Mystery curves

Goal:

Explore mystery curves

Mystery curves

Intuitive definition of mystery curves.
How to construct these curves
Explore some of its mathematical properties.
Propose a challenge for you.

Route

1. Definition

\left\{ \begin{array}{l} x(t) \\ y(t) \end{array} \right. a\leq t \leq b

Epicycles

\big(x(t) , y(t) \big)

Simple rotations

\left\{ \begin{array}{l} R \cos( \omega t) \\ R\, \text{sen}(\omega t) \end{array} \right. 0\leq t \leq 2\pi

1. Definition

\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t)\\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) \end{array} \right.

1. Definition

Double rotations

\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.

1. Definition

🤔

2. Construction in GeoGebra

R_1 = 1, R_2 = \frac{1}{2}, R_3 = \frac{1}{3}

\omega_1 = 1, \omega_2 =6, \omega_3 = -14

Mystery curve = ?

Steps to contruct Epicycles

A = (0, 0)
c = Circle(A, 1)
B = Point(c)
t = Slider(0, 2 pi, 0.001, 0.4)
B' = Rotate(B, t)
v1 = Vector(A, B')
d = Cricle(B', 1/2)
C = Point(d)
C' = Rotate(C, 6 * t, B')
e = Circle(C', 1/3)
v2 = Vector(B', C')
D = Point(e)
D' = Rotate(D, -14 * t, C')
v3 = Vector(C', D')
lugar1 = Locus(D', t)

a.k.a. GeoGebra Script

2. Construction in GeoGebra

Steps to construct mystery curve

R1 = 1
R2 = 1/2
R3 = 1/3
w1 = 1
w2 = 6
w3 = -14
fx(x) = R1 * cos(w1 * x) + R2 * cos(w2 * x) + R3 * cos(w3 * x)
fy(x) = R1 * sen(w1 * x) + R2 * sen(w2 * x) + R3 * sen(w3 * x)
a = Curva(fx(t), fy(t), t, 0, 2 pi)

a.k.a. GeoGebra Script

2. Construction in GeoGebra

3. Rotational symmetry exploration

{1, 6, -14}

3. Rotational symmetry exploration

¿Qué relación existe entre las frecuencias \(\{1, 6, -14\}\) y la simetría rotacional de orden \(5\)?

🤔

3. Rotational symmetry exploration

\(1-6=-5\)

\(6-(-14)=20\)

\(1-(-14)=15\)

El máximo común divisor de \(-5, 20,\) y \(15\) es:

\(1, 6\) y \(-14\) son congruentes con 1 módulo 5

\(1,6,-14 =1 \left(\text{mod} \, 5\right)\)

3. Rotational symmetry exploration

1. Busca simetrías rotacionales de orden 3 y 4.

2. ¿Cuál es el orden de simetría rotacional para la terna 2, 8, -10?

Nota: Observa que la terna 2, 8 y -10 tiene como factor común a 2.

3. Rotational symmetry exploration

Actividad

Define los valores de \(R_1\), \(R_2\) y \(R_3\) usando el comando
- UniformeAleatorio( <Mínimo>, <Máximo> )
  - Da por resultado un número real aleatorio a partir de una distribución uniforme en el intervalo [Mínimo, Máximo].
Define los valores de \(\omega_1\), \(\omega_2\) y \(\omega_3\) usando el comando
- AleatorioEntre( <Mínimo> , <Máximo> )
  - Genera un número entero aleatorio entre el mínimo y el máximo (inclusive).

Ejemplo:

R1 = UniformeAleatorio(0.5, 4.5)
w1 =  AleatorioEntre(0, 9)

3. Crea un botón con el comando ActualizaConstrucción()

3. Rotational symmetry exploration

Ejemplo:

R1 = UniformeAleatorio(0.5, 4.5)
w1 =  AleatorioEntre(0, 9)

3. Crea un botón con el comando ActualizaConstrucción()

Actividad

3. Rotational symmetry exploration

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Actividad

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3. Rotational symmetry exploration

c(t) = \left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.

4. Más Curvas misteriosas

0\lt R_i\in \mathbb R, \;\omega_i\in \mathbb Z

(\cos t, \text{sen}\, t)

=\cos t + i \,\text{sen} \,t

= e^{i t}

\big(R_1 \cos (\omega_1 t), R_1 \text{sen} (\omega_1 t)\big)

= R_1e^{i \omega_1 t}

i = \sqrt{-1}

4. Más Curvas misteriosas

c(t)= R_1e^{ \omega_1 i t}+R_2e^{ \omega_2 i t}+R_3e^{ \omega_3 i t}

0\lt R_i\in \mathbb R, \;\omega_i\in \mathbb Z

c(t)= C_1e^{ \omega_1 i t}+C_2e^{ \omega_2 i t}+C_3e^{ \omega_3 i t}

C_i\in \mathbb C, \;\omega_i\in \mathbb Z

4. Más Curvas misteriosas

c(t) = e^{it} + \dfrac{1}{2}e^{6 i t} + \dfrac{i}{3}e^{-14 i t}

4. Más Curvas misteriosas

c(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos( t) +1/2\cos(6 t) +1/3\,\text{sen}(14 t) \\ \,\text{sen}( t) +1/2 \,\text{sen}(6 t) +1/3 \cos(14 t) \end{array} \right.