Suites arithmétiques -
Suites géométriques
5~;~8~;~11~;~14...
Les suites arithmétiques correspondent à des évolutions linéaires.
Méthode : Pour montrer qu'une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison r, il faut montrer que pour tout entier n on a :
u_{n+1}=u_n+r
Ce qui équivaut à :
u_{n+1}-u_n=r
\text{a) Pour tout entier naturel }n :
u_{n+1} = 2(n+1)+3=2n+2+3=2n+5
u_{n+1} -u_n= 2n+5-(2n+3)=2
On en déduit que \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison r = 2
et de premier terme \(u_0=2\times 0+3=3\).
u_{n+1} = 2(n+1)+3=2n+2+3=u_n+2
ou
Méthode : Pour montrer qu'une suite \((u_n)\) n'est pas arithmétique, on peut montrer que :
u_{1}-u_0\neq u_2-u_1
\text{b) }u_0=0^2-0=0
u_1=1^2-1=0
u_2=2^2-2=2
u_{1}-u_0=0
u_{2}-u_1=2
\text{On a }u_{1}-u_0\neq u_2-u_1\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas arithmétique. }
u_{n+1} = \dfrac{3(n+1)+1}{2} = \dfrac{3n+4}{2}
u_{n+1} -u_n= \dfrac{3n+4}{2}-\dfrac{3n+1}{2}=\dfrac{3}{2}
On en déduit que \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=\dfrac{3}{2}\)
et de premier terme \(u_0=\dfrac{3\times 0+1}{2}=\dfrac{1}{2}\).
\text{a) Pour tout entier naturel }n :
\text{b) }u_0=\dfrac{0+2}{0+1}=2
u_{1}-u_0=-\dfrac{1}{2}
u_{2}-u_1=-\dfrac{1}{6}
\text{On a }u_{1}-u_0\neq u_2-u_1\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas arithmétique. }
u_1=\dfrac{1+2}{1+1}=\dfrac{3}{2}
u_2=\dfrac{2+2}{2+1}=\dfrac{4}{3}
\text{a) }u_0=-1
u_{1}-u_0=\dfrac{3}{2}
u_{2}-u_1=\dfrac{3}{4}
\text{On a }u_{1}-u_0\neq u_2-u_1\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas arithmétique. }
u_1=\dfrac{1}{2}\times \left(-1\right)+1=\dfrac{1}{2}
u_2=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+1=\dfrac{5}{4}
u_{n+1} = -2+u_n
\text{b) Pour tout entier naturel }n ,
donc par définition \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=-2\)
et de premier terme \(u_0=2\).
u_0=1,\;u_1=0,\;u_2=3.
4. a.
4.b.
u_0=5
u_{n+1}=u_n-3
5
u \(-\) 3
u
u
Python
5.a.
u_n=u_0+nr
u_{10}=u_0+10\times r
31=1+10 r
10 r=30
r=3
5.b.
u_n=u_0+nr
u_{100}=u_0+100\times r
-45=5+100 r
100 r=-50
r=-\dfrac{1}{2}
5.c.
u_n=u_p+(n-p)\times r
u_{10~000}=u_{2000}+(10000-2000)\times r
1=-79+8000 r
8000 r=80
r=\dfrac{1}{100}
5.d.
u_n=u_p+(n-p)\times r
u_{10}=u_{5}+(10-5)\times r
33=27+5 r
5 r=6
r=1,2
6.
u_n=u_0+nr
On demande la formule explicite de la suite \((u_n)\).
u_{n}=-3+n\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)
u_n=u_1+(n-1)r
u_{n}=-3-\dfrac{n}{2}
u_{n}=5+(n-1)\times \dfrac{1}{10}
u_{n}=\dfrac{49}{10}+\dfrac{n}{10}
7.
u_n=u_5+(n-5)r
u_n=-\dfrac{1}{3}+(n-5)\times\dfrac{1}{2}
u_n=-\dfrac{17}{6}+\dfrac{n}{2}
u_n=u_{10}+(n-10)r
u_n=(n-10)\times (-3)
u_n=30-3n
u_2+u_3+u_4=(u_3-r)+u_3+(u_3+r)=3u_3
On a donc :
3u_3=36
u_3=12
u_9=u_3+6r
8.a.
48=12+6r
6r=36
r=6
u_9=u_0+9r
48=u_0+54
u_0=-6
8.b.
u_5+u_6+u_7=(u_6-r)+u_6+(u_6+r)=3u_6
On a donc :
3u_6=-27
u_6=-9
u_9=u_6+3r
-15=-9+3r
3r=-6
u_9=u_0+9r
-15=u_0-18
u_0=3
r=-2
8.c.
u_{10}+u_{12}+u_{14}=(u_{12}-2r)+u_{12}+(u_{12}+2r)=3u_{12}
On a donc :
3u_{12}=33
u_{12}=11
u_{100}=u_{12}+88r
55=11+88r
88r=44
u_{100}=u_0+100r
55=u_0+50
u_0=5
r=\dfrac{1}{2}
8.d.
=56+12r
On a donc :
12r+56 =176
12r =120
r =10
7=u_0+30
u_0=-23
u_{3}=u_0+3r
9.
9.
\text{S}=\text{ nombre de termes}\times \dfrac{\text{premier terme + dernier terme}}{2}
Somme de termes d'une suite arithmétique :
\text{S}=50 \times \dfrac{1 + 99}{2} = 50^2
10.
\text{S}=n\times\dfrac{1 + (2n-1)}{2} = n^2
(u_k=2k-1\text{ pour }k \text{ allant de }1\text{ à }n )
(u_n=2n-1\text{ pour }n \text{ allant de }1\text{ à }50 )
11.
\left\{\begin{array}{rcl} 3u_0+6r&=&9 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.
On exprime chaque terme en fonction de \(u_0\) et de r.
Ce qui nous donne :
Puis en divisant par 3 les deux membres de la première équation, on obtient :
Résolution du système :
\left\{\begin{array}{rcl} u_0+2r&=&3 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.
Résolution du système avec la méthode par combinaisons :
(1)\times 2
\left\{\begin{array}{rcl} 2u_0+4r&=&6 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.
(1)
(2)
On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :
17r=34
r=2
(2)-(1)\times 2
(2)
\left\{\begin{array}{rcl} u_0+2r&=&3 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.
(1)\times 21
\left\{\begin{array}{rcl} 21u_0+42r&=&63 \\ 4u_0+42r&=&80\end{array}\right.
(1)
(2)
On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :
17u_0=-17
u_0=-1
(2)\times 2
Résolution du système :
\left\{\begin{array}{rcl} u_0+2r&=&3 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.
Résolution du système avec la méthode par substitution :
Dans la première équation on exprime \(u_0\) en fonction de \(r\) :
Dans la deuxième équation on substitue à \(u_0\) l'expression obtenue :
u_0=3-2r
2(3-2r)+21r=40
On résout cette dernière équation :
On détermine la deuxième inconnue :
6-4r+21r=40
17r=34
r=2
u_0=3-2\times 2=-1
11.
u_{30}=u_0+30r
b) On commence par calculer le dernier terme de la somme :
=-1+30\times 2
=59
S=u_0+u_1+\dots+u_{30}
=31\times\dfrac{u_0+u_{30}}{2}
=31\times\dfrac{-1+59}{2}
=899
u_1 = u_{17}+(1-17)\times r
=105-16\times (-2)
=137
S_{17}=u_1+...+u_{17}
=17\times\dfrac{u_1+u_{17}}{2}
=17\times\dfrac{137+105}{2}
=2057
12.
12.
bis
w_{30} = w_{0}+30\times r
=10+30\times 8
=250
S=w_0+w_1+\dots+w_{30}
=31\times\dfrac{w_0+w_{30}}{2}
=31\times\dfrac{10+250}{2}
=4030
On commence par calculer le dernier terme de la somme :
12.
bis
v_{40} = v_{0}+40\times r
=9+40\times 6
=249
S=v_0+v_1+\dots+v_{40}
=41\times\dfrac{v_0+v_{40}}{2}
=41\times\dfrac{9+249}{2}
=5289
On commence par calculer le dernier terme de la somme :
1~;~2~;~4~;~8...
Les suites géométriques correspondent à des évolutions exponentielles.
13.
Méthode : Pour montrer qu'une suite \((u_n)\) est géométrique de raison q, il faut montrer que pour tout entier n on a :
u_{n+1}=u_n\times q
Ce qui équivaut à :
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q
13.
\text{a) Pour tout entier naturel }n : u_{n+1} = 5^{n+1+3}=5^{n+4}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{5^{n+4}}{5^{n+3}}=5
On en déduit que \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=5\)
et de premier terme \(u_0=5^ {0+3}=125\).
ou
u_{n+1} = 5^{n+1+3}=5^{n+3}\times 5= u_n\times 5
\text{ Pour tout entier naturel }n :
u_{n+1} = \dfrac{2}{3^{n+1+1}}=\dfrac{2}{3^{n+1}}\times \dfrac{1}{3}=u_n\times \dfrac{1}{3}
13.
\text{b) Pour tout entier naturel }n : u_{n+1} = \dfrac{2}{3^{n+1+1}}= \dfrac{2}{3^{n+2}}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\dfrac{2}{3^{n+2}}}{\dfrac{2}{3^{n+1}}}=\dfrac{2}{3^{n+2}}\times \dfrac{3^{n+1}}{2} =\dfrac{1}{3}
ou
\text{ Pour tout entier naturel }n :
On en déduit que \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac{1}{3}\)
et de premier terme \(u_0= \dfrac{2}{3^{0+1}}=\dfrac{2}{3}\).
14.
Méthode : Pour montrer qu'une suite \((u_n)\) n'est pas géométrique, on peut montrer que :
\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}
\text{a) }u_0=\dfrac{5}{3}
\text{On a }\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas géométrique. }
\dfrac{u_1}{u_0}= \dfrac{7}{5}
\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{9}{7}
u_1=\dfrac{7}{3}
u_2=\dfrac{9}{3}
14.
u_n=\dfrac{2}{3}n+\dfrac{5}{3}
\text{La suite }(u_{n})\text{ est arithmétique de raison }r=\dfrac{2}{3}
\text{et de premier terme }u_0=\dfrac{5}{3}.
14.
\text{b) }u_0=1
\text{On a }\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas géométrique. }
\dfrac{u_1}{u_0}= 6
\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{5}{2}
u_1=6
u_2=15
15.
\text{a) On a }u_{n+1}=4\times u_n\text{ donc par définition la suite }(u_n)
\text{est géométrique de raison }q=4 \text{ et de premier terme }u_0=2.
15.
u_0=-1
\text{On a }\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas géométrique. }
\dfrac{u_2}{u_1}=-\dfrac{3}{5}
\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{1}{5}
\text{b) }5u_{n+1}-2u_n=1
5u_{n+1}=2u_n+1
u_{n+1}=\dfrac{2}{5}u_n+\dfrac{1}{5}
u_{1}=\dfrac{2}{5}\times (-1)+\dfrac{1}{5}=-\dfrac{1}{5}
u_{2}=\dfrac{2}{5}\times \left(-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{25}
15.c.
(u_n)\text{ est définie par :}\\
\begin{cases}
u_0=4& \\
u_{n+1} =2u_n-3 &
\end{cases}
u_0=4
\text{On a }\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas géométrique. }
\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{7}{5}
\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{5}{4}
u_{1}=2\times 4 -3=5
u_{2}=2\times 5-3=7
u_n=u_0\times q^n
\text{Pour tout entier naturel }n, \text{ on a }u_n=4\times 5^n
u_5=4\times 5^5= 12500
u_8=4\times 5^8=1562500
u_{10}=\dfrac{(-2)^{10}}{3}=\dfrac{1024}{3}
u_n=u_0\times q^n
\text{Pour tout entier naturel }n, \text{ on a }u_n=\dfrac{1}{3}\times (-2)^n
u_n=\dfrac{(-2)^n}{3}
u_{4}=\dfrac{(-2)^{4}}{3}=\dfrac{16}{3}
u_n=u_p\times q^{n-p}
u_{10}=u_5\times q^{10-5}
u_{10}=8,64\times 1,2^{5}
u_{10}\approx21,5
u_{3}=u_5\times q^{3-5}
u_{3}=8,64\times 1,2^{-2}
u_{3}=6
19.
u_n=u_0\times q^n
u_{3}=3\times 5^{3}
u_{3}=375
u_{10}=3\times 5^{10}
u_{10}=29\,296\,875
u_{3}=u_0\times q^{3}
u_{10}=u_0\times q^{10}
20.
u_n=u_0\times q^n
u_{3}=2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{3}
u_{10}=\dfrac{1}{512}
u_{3}=-\dfrac{1}{4}
u_{3}=u_0\times q^{3}
u_{10}=u_0\times q^{10}
u_{10}=2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{10}
21.
4374=486\times q^2
u_{10}=2\times 3^{10}=118098
q^2=\dfrac{4374}{486}
u_{7}=u_5\times q^{7-5}
u_{5}=u_0\times q^{5}
486=u_0\times3^{5}
On commence par calculer la raison q :
u_n=u_p\times q^{n-p}
q^2=9
q>0\text{ donc }q=3.
u_n=u_0\times q^{n}
u_0=\dfrac{486}{3^{5}}
u_0=2
22.
-1,2288=-1,92\times q^2
u_{5}=-3\times 0,8^{5}=-0,98304
q^2=\dfrac{1,2288}{1,92}
u_{4}=u_2\times q^{4-2}
u_{2}=u_0\times q^{2}
-1,92=u_0\times 0,8^{2}
On commence par calculer la raison q :
u_n=u_p\times q^{n-p}
q^2=0,64
q>0\text{ donc }q=0,8.
u_n=u_0\times q^{n}
u_0=\dfrac{-1,92}{0,64}
u_0=-3
23.
(u_n)\text{ est une suite géométrique de raison }q\text{ donc par définition}
u_{n+1}=u_n\times q.
\text{De même on a }u_{n+2}=u_n\times q^2.
u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\text{ est donc équivalent à }u_n\times q^2 = u_n\times q+u_n .
\text{En divisant par }u_{n}\text{ on obtient }q^2 = q+1.
\text{On résout l'équation }q^2 - q-1=0.
\Delta=5\text{ donc l'équation }
\text{admet deux solutions }q_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\text{ et }q_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.
\text{La seule racine positive est }q_2 \text{ donc }q= \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \text{ ( nb d'or) }.
24.
(u_n)\text{ est une suite géométrique de raison }q\text{ donc }
u_{1}=u_0\times q
\text{et }u_{2}=u_0\times q^2.
2u_{2}=3u_{1}-u_0\text{ est donc équivalent à }2u_0\times q^2 = 3u_0\times q-u_0 .
\text{En divisant par }u_{0}\text{ on obtient }2q^2 = 3q-1.
\text{On résout l'équation }2q^2 - 3q+1=0.
\Delta=1\text{ donc l'équation }\text{admet deux solutions }q_1=\dfrac{1}{2}\text{ et }q_2=1.
\text{La suite }(u_n)\text{ n'est pas constante donc }q\neq 1.
\text{On en déduit que } q=\dfrac{1}{2}.
bis
\text{1) }S =5\times \dfrac{1-0,3^{15}}{1-0,3}\approx 7,143
\text{2) }S =10\times \dfrac{1-1,6^{15}}{1-1,6}\approx 19\,198,692
24.
u_1+u_2+\dots + u_n=u_1\times \dfrac{ 1-q^{n}}{1-q}
w_5 = w_3\times q^2=27\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=3
Calcul du premier terme de la somme :
Le nombre de termes de la somme est 5 donc
S = 3\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^5}{1-\dfrac{1}{3}}=3\times \dfrac{3}{2}\times\left(1-\dfrac{1}{3^5}\right)=\dfrac{121}{27}
25.
t_4 = t_{10}\times q^{-6}=100 \times 10^{-6}= \dfrac{1}{10^4}
Calcul du premier terme de la somme :
Le nombre de termes est 7 donc
S = \dfrac{1}{10^4}\times \dfrac{1-10^7}{1-10}=\dfrac{10^7-1}{9\times 10^4}=111,1111
26.
On note \(u_1\) l'aire du premier disque : \(u_1=16 \pi\)
L'aire du deuxième est \(u_2=4 \pi\)...
\( (u_n) \) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{4} \).
S =16\pi\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^6}{1-\dfrac{1}{4}}=16\pi\times \dfrac{4}{3}\times\left(1-\dfrac{1}{4^6}\right)=\dfrac{1365\pi}{64}
27.
28)
29)
30)
31)
\text{ et }u(0)>0.
\text{ et }u(0)>0.
31 bis )
Suites arithmétiques - Suites géométriques
By Jean-Marc Kraëber
Suites arithmétiques - Suites géométriques
Première - Spécialité
