Suites arithmétiques -
Suites géométriques
5 ; 8 ; 11 ; 14...
5~;~8~;~11~;~14...
Les suites arithmétiques correspondent à des évolutions linéaires.
Méthode : Pour montrer qu'une suite (un) est arithmétique de raison r, il faut montrer que pour tout entier n on a :
un+1=un+r
u_{n+1}=u_n+r
Ce qui équivaut à :
un+1−un=r
u_{n+1}-u_n=r
a) Pour tout entier naturel n:
\text{a) Pour tout entier naturel }n :
un+1=2(n+1)+3=2n+2+3=2n+5
u_{n+1} = 2(n+1)+3=2n+2+3=2n+5
un+1−un=2n+5−(2n+3)=2
u_{n+1} -u_n= 2n+5-(2n+3)=2
On en déduit que (un) est une suite arithmétique de raison r = 2
et de premier terme u0=2×0+3=3.
un+1=2(n+1)+3=2n+2+3=un+2
u_{n+1} = 2(n+1)+3=2n+2+3=u_n+2
ou
Méthode : Pour montrer qu'une suite (un) n'est pas arithmétique, on peut montrer que :
u1−u0=u2−u1
u_{1}-u_0\neq u_2-u_1
b) u0=02−0=0
\text{b) }u_0=0^2-0=0
u1=12−1=0
u_1=1^2-1=0
u2=22−2=2
u_2=2^2-2=2
u1−u0=0
u_{1}-u_0=0
u2−u1=2
u_{2}-u_1=2
On a u1−u0=u2−u1 donc la suite (un) n’est pas arithmeˊtique.
\text{On a }u_{1}-u_0\neq u_2-u_1\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas arithmétique. }
un+1=23(n+1)+1=23n+4
u_{n+1} = \dfrac{3(n+1)+1}{2} = \dfrac{3n+4}{2}
un+1−un=23n+4−23n+1=23
u_{n+1} -u_n= \dfrac{3n+4}{2}-\dfrac{3n+1}{2}=\dfrac{3}{2}
On en déduit que (un) est une suite arithmétique de raison r=23
et de premier terme u0=23×0+1=21.
a) Pour tout entier naturel n:
\text{a) Pour tout entier naturel }n :
b) u0=0+10+2=2
\text{b) }u_0=\dfrac{0+2}{0+1}=2
u1−u0=−21
u_{1}-u_0=-\dfrac{1}{2}
u2−u1=−61
u_{2}-u_1=-\dfrac{1}{6}
On a u1−u0=u2−u1 donc la suite (un) n’est pas arithmeˊtique.
\text{On a }u_{1}-u_0\neq u_2-u_1\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas arithmétique. }
u1=1+11+2=23
u_1=\dfrac{1+2}{1+1}=\dfrac{3}{2}
u2=2+12+2=34
u_2=\dfrac{2+2}{2+1}=\dfrac{4}{3}
a) u0=−1
\text{a) }u_0=-1
u1−u0=23
u_{1}-u_0=\dfrac{3}{2}
u2−u1=43
u_{2}-u_1=\dfrac{3}{4}
On a u1−u0=u2−u1 donc la suite (un) n’est pas arithmeˊtique.
\text{On a }u_{1}-u_0\neq u_2-u_1\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas arithmétique. }
u1=21×(−1)+1=21
u_1=\dfrac{1}{2}\times \left(-1\right)+1=\dfrac{1}{2}
u2=21×21+1=45
u_2=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+1=\dfrac{5}{4}
un+1=−2+un
u_{n+1} = -2+u_n
b) Pour tout entier naturel n,
\text{b) Pour tout entier naturel }n ,
donc par définition (un) est une suite arithmétique de raison r=−2
et de premier terme u0=2.
u0=1,u1=0,u2=3.
u_0=1,\;u_1=0,\;u_2=3.
4. a.
4.b.
4.b.
u0=5
u_0=5
un+1=un−3
u_{n+1}=u_n-3
5
u − 3
u
u
Python
5.a.
5.a.
un=u0+nr
u_n=u_0+nr
u10=u0+10×r
u_{10}=u_0+10\times r
31=1+10r
31=1+10 r
10r=30
10 r=30
r=3
r=3
5.b.
5.b.
un=u0+nr
u_n=u_0+nr
u100=u0+100×r
u_{100}=u_0+100\times r
−45=5+100r
-45=5+100 r
100r=−50
100 r=-50
r=−21
r=-\dfrac{1}{2}
5.c.
5.c.
un=up+(n−p)×r
u_n=u_p+(n-p)\times r
u10 000=u2000+(10000−2000)×r
u_{10~000}=u_{2000}+(10000-2000)\times r
1=−79+8000r
1=-79+8000 r
8000r=80
8000 r=80
r=1001
r=\dfrac{1}{100}
5.d.
5.d.
un=up+(n−p)×r
u_n=u_p+(n-p)\times r
u10=u5+(10−5)×r
u_{10}=u_{5}+(10-5)\times r
33=27+5r
33=27+5 r
5r=6
5 r=6
r=1,2
r=1,2
6.
6.
un=u0+nr
u_n=u_0+nr
On demande la formule explicite de la suite (un).
un=−3+n×(−21)
u_{n}=-3+n\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)
un=u1+(n−1)r
u_n=u_1+(n-1)r
un=−3−2n
u_{n}=-3-\dfrac{n}{2}
un=5+(n−1)×101
u_{n}=5+(n-1)\times \dfrac{1}{10}
un=1049+10n
u_{n}=\dfrac{49}{10}+\dfrac{n}{10}
7.
7.
un=u5+(n−5)r
u_n=u_5+(n-5)r
un=−31+(n−5)×21
u_n=-\dfrac{1}{3}+(n-5)\times\dfrac{1}{2}
un=−617+2n
u_n=-\dfrac{17}{6}+\dfrac{n}{2}
un=u10+(n−10)r
u_n=u_{10}+(n-10)r
un=(n−10)×(−3)
u_n=(n-10)\times (-3)
un=30−3n
u_n=30-3n
u2+u3+u4=(u3−r)+u3+(u3+r)=3u3
u_2+u_3+u_4=(u_3-r)+u_3+(u_3+r)=3u_3
On a donc :
3u3=36
3u_3=36
u3=12
u_3=12
u9=u3+6r
u_9=u_3+6r
8.a.
8.a.
48=12+6r
48=12+6r
6r=36
6r=36
r=6
r=6
u9=u0+9r
u_9=u_0+9r
48=u0+54
48=u_0+54
u0=−6
u_0=-6
8.b.
8.b.
u5+u6+u7=(u6−r)+u6+(u6+r)=3u6
u_5+u_6+u_7=(u_6-r)+u_6+(u_6+r)=3u_6
On a donc :
3u6=−27
3u_6=-27
u6=−9
u_6=-9
u9=u6+3r
u_9=u_6+3r
−15=−9+3r
-15=-9+3r
3r=−6
3r=-6
u9=u0+9r
u_9=u_0+9r
−15=u0−18
-15=u_0-18
u0=3
u_0=3
r=−2
r=-2
8.c.
8.c.
u10+u12+u14=(u12−2r)+u12+(u12+2r)=3u12
u_{10}+u_{12}+u_{14}=(u_{12}-2r)+u_{12}+(u_{12}+2r)=3u_{12}
On a donc :
3u12=33
3u_{12}=33
u12=11
u_{12}=11
u100=u12+88r
u_{100}=u_{12}+88r
55=11+88r
55=11+88r
88r=44
88r=44
u100=u0+100r
u_{100}=u_0+100r
55=u0+50
55=u_0+50
u0=5
u_0=5
r=21
r=\dfrac{1}{2}
8.d.
8.d.
=56+12r
=56+12r
On a donc :
12r+56=176
12r+56 =176
12r=120
12r =120
r=10
r =10
7=u0+30
7=u_0+30
u0=−23
u_0=-23
u3=u0+3r
u_{3}=u_0+3r
9.
9.
9.
9.
S= nombre de termes×2premier terme + dernier terme
\text{S}=\text{ nombre de termes}\times \dfrac{\text{premier terme + dernier terme}}{2}
Somme de termes d'une suite arithmétique :
S=50×21+99=502
\text{S}=50 \times \dfrac{1 + 99}{2} = 50^2
10.
10.
S=n×21+(2n−1)=n2
\text{S}=n\times\dfrac{1 + (2n-1)}{2} = n^2
(uk=2k−1 pour k allant de 1 aˋ n)
(u_k=2k-1\text{ pour }k \text{ allant de }1\text{ à }n )
(un=2n−1 pour n allant de 1 aˋ 50)
(u_n=2n-1\text{ pour }n \text{ allant de }1\text{ à }50 )
11.
11.
{3u0+6r2u0+21r==940
\left\{\begin{array}{rcl} 3u_0+6r&=&9 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.
On exprime chaque terme en fonction de u0 et de r.
Ce qui nous donne :
Puis en divisant par 3 les deux membres de la première équation, on obtient :
Résolution du système :
{u0+2r2u0+21r==340
\left\{\begin{array}{rcl} u_0+2r&=&3 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.
Résolution du système avec la méthode par combinaisons :
(1)×2
(1)\times 2
{2u0+4r2u0+21r==640
\left\{\begin{array}{rcl} 2u_0+4r&=&6 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.
(1)
(1)
(2)
(2)
On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :
17r=34
17r=34
r=2
r=2
(2)−(1)×2
(2)-(1)\times 2
(2)
(2)
{u0+2r2u0+21r==340
\left\{\begin{array}{rcl} u_0+2r&=&3 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.
(1)×21
(1)\times 21
{21u0+42r4u0+42r==6380
\left\{\begin{array}{rcl} 21u_0+42r&=&63 \\ 4u_0+42r&=&80\end{array}\right.
(1)
(1)
(2)
(2)
On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :
17u0=−17
17u_0=-17
u0=−1
u_0=-1
(2)×2
(2)\times 2
Résolution du système :
{u0+2r2u0+21r==340
\left\{\begin{array}{rcl} u_0+2r&=&3 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.
Résolution du système avec la méthode par substitution :
Dans la première équation on exprime u0 en fonction de r :
Dans la deuxième équation on substitue à u0 l'expression obtenue :
u0=3−2r
u_0=3-2r
2(3−2r)+21r=40
2(3-2r)+21r=40
On résout cette dernière équation :
On détermine la deuxième inconnue :
6−4r+21r=40
6-4r+21r=40
17r=34
17r=34
r=2
r=2
u0=3−2×2=−1
u_0=3-2\times 2=-1
11.
11.
u30=u0+30r
u_{30}=u_0+30r
b) On commence par calculer le dernier terme de la somme :
=−1+30×2
=-1+30\times 2
=59
=59
S=u0+u1+⋯+u30
S=u_0+u_1+\dots+u_{30}
=31×2u0+u30
=31\times\dfrac{u_0+u_{30}}{2}
=31×2−1+59
=31\times\dfrac{-1+59}{2}
=899
=899
u1=u17+(1−17)×r
u_1 = u_{17}+(1-17)\times r
=105−16×(−2)
=105-16\times (-2)
=137
=137
S17=u1+...+u17
S_{17}=u_1+...+u_{17}
=17×2u1+u17
=17\times\dfrac{u_1+u_{17}}{2}
=17×2137+105
=17\times\dfrac{137+105}{2}
=2057
=2057
12.
12.
12.
12.
bis
w30=w0+30×r
w_{30} = w_{0}+30\times r
=10+30×8
=10+30\times 8
=250
=250
S=w0+w1+⋯+w30
S=w_0+w_1+\dots+w_{30}
=31×2w0+w30
=31\times\dfrac{w_0+w_{30}}{2}
=31×210+250
=31\times\dfrac{10+250}{2}
=4030
=4030
On commence par calculer le dernier terme de la somme :
12.
12.
bis
v40=v0+40×r
v_{40} = v_{0}+40\times r
=9+40×6
=9+40\times 6
=249
=249
S=v0+v1+⋯+v40
S=v_0+v_1+\dots+v_{40}
=41×2v0+v40
=41\times\dfrac{v_0+v_{40}}{2}
=41×29+249
=41\times\dfrac{9+249}{2}
=5289
=5289
On commence par calculer le dernier terme de la somme :
1 ; 2 ; 4 ; 8...
1~;~2~;~4~;~8...
Les suites géométriques correspondent à des évolutions exponentielles.
13.
13.
Méthode : Pour montrer qu'une suite (un) est géométrique de raison q, il faut montrer que pour tout entier n on a :
un+1=un×q
u_{n+1}=u_n\times q
Ce qui équivaut à :
unun+1=q
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q
13.
13.
a) Pour tout entier naturel n:un+1=5n+1+3=5n+4
\text{a) Pour tout entier naturel }n : u_{n+1} = 5^{n+1+3}=5^{n+4}
unun+1=5n+35n+4=5
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{5^{n+4}}{5^{n+3}}=5
On en déduit que (un) est une suite géométrique de raison q=5
et de premier terme u0=50+3=125.
ou
un+1=5n+1+3=5n+3×5=un×5
u_{n+1} = 5^{n+1+3}=5^{n+3}\times 5= u_n\times 5
Pour tout entier naturel n:
\text{ Pour tout entier naturel }n :
un+1=3n+1+12=3n+12×31=un×31
u_{n+1} = \dfrac{2}{3^{n+1+1}}=\dfrac{2}{3^{n+1}}\times \dfrac{1}{3}=u_n\times \dfrac{1}{3}
13.
13.
b) Pour tout entier naturel n:un+1=3n+1+12=3n+22
\text{b) Pour tout entier naturel }n : u_{n+1} = \dfrac{2}{3^{n+1+1}}= \dfrac{2}{3^{n+2}}
unun+1=3n+123n+22=3n+22×23n+1=31
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\dfrac{2}{3^{n+2}}}{\dfrac{2}{3^{n+1}}}=\dfrac{2}{3^{n+2}}\times \dfrac{3^{n+1}}{2} =\dfrac{1}{3}
ou
Pour tout entier naturel n:
\text{ Pour tout entier naturel }n :
On en déduit que (un) est une suite géométrique de raison q=31
et de premier terme u0=30+12=32.
14.
14.
Méthode : Pour montrer qu'une suite (un) n'est pas géométrique, on peut montrer que :
u0u1=u1u2
\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}
a) u0=35
\text{a) }u_0=\dfrac{5}{3}
On a u0u1=u1u2 donc la suite (un) n’est pas geˊomeˊtrique.
\text{On a }\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas géométrique. }
u0u1=57
\dfrac{u_1}{u_0}= \dfrac{7}{5}
u1u2=79
\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{9}{7}
u1=37
u_1=\dfrac{7}{3}
u2=39
u_2=\dfrac{9}{3}
14.
14.
un=32n+35
u_n=\dfrac{2}{3}n+\dfrac{5}{3}
La suite (un) est arithmeˊtique de raison r=32
\text{La suite }(u_{n})\text{ est arithmétique de raison }r=\dfrac{2}{3}
et de premier terme u0=35.
\text{et de premier terme }u_0=\dfrac{5}{3}.
14.
14.
b) u0=1
\text{b) }u_0=1
On a u0u1=u1u2 donc la suite (un) n’est pas geˊomeˊtrique.
\text{On a }\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas géométrique. }
u0u1=6
\dfrac{u_1}{u_0}= 6
u1u2=25
\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{5}{2}
u1=6
u_1=6
u2=15
u_2=15
15.
15.
a) On a un+1=4×un donc par deˊfinition la suite (un)
\text{a) On a }u_{n+1}=4\times u_n\text{ donc par définition la suite }(u_n)
est geˊomeˊtrique de raison q=4 et de premier terme u0=2.
\text{est géométrique de raison }q=4 \text{ et de premier terme }u_0=2.
15.
15.
u0=−1
u_0=-1
On a u0u1=u1u2 donc la suite (un) n’est pas geˊomeˊtrique.
\text{On a }\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas géométrique. }
u1u2=−53
\dfrac{u_2}{u_1}=-\dfrac{3}{5}
u0u1=51
\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{1}{5}
b) 5un+1−2un=1
\text{b) }5u_{n+1}-2u_n=1
5un+1=2un+1
5u_{n+1}=2u_n+1
un+1=52un+51
u_{n+1}=\dfrac{2}{5}u_n+\dfrac{1}{5}
u1=52×(−1)+51=−51
u_{1}=\dfrac{2}{5}\times (-1)+\dfrac{1}{5}=-\dfrac{1}{5}
u2=52×(−51)+51=253
u_{2}=\dfrac{2}{5}\times \left(-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{25}
15.c.
15.c.
(un) est deˊfinie par :{u0=4un+1=2un−3
(u_n)\text{ est définie par :}\\
\begin{cases}
u_0=4& \\
u_{n+1} =2u_n-3 &
\end{cases}
u0=4
u_0=4
On a u0u1=u1u2 donc la suite (un) n’est pas geˊomeˊtrique.
\text{On a }\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas géométrique. }
u1u2=57
\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{7}{5}
u0u1=45
\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{5}{4}
u1=2×4−3=5
u_{1}=2\times 4 -3=5
u2=2×5−3=7
u_{2}=2\times 5-3=7
un=u0×qn
u_n=u_0\times q^n
Pour tout entier naturel n, on a un=4×5n
\text{Pour tout entier naturel }n, \text{ on a }u_n=4\times 5^n
u5=4×55=12500
u_5=4\times 5^5= 12500
u8=4×58=1562500
u_8=4\times 5^8=1562500
u10=3(−2)10=31024
u_{10}=\dfrac{(-2)^{10}}{3}=\dfrac{1024}{3}
un=u0×qn
u_n=u_0\times q^n
Pour tout entier naturel n, on a un=31×(−2)n
\text{Pour tout entier naturel }n, \text{ on a }u_n=\dfrac{1}{3}\times (-2)^n
un=3(−2)n
u_n=\dfrac{(-2)^n}{3}
u4=3(−2)4=316
u_{4}=\dfrac{(-2)^{4}}{3}=\dfrac{16}{3}
un=up×qn−p
u_n=u_p\times q^{n-p}
u10=u5×q10−5
u_{10}=u_5\times q^{10-5}
u10=8,64×1,25
u_{10}=8,64\times 1,2^{5}
u10≈21,5
u_{10}\approx21,5
u3=u5×q3−5
u_{3}=u_5\times q^{3-5}
u3=8,64×1,2−2
u_{3}=8,64\times 1,2^{-2}
u3=6
u_{3}=6
19.
19.
un=u0×qn
u_n=u_0\times q^n
u3=3×53
u_{3}=3\times 5^{3}
u3=375
u_{3}=375
u10=3×510
u_{10}=3\times 5^{10}
u10=29296875
u_{10}=29\,296\,875
u3=u0×q3
u_{3}=u_0\times q^{3}
u10=u0×q10
u_{10}=u_0\times q^{10}
20.
20.
un=u0×qn
u_n=u_0\times q^n
u3=2×(−21)3
u_{3}=2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{3}
u10=5121
u_{10}=\dfrac{1}{512}
u3=−41
u_{3}=-\dfrac{1}{4}
u3=u0×q3
u_{3}=u_0\times q^{3}
u10=u0×q10
u_{10}=u_0\times q^{10}
u10=2×(−21)10
u_{10}=2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{10}
21.
21.
4374=486×q2
4374=486\times q^2
u10=2×310=118098
u_{10}=2\times 3^{10}=118098
q2=4864374
q^2=\dfrac{4374}{486}
u7=u5×q7−5
u_{7}=u_5\times q^{7-5}
u5=u0×q5
u_{5}=u_0\times q^{5}
486=u0×35
486=u_0\times3^{5}
On commence par calculer la raison q :
un=up×qn−p
u_n=u_p\times q^{n-p}
q2=9
q^2=9
q>0 donc q=3.
q>0\text{ donc }q=3.
un=u0×qn
u_n=u_0\times q^{n}
u0=35486
u_0=\dfrac{486}{3^{5}}
u0=2
u_0=2
22.
22.
−1,2288=−1,92×q2
-1,2288=-1,92\times q^2
u5=−3×0,85=−0,98304
u_{5}=-3\times 0,8^{5}=-0,98304
q2=1,921,2288
q^2=\dfrac{1,2288}{1,92}
u4=u2×q4−2
u_{4}=u_2\times q^{4-2}
u2=u0×q2
u_{2}=u_0\times q^{2}
−1,92=u0×0,82
-1,92=u_0\times 0,8^{2}
On commence par calculer la raison q :
un=up×qn−p
u_n=u_p\times q^{n-p}
q2=0,64
q^2=0,64
q>0 donc q=0,8.
q>0\text{ donc }q=0,8.
un=u0×qn
u_n=u_0\times q^{n}
u0=0,64−1,92
u_0=\dfrac{-1,92}{0,64}
u0=−3
u_0=-3
23.
23.
(un) est une suite geˊomeˊtrique de raison q donc par deˊfinition
(u_n)\text{ est une suite géométrique de raison }q\text{ donc par définition}
un+1=un×q.
u_{n+1}=u_n\times q.
De meˆme on a un+2=un×q2.
\text{De même on a }u_{n+2}=u_n\times q^2.
un+2=un+1+un est donc eˊquivalent aˋ un×q2=un×q+un.
u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\text{ est donc équivalent à }u_n\times q^2 = u_n\times q+u_n .
En divisant par un on obtient q2=q+1.
\text{En divisant par }u_{n}\text{ on obtient }q^2 = q+1.
On reˊsout l’eˊquation q2−q−1=0.
\text{On résout l'équation }q^2 - q-1=0.
Δ=5 donc l’eˊquation
\Delta=5\text{ donc l'équation }
admet deux solutions q1=21−5 et q2=21+5.
\text{admet deux solutions }q_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\text{ et }q_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.
La seule racine positive est q2 donc q=21+5 ( nb d’or) .
\text{La seule racine positive est }q_2 \text{ donc }q= \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \text{ ( nb d'or) }.
24.
24.
(un) est une suite geˊomeˊtrique de raison q donc
(u_n)\text{ est une suite géométrique de raison }q\text{ donc }
u1=u0×q
u_{1}=u_0\times q
et u2=u0×q2.
\text{et }u_{2}=u_0\times q^2.
2u2=3u1−u0 est donc eˊquivalent aˋ 2u0×q2=3u0×q−u0.
2u_{2}=3u_{1}-u_0\text{ est donc équivalent à }2u_0\times q^2 = 3u_0\times q-u_0 .
En divisant par u0 on obtient 2q2=3q−1.
\text{En divisant par }u_{0}\text{ on obtient }2q^2 = 3q-1.
On reˊsout l’eˊquation 2q2−3q+1=0.
\text{On résout l'équation }2q^2 - 3q+1=0.
Δ=1 donc l’eˊquation admet deux solutions q1=21 et q2=1.
\Delta=1\text{ donc l'équation }\text{admet deux solutions }q_1=\dfrac{1}{2}\text{ et }q_2=1.
La suite (un) n’est pas constante donc q=1.
\text{La suite }(u_n)\text{ n'est pas constante donc }q\neq 1.
On en deˊduit que q=21.
\text{On en déduit que } q=\dfrac{1}{2}.
bis
1) S=5×1−0,31−0,315≈7,143
\text{1) }S =5\times \dfrac{1-0,3^{15}}{1-0,3}\approx 7,143
2) S=10×1−1,61−1,615≈19198,692
\text{2) }S =10\times \dfrac{1-1,6^{15}}{1-1,6}\approx 19\,198,692
24.
24.
u1+u2+⋯+un=u1×1−q1−qn
u_1+u_2+\dots + u_n=u_1\times \dfrac{ 1-q^{n}}{1-q}
w5=w3×q2=27×(31)2=3
w_5 = w_3\times q^2=27\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=3
Calcul du premier terme de la somme :
Le nombre de termes de la somme est 5 donc
S=3×1−311−(31)5=3×23×(1−351)=27121
S = 3\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^5}{1-\dfrac{1}{3}}=3\times \dfrac{3}{2}\times\left(1-\dfrac{1}{3^5}\right)=\dfrac{121}{27}
25.
25.
t4=t10×q−6=100×10−6=1041
t_4 = t_{10}\times q^{-6}=100 \times 10^{-6}= \dfrac{1}{10^4}
Calcul du premier terme de la somme :
Le nombre de termes est 7 donc
S=1041×1−101−107=9×104107−1=111,1111
S = \dfrac{1}{10^4}\times \dfrac{1-10^7}{1-10}=\dfrac{10^7-1}{9\times 10^4}=111,1111
26.
26.
On note u1 l'aire du premier disque : u1=16π
L'aire du deuxième est u2=4π...
(un) est une suite géométrique de raison 41.
S=16π×1−411−(41)6=16π×34×(1−461)=641365π
S =16\pi\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^6}{1-\dfrac{1}{4}}=16\pi\times \dfrac{4}{3}\times\left(1-\dfrac{1}{4^6}\right)=\dfrac{1365\pi}{64}
27.
27.
28)
29)
30)
31)
et u(0)>0.
\text{ et }u(0)>0.
et u(0)>0.
\text{ et }u(0)>0.
31 bis )
Suites arithmétiques - Suites géométriques
Suites arithmétiques - Suites géométriques
By Jean-Marc Kraëber
Suites arithmétiques - Suites géométriques
Première - Spécialité
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