Juan Carlos Ponce Campuzano
Independent Mathematics Educator
Simulación del péndulo simple y amortiguado
Usando ecuaciones diferenciales
Contenido
- Explorar el modelo matemático para el péndulo
- Simple y Amortiguado
- Usar GeoGebra para modelar el movimento del péndulo.
Modelación
- Barra rígida, ingrávida y no experimenta fricción.
- Todo el peso se concentra en su masa sujeta al extremo.
Condiciones:
Modelación
Parámetros:
- Masa .
- Longitud de la barra .
- Posición inicial.
- Ángulo .
- Arco .
- Tiempo .
Variables:
Constantes:
- Gravedad .
Modelación
- Aceleración angular
- Aceleración gravitacional
Fuerza tangencial:
F = m\cdot a
Segunda Ley del Movimiento de Newton
- Aceleración angular
\theta = \dfrac{s}{L}
s = L \cdot \theta
s'' = L \cdot \theta ''
a = L \cdot \theta ''
m\cdot a = m\cdot L \cdot \theta ''
F = m\cdot a = m\cdot L \cdot \theta ''
F = m\cdot L \cdot \theta ''
s' = L \cdot \theta '
Modelación
- Aceleración angular
F = m\cdot L \cdot \theta ''
Modelación
- Aceleración gravitacional
F = - m\cdot g \cdot \text{sen } \theta
Modelación
- Aceleración gravitacional
F = - m\cdot g \cdot \text{sen } \theta
Modelación
Aceleración angular y Aceleración gravitacional
F = - m\cdot g \cdot \text{sen } \theta
F = m\cdot L \cdot \theta ''
m\cdot L \cdot \theta '' =- m\cdot g \cdot \text{sen } \theta
\theta '' =- \dfrac{g}{L} \text{sen } \theta
\theta '' + \dfrac{g}{L} \text{sen } \theta =0
y
Modelación
\theta '' + \dfrac{g}{L} \text{sen } \theta =0
Modelación
Aceleración angular y Aceleración gravitacional
\theta '' + \dfrac{g}{L} \text{sen } \theta =0
Posición del péndulo
x_p = L \,\text{sen }\theta \quad \text{y} \quad y_p = -L \cos \theta
Movimiento del péndulo simple
Simulación
Resuelve numéricamente un sistema de ecuaciones diferenciales.
\theta '' + \dfrac{g}{L} \text{sen } \theta =0
\omega = \theta '
\omega' = \theta ''
\implies
ResuelveNEDO()
\left\{
\begin{array}{rll}
\theta ' &= &\omega \\
\omega' &=& - \dfrac{g}{L}\, \text{sen }\theta
\end{array}
\right.
\theta '' + \dfrac{g}{L} \text{sen } \theta =0
\implies
Simulación
ResuelveNEDO()
Resuelve numéricamente un sistema de ecuaciones diferenciales.
Simulación
ResuelveNEDO(<List-der>, <Val-ini-x>, <List-val-ini-y>, <Val-fin-x>)
- Lista de derivadas: En nuesto caso un sistema de ecuaciones diferenciales.
- Valor inicial de : Aquí representa el tiempo
- Lista de valores iniciales de : Es decir y
- Valor final de : Esto es el tiempo final
Simulación - Script
# Gravedad
g = 9.81
# Longitud de la barra
L = 2
# Posición inicial θ0 y velocidad inicial ω0
θ0 = 3 pi/4
ω0 = 0
# Sistema de ecuaciones diferenciales
θ'(t, θ, ω) = ω
ω'(t, θ, ω) = -g / L sen(θ)
# Resuelve el sistema
ResuelveNEDO[{θ', ω'}, 0, {θ0, ω0}, 17.3]
# Lo siguiente obtiene los valores de la posición
len = Longitud[IntegralNumérica1]
c = Deslizador[0, 1, 1 / len, 1, 100]
# Posición
xp = L sen(y(Punto[IntegralNumérica1, c]))
yp = -L cos(y(Punto[IntegralNumérica1, c]))
# Dibuja la masa y la barra que la sostiene
A = (xp, yp)
Segmento[(0, 0), A]
# Anima
IniciaAnimación()Péndulo amortiguado
\left\{
\begin{array}{rll}
\theta ' &= &\omega \\
\omega' &=& -\dfrac{\gamma}{m}\omega-\dfrac{g}{L}\, \text{sen }\theta
\end{array}
\right.
\gamma =
Constante de amortiguamiento
Péndulo amortiguado
\left\{
\begin{array}{rll}
\theta ' &= &\omega \\
\omega' &=& -\dfrac{\gamma}{m}\omega-\dfrac{g}{L}\, \text{sen }\theta
\end{array}
\right.
🌈 Ondas del péndulo
Referencias
- GeoGebra. Comando ResuelveNEDO.
- J. R. Dormand & P.J. Prince. (1980). A family of embedded Runge-Kutta formulae. Journal of Computational and Applied Mathematics. Volume 6, Issue 1, Pages 19-26.
- J. C. Ponce Campuzano. (2021). Simulación del péndulo simple con GeoGebra (y oscilaciones amortiguadas). Bestiario Topológico.
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Topología General
Simulación del péndulo
By Juan Carlos Ponce Campuzano
Simulación del péndulo
Presentación para la V Jornada de GeoGebra de la Comunitat Valenciana.
