 a 10ms depois)
- Cortar o sinal e interpolar (interpolação cúbica)
2. Cortar o sinal e substituir por trecho anterior
Fonte: Hernandez-Pavon et al., 2023
Fonte: Rogasch et al., 2022
Magnético
"Decay"
Músculo
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4. Inspeção visual de épocas e canais
Quando remover épocas?
Quando remover canais?
No que atentar?
Posso filtrar antes?
Posso reamostrar antes?
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4. Inspeção visual de épocas e canais
Princípios e Técnicas de EEG
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4. Inspeção visual de épocas e canais
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4. Inspeção visual de épocas e canais
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4. Inspeção visual de épocas e canais
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4. Inspeção visual de épocas e canais
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4. Inspeção visual de épocas e canais
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4. Inspeção visual de épocas e canais
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4. Inspeção visual de épocas e canais
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4. Inspeção visual de épocas e canais
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4. Inspeção visual de épocas e canais
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4. Inspeção visual de épocas e canais
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4. Inspeção visual de épocas e canais
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4. Inspeção visual de épocas e canais
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4. Inspeção visual de épocas e canais
Princípios e Técnicas de EEG
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\textrm{\bf X} = \{x_{ki}\},\:\:k=1\dots L,\:\: i=1\dots N
\vec{x}_i=\begin{pmatrix}
x_{1i}\\
x_{2i} \\
\vdots\\
x_{Li}
\end{pmatrix}
\textrm{\bf X}=\begin{pmatrix}
x_{11} & ... & x_{1N}\\
\vdots & &\vdots\\
x_{L1} & ... & x_{LN}
\end{pmatrix}
Registro de EEG completo no instante de tempo i:
Matriz canais por tempo:
Canais
Amostras
5. Análise de Componentes Principais
O que é a PCA?
Notação:
Vetor no "espaço do EEG"
Princípios e Técnicas de EEG
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\textrm{\bf C}_{X} = E[\vec{x}\vec{x}^{T}] = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\vec{x}_i\vec{x}_i^{T}
\vec{x}_i\vec{x}_i^{T}=\begin{pmatrix}
x_{1i}\\
\vdots\\
x_{Li}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_{1i} & \dots & x_{Li}\\\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
x_{1i}^2 & x_{1i}x_{2i} & ... & x_{1i}x_{Li}\\
\vdots & & & \vdots\\
x_{Li}x_{1i} & x_{Li}x_{2i} &... & x_{Li}^2
\end{pmatrix}
Transformação Linear no Espaço do EEG:
\vec{y}_i= \textrm{\bf A} \vec{x}_i
Suponha que os sinais sejam normalizados tal que
E[\vec{x}]= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \vec{x}_i = 0
Nesse caso a covariância entre os canais é igual à matriz de autocorrelação:
5. Análise de Componentes Principais
Princípios e Técnicas de EEG
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P(x,y|C)
Probabilidade de se observar as variáveis x e y dado que a condição C é satisfeita
E[x]=\int xP(x,y|C)dxdy
=\int xP(x|C)dx = \mu_x
E[y]=\int yP(x,y|C)dxdy
=\int yP(y|C)dy = \mu_y
E[x^2]=\int x^2P(x,y|C)dxdy
Primeiros momentos estatísticos
E[xy]=\int xyP(x,y|C)dxdy
Segundos momentos estatísticos:
=\int x^2P(x|C)dx = \sigma_x^2+\mu_x^2
E[y^2]=\int y^2P(x,y|C)dxdy
=\int y^2P(y|C)dy = \sigma_y^2+\mu_y^2
Correlação entre x e y
=\text{Cov}(x,y) + \mu_x \mu_y
Covariância entre x e y
5. Análise de Componentes Principais
Mas o que significa a matriz de covariância??
Princípios e Técnicas de EEG
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E[xy]=\int xyP(x,y|C)dxdy
\sigma_x^2 = E[x^2]-\mu_x^2
\sigma_y^2 = E[y^2]-\mu_y^2
\text{Cov}(x,y) = E[xy]- \mu_x \mu_y
= E[(x-\mu_x)^2]
= E[(y-\mu_y)^2]
=\int xyP(x|C)P(y|C)dxdy
=\Bigl(\int xP(x|C)dx\Bigr)\Bigl( \int yP(y|C)dy\Bigr)
=\mu_x \mu_y
Se as variáveis forem independentes:
\text{Cov}(x,y) = 0
Segundos momentos:
5. Análise de Componentes Principais
Mas o que significa a matriz de covariância??
Princípios e Técnicas de EEG
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\Sigma_{ij} = E[x_ix_j]-\mu_i \mu_j
\Sigma=\begin{pmatrix}
\Sigma_{1,1} & \Sigma_{1,2} & \cdots & \Sigma_{1,L} \\
\Sigma_{2,1} & \Sigma_{2,2} & \cdots & \Sigma_{2,L} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\Sigma_{L,1} & \Sigma_{L,2} & \cdots & \Sigma_{L,L}
\end{pmatrix}
Matriz de Covariância
\Sigma_{ii} = E[x_i^2]-\mu_i^2 = \sigma_i^{2}
Termos da Diagonal:
quantifica as variâncias de cada variável
Fora da Diagonal: quantifica a força da relação linear entre as variáveis!
Matriz simétrica e positivo-definida.
(Os autovetores da covariância formam uma base ortonormal do espaço!)
5. Análise de Componentes Principais
A matriz de covariância
Princípios e Técnicas de EEG
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\Sigma_{ij} = E[x_ix_j]-\mu_i \mu_j = E[(x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)]
\begin{pmatrix}
(x_{1}-\mu_1) & (x_{2}-\mu_2) & \dots & (x_{L}-\mu_L )
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(x_{1}-\mu_1)\\
(x_{2}-\mu_2)\\
\vdots\\
(x_{L}-\mu_L )
\end{pmatrix}
(\vec{x}-\vec{\mu})^{T}=
(\vec{x}-\vec{\mu})=
(\vec{x}-\vec{\mu})\times (\vec{x}-\vec{\mu})^{T}=\begin{pmatrix}
(x_1-\mu_1)^2 & (x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2) & \cdots & (x_1-\mu_1)(x_L-\mu_L) \\
(x_2-\mu_2)(x_1-\mu_1) & (x_2-\mu_2)^2 & \cdots & (x_2-\mu_2)(x_L-\mu_L) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(x_L-\mu_L)(x_1-\mu_1) & (x_L-\mu_L)(x_2-\mu_2) & \cdots & (x_L-\mu_L)^2
\end{pmatrix}
\Sigma = E[(\vec{x}-\vec{\mu})\times (\vec{x}-\vec{\mu})^{T}]
vetor coluna
vetor linha
5. Análise de Componentes Principais
Mas o que significa a matriz de covariância??
Princípios e Técnicas de EEG
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\vec{\mu} = \begin{pmatrix}
-6\\
6
\end{pmatrix}
\Sigma = \begin{pmatrix}
1 & 0.5\\
0.5 & 0.5
\end{pmatrix}
Distribuição de Probabilidade Gaussiana
P=0.318
P=0.13
P=0.04
5. Análise de Componentes Principais
Exemplo em duas dimensões:
Princípios e Técnicas de EEG
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\Sigma = \begin{pmatrix}
1 & 0.5\\
0.5 & 0.5
\end{pmatrix}
\Sigma = \begin{pmatrix}
1 & 0.2\\
0.2 & 1
\end{pmatrix}
5. Análise de Componentes Principais
Exemplos em duas dimensões:
Princípios e Técnicas de EEG
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\textrm{\bf C}_{X} = E[\vec{x}\vec{x}^{T}] = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\vec{x}_i\vec{x}_i^{T}
Após diagonalizar a matriz de covariância:
\vec{a}_k
\lambda_k
\textrm{\bf C}_{X}\vec{a}_k=\lambda_k \vec{a}_k
\vec{a}_k^T\vec{a}_l =\delta_{k,l}
Supondo que possamos encontrar L autovetores ortonormais:
O conjunto
\{\vec{a}_k\}
formará uma base ortonormal do espaço do EEG.
Autovetores
Autovalores
5. Análise de Componentes Principais
Transformação Linear no Espaço do EEG:
\vec{y}_i= \textrm{\bf A} \vec{x}_i
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\textrm{\bf A} = \begin{pmatrix}
\vec{a}_{1}^{T} (1 \times L)\\
\vec{a}_{2}^{T} (1 \times L)\\
\vdots\\
\vec{a}_{L}^{T} (1 \times L)
\end{pmatrix}
Nesse caso, podemos definir a seguinte matriz quadrada de transformação:
Veja que:
\vec{y}_i= \textrm{\bf A} \vec{x}_i
y_{ki}= \vec{a}_k^{T} \vec{x}_i
é a projeção do potencial (tempo i) no autovetor k
y_{ki}
E[\vec{y}\vec{y}^{T}] = E[\textrm{\bf A} \vec{x} (\textrm{\bf A} \vec{x} )^T]
Observe ainda que:
= E[\textrm{\bf A} \vec{x}\vec{x}^T\textrm{\bf A}^T]
= \textrm{\bf A} E[\vec{x}\vec{x}^T]\textrm{\bf A}^T
= \textrm{\bf A} \textrm{\bf C}_X\textrm{\bf A}^T
\textrm{\bf C}_Y= \textrm{\bf A} \textrm{\bf C}_X\textrm{\bf A}^T
A matriz de covariância de Y é o resultado da transformação linear da covariância de X pela matriz A.
5. Análise de Componentes Principais
Transformação Linear no Espaço do EEG:
\vec{y}_i= \textrm{\bf A} \vec{x}_i
Princípios e Técnicas de EEG
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\textrm{\bf A} = \begin{pmatrix}
\vec{a}_{1}^{T} (1 \times L)\\
\vec{a}_{2}^{T} (1 \times L)\\
\vdots\\
\vec{a}_{L}^{T} (1 \times L)
\end{pmatrix}
Lembre que:
Logo, como os autovetores são ortonormais:
\textrm{\bf C}_Y= \textrm{\bf A} \textrm{\bf C}_X\textrm{\bf A}^T
\textrm{\bf C}_{X}\vec{a}_k=\lambda_k \vec{a}_k
\textrm{\bf C}_X\textrm{\bf A}^{T} = \begin{pmatrix}
\lambda_1\vec{a}_{1} & \lambda_2\vec{a}_{2} & \dots&
\lambda_L\vec{a}_{L}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\
\vdots & & & \vdots \\
0 & 0 & \dots & \lambda_L
\end{pmatrix}
5. Análise de Componentes Principais
Transformação Linear no Espaço do EEG:
\vec{y}_i= \textrm{\bf A} \vec{x}_i
Princípios e Técnicas de EEG
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\textrm{\bf A} = \begin{pmatrix}
\vec{a}_{1}^{T} (1 \times L)\\
\vec{a}_{2}^{T} (1 \times L)\\
\vdots\\
\vec{a}_{L}^{T} (1 \times L)
\end{pmatrix}
\textrm{\bf C}_Y = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\
\vdots & & & \vdots \\
0 & 0 & \dots & \lambda_L
\end{pmatrix}
na nova base definida pelos autovetores da covariância de X:
\textrm{\bf C}_{X}\vec{a}_k=\lambda_k \vec{a}_k
Após a transformação, a matriz de covariância entre as componentes será diagonal:
Mas é sempre possível encontrar uma base ortonormal?
Teorema espectral da álgebra: matriz de covariância é real, simétrica e positivo-definida!
5. Análise de Componentes Principais
PCA: transformação Linear no Espaço do EEG
\vec{y}_i= \textrm{\bf A} \vec{x}_i
Princípios e Técnicas de EEG
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\textrm{\bf A} = \begin{pmatrix}
\vec{a}_{1}^{T} (1 \times L)\\
\vec{a}_{2}^{T} (1 \times L)\\
\vdots\\
\vec{a}_{L}^{T} (1 \times L)
\end{pmatrix}
Transformação KL (Karhunen-Loeve): transformação ortonormal do espaço, rodando-o para a base de autovetores que diagonaliza a covariância entre os dados originais:
\vec{y}_i= \textrm{\bf A} \vec{x}_i
\textrm{\bf C}_Y = \begin{bmatrix}
\lambda_1 & & & & & & \\ & \lambda_2 & & & & &\\ & & \ddots & & & & \\ & & & \lambda_m & & & \\ & & & & \lambda_{m+1} & & \\ & & & & & \ddots & \\ &&&&&&\lambda_{L}
\end{bmatrix}
\textrm{\bf C}_{X}\vec{a}_k=\lambda_k \vec{a}_k
Uso possível de KL: compressão dos dados reduzindo a dimensão: ordenar os autovalores do maior para o menor e selecionar o espaço de dimensão desejada
5. Análise de Componentes Principais
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Exemplo: espaço em três dimensões
\vec{x}=x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + x_3\vec{e}_3
5. Análise de Componentes Principais
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\vec{x}=(\vec{x}. \vec{a}_1) \vec{a}_1 + (\vec{x}. \vec{a}_2) \vec{a}_2 + (\vec{x}. \vec{a}_3) \vec{a}_3
\textrm{VAR}(\vec{x})=\lambda_1 \vec{a}_1 + \lambda_2 \vec{a}_2 + \lambda_3 \vec{a}_3
Exemplo: espaço em três dimensões
\vec{x}=x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + x_3\vec{e}_3
5. Análise de Componentes Principais
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\vec{x}=(\vec{x}. \vec{a}_1) \vec{a}_1 + (\vec{x}. \vec{a}_2) \vec{a}_2 + (\vec{x}. \vec{a}_3) \vec{a}_3
\textrm{VAR}(\vec{x})=\lambda_1 \vec{a}_1 + \lambda_2 \vec{a}_2 + \lambda_3 \vec{a}_3
\vec{x}\approx\hat{\vec{x}}=(\vec{x}. \vec{a}_1) \vec{a}_1 + (\vec{x}. \vec{a}_2) \vec{a}_2
é a melhor aproximação, em termos do erro quadrado médio, do vetor original em um espaço de dimensão fixa.
\hat{\vec{x}}
Exemplo: espaço em três dimensões
\vec{x}=x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + x_3\vec{e}_3
5. Análise de Componentes Principais
Princípios e Técnicas de EEG
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5. Análise de Componentes Principais
Uso da PCA na remoção de artefatos:
- Um artefato específico pode estar descorrelacionado da atividade neural
- Neste caso: a rotação da PCA isolaria a componente artefatual!
- Estratégia: rodar o espaço, remover a componente artefatual e retornar ao espaço original!
\vec{y}_i = \textrm{\bf A} \vec{x}_i
\vec{x}_i
\textrm{\bf A}
(L\times 1)
(L\times L)
\tilde{\vec{y}}_i
(L\times 1)
(l\times 1)
\tilde{\textrm{\bf A}}
(l\times L)
\tilde{\vec{x}}_i = \tilde{\textrm{\bf A}}^{T}\tilde{ \vec{y}}_i
(l< L)
Principal aplicação: artefatos oculares
Princípios e Técnicas de EEG
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5. Análise de Componentes Principais
Exemplo com ECG:
Princípios e Técnicas de EEG
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5. Análise de Componentes Principais
Exemplo para remoção de artefato ocular
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5. Análise de Componentes Principais
Exemplo para remoção de artefato ocular
Princípios e Técnicas de EEG
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Próximas Aulas:
AULA 09 (Tópicos Avançados) - Teorema de Shannon (parte II)
AULA 10 - Pré-processamento do EEG (parte II)
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