RADIO-AIDE
3e COPIL - WP3
Alain TROUVÉ & Anton FRANÇOIS
ENS Paris Saclay - Centre Borelli
Objectifs Initiaux
- Retrouver l'historique des pixels dans le temps.
- Analyser les composantes géométriques longitudinales. (compression, dilatation, ré-allocation)
Metamorphoses
non-linear image registration:
Image registration
temporal
Anton François - 12/02/2025
Metamorphoses : En Bref
LDDMM can reach only images with same topology
Ajoute des intensité ou ré-alloue des classes. Permettant des changements de topologies.
\[\partial_t I_t = \sqrt{\rho}v_t \cdot \nabla I_t\]
\[+ \sqrt{1 - \rho} z_t\]
Topology and appearances variations
Anton François - 12/02/2025
Metamorphoses : En Bref
Metamorphoses
Deforme à l'aide d'un flot de champs de vecteurs
Metamorphosis
Source
Target
LDDMM
Anton François - 12/02/2025
Metamorphoses : En Bref
Découpage du Projet:
- Fournir un package stable et documenté.
- Théoriser & Implementer les Métamorphoses sur le simplex.
- Contrôle de la balance déplacement vs Réallocation
- Pré-processing recalage rigide.
- Couplage recalage Métamorphoses + Rigide
- Analyse longitudinale
Découpage du Projet:
- Fournir un package stable et documenté.
Découpage du Projet:
2. Théoriser & Implementer les Métamorphoses sur le simplex.
The standard \(n\)-Simplex is the subset of \(\mathbb R^{n+1}\) given by
$$\Delta^n = \left\{p \in \mathbb R^{n+1} : \forall i \in \{1,\cdots,n+1\}, p_i > 0; \sum_{i=1}^{n+1} p_i = 1\right\}.$$
A path on the 2-Simplex
fig from [Jasminder, 2020]
Why the simplex rather than images:
- pixel colour does have a "meaning"
- Does not change depending on the preprocessing => Data confidence increased
- notion of uncertainty
Data from :
Let \(q\) be the "simplex image", (\(q(x) \in \Delta^n\)) and \(\tilde q : \Delta^n \mapsto S^n = \sqrt q\) the isometry from the simple on the sphere. We set its evolution such that:
\[\partial_t\tilde q = -\sqrt{\rho} \nabla \tilde q \cdot v + \sqrt{1 - \rho} z; \qquad\rho \in \mathbb R\]
Let \(H\) be the Hamiltonian defined such that,
\[H(\tilde q,p,v,z) = (p|\partial_t \tilde q) - \frac 12\|v\|_V^2 -\frac 12\|z\|_2^2\]
By computing the variations of H with respect to \(\tilde q,p,v,z\) we retrieve the geodesic equations
$$\left\{\begin{array}{rl} \dot {\tilde q_t} &= - \sqrt{\rho} \nabla \tilde q_t \cdot v_t + \sqrt{1 -\rho} z_t\\ \dot p_t &= - \sqrt{\rho} \mathrm{div}(p_t \otimes v_t) - \sqrt{1 -\rho}<p_t, \tilde q_t>z_t\\ z_t &= \sqrt{1 - \rho} (p_t - (\sum_{i=1}^{n+1} p_{t,i} \tilde q_{t,i})\tilde q_t)\\ v_t &= - \sqrt{\rho} K_V\left(\sum_{i=1}^{n+1} p_{t,i}\nabla \tilde q_{t,i} \right)\end{array}\right.$$
Metamorphosis on the Probability simplex
Metamorphosis on the Probability simplex
\(\rho = 1\) Pure Déformation
\(\rho = 0\) Ré-allocation
\(\rho = 0.5\) Pure Déformation
Nous avons besoin de vous !:
Pour choisir des paramètres qui ont du sens par rapport aux Glioblastomes.
3. Contrôle de la balance déplacement vs Réallocation
- Isométrie par rapport à la taille de l'image
- Meilleur contrôle des paramètres. \((\sigma, \rho)\)
Découpage du Projet:
Nouveaux Noyaux
Anisotropric volume normalized Gaussian kernel
Let \(\sigma=(\sigma_h)_{1\leq h\leq d}\) be the standard deviation along the different coordinate in \(\mathbb R^d\) and \(B=B(0,1)\) the closed ball of radius 1. We denote \(D=\text{diag}(\sigma_h^2)\) and we consider the kernel
$$K_{AVNG}(x,y)=\frac{1}{\mathrm{Vol}(D^{1/2} B)}\exp\left(-\frac{1}{2}\langle D^{-1}(x-y),(x-y)\rangle\right)D.$$
call the anisotropic volume normalized gaussian kernel (AVNG kernel).
3. Contrôle de la balance déplacement vs Réallocation
Découpage du Projet:
Anisotropric volume normalized Gaussian kernel
Let \(\sigma=(\sigma_h)_{1\leq h\leq d}\) be the standard deviation along the different coordinate in \(\mathbb R^d\) and \(B=B(0,1)\) the closed ball of radius 1. We denote \(D=\text{diag}(\sigma_h^2)\) and we consider the kernel
$$K_{AVNG}(x,y)=\frac{1}{\mathrm{Vol}(D^{1/2} B)}\exp\left(-\frac{1}{2}\langle D^{-1}(x-y),(x-y)\rangle\right)D.$$
call the anisotropic volume normalized gaussian kernel (AVNG kernel).
$$K_{AS-ANG}(x,y) = \int_{0}^{k+1} K_{{AVNG}}(x,y;2^{-u}\sigma ) du$$
All Scales - Anisotropic Normalised Gaussian Kernel
is a continuous Integration of the \(K_{AVNG}\) kernel:
3. Contrôle de la balance déplacement vs Réallocation
Découpage du Projet:
Découpage du Projet:
4. Pré-processing recalage rigide.
Stage avec Clara TROMPETTE
Initialement, les images ne sont:
- Pas alignés les unes aux autres.
- Pas échantionnées également
Découpage du Projet:
5. Couplage recalage Métamorphoses + Rigide
Collaboration avec Thomas PIERRON et Rayane MOUHLI
Découpage du Projet:
6. Analyse longitudinale
Metamorphose : Chemin Geodésique.
Découpage du Projet:
6. Analyse longitudinale
Metamorphose : Chemin Geodésique.
Découpage du Projet:
6. Analyse longitudinale
Metamorphose : Chemin Geodésique.
Découpage du Projet:
6. Analyse longitudinale
Metamorphose : Chemin Geodésique.
Le recalage n'est jamais exact.
Régularité des trajectoires ?
Il reste beaucoup de questions ouvertes
RADIO-AIDE
By Anton FRANCOIS
