Suites Numériques
1 p 14
2 p 14
0,99^6\approx 0,9415
\text{CM }= 1+t\text{ donc }t = \text{ CM}-1
0,9415-1 = -0,0585
donc le taux global est égal \(-5,85\)%.
3 p 14
4 p 14
h(1)=\dfrac{1}{1}=1~;~h(2)=\dfrac{1}{2}=0,5~;~h(3)=\dfrac{1}{3}~;~h(4)=\dfrac{1}{4}=0,25~;~
h(5)=\dfrac{1}{5}=0,2
n>0\text{ et }n+1>0\text{ donc }U(n)<0
On observe que la suite de nombres est décroissante si
h(n+1)-h(n)<0.
5 p 14
\text{1) } 7+0,5 \times 1 = 7,5
Le nombre affiché dans la cellule B2 sera donc 7,5.
2) La cellule B20 contiendra la formule = B19 + 0,5*A20
6 p 14
L'algorithme affecte successivement à la variable U les nombres 1, 3, 5... 17, 19.
Question supplémentaire : Traduire l'algorithme en Python avec en plus un affichage des nombres précédents.
7 p 14
8 p 14
On souhaite introduire la notion de suite à l’aide d’un tableur afin de pouvoir trouver une expression du terme général en fonction de n. On considère la feuille de calcul suivante.
Act A p 16 : Soyons explicite
22 p 31
u_{n+1}=\dfrac{3^{n+1+1}}{2^{n+1}}=\dfrac{3^{n+2}}{2^{n+1}}
Activité B p 16 : Suite définie par une relation de récurrence
\text{EX0 : On considère la suite } (u_n) \text{ définie par : }
u_0= 3 \text{ et } u_{n+1}=4u_n-1.
\text{Calculer }u_1, u_2 \text{ et }u_3.
u_{1}=4u_0-1=4\times 3-1 = 11
u_{2}=4u_1-1=4\times 11-1 = 43
u_{3}=4u_2-1=4\times 43-1 = 171
(préciser en plus le premier terme de la suite)
Les termes de u1 à u10 d'une suite définie par récurrence dont le premier terme est u0 = 1.
u_{n+1}=\dfrac{u_n-1}{ u_n-2}.
Question supplémentaire : Programmer l'algorithme en Python avec affichage de \(u_{10}\)
Programmation de l'algorithme en Python :
u \leftarrow 1 \\
pour \;i\leftarrow1\;à\;10\;faire \\
u\leftarrow\dfrac{u-1}{u-2}\\
fin
u = 1
for i in range(10):
u = (u-1)/(u-2)
print(u)(on affiche uniquement u10)
u_{10}\approx 0,382.
Le programme affiche
Vérification avec le mode suite de la calculatrice :
Variations d'une suite
*\; \text{Etudier le signe de }u_{n+1}-u_n .
*\; \text{Comparer }\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \text{ à 1}
\text{(pour les suites strictement positives)}.
*\; \text{Si }u_{n}=f(n) \text{, on peut utiliser les variations de}f.
u_{n+1}-u_n=-(n-4)^2
\text{Pour tout }n\in\N,u_{n+1}-u_n\leqslant0 \text{ donc la suite }(u_n) \text{ est décroissante.}
\text{Pour tout entier naturel }n,(n-4)^2\geqslant0 \text{ donc }-(n-4)^2\leqslant0.
Ex 49 p 33 : Dans chaque cas, déterminer le sens de variation de la suite (un) définie par :
a.\;u_n=\frac{n+1}{n+2}\;pour\;tout\; n\in\mathbb{N}.
\text{On
a }u_{n+1}=\frac{n+2}{n+3}.
u_{n+1}-u_n=\frac{n+2}{n+3}-\frac{n+1}{n+2}
Donc
=\frac{(n+2)^2-(n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}
=\frac{n^2+4n+4-(n^2+4n+3)}{(n+3)(n+2)}
=\frac{1}{(n+3)(n+2)}
n+3>0\;et\;n+2>0.
Donc pour tout entier naturel \(n\),
u_{n+1}-u_n > 0.
On en déduit que la suite (un) est strictement croissante.
Représentation graphique :
b.\;u_n=\frac{3^n}{n}\;pour\;tout\; n\geqslant1.
\text{On a }u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{n+1}.
u_{n+1}-u_n=\dfrac{3^{n+1}}{n+1}-\dfrac{3^n}{n}
Méthode 1 :
=\frac{3^{n+1}\times n }{n(n+1)}-\frac{3^{n}(n+1) }{n(n+1)}
=\frac{3^{n}\times 3n -3^{n}(n+1)}{n(n+1)}
=\frac{3^{n+1}\times n }{n(n+1)}-\frac{3^{n}(n+1) }{n(n+1)}
=\frac{3^{n+1}\times n -3^{n}(n+1)}{n(n+1)}
u_{n+1}-u_n=\frac{3^{n}(3n -(n+1))}{n(n+1)}
=\frac{3^{n}(3n -n-1)}{n(n+1)}
=\frac{3^{n}(2n -1)}{n(n+1)}
3^n>0\text{ et }n(n+1)>0.
\text{ On sait que }n\geqslant 1 \text{ donc }2n\geqslant 2 \text{ d'où }2n-1\geqslant 1.
Donc pour tout entier naturel \(n\),
u_{n+1}-u_n > 0.
On en déduit que la suite (un) est strictement croissante.
\text{donc }\dfrac{3n}{n+1}>1.
donc la suite (un) est strictement croissante.
b.\;u_n=\frac{3^n}{n}\;pour\;tout\; n\geqslant1.
\text{On a }u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{n+1}.
Les termes de la suite (un) sont strictement positifs donc on peut comparer
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\;à\;1.
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\frac{3^{n+1}}{n+1}}{\frac{3^n}{n}}=\frac{3^{n+1}}{n+1}\times \frac{n}{3^n}=\frac{3n}{n+1}
n\geqslant1\text{ donc }n+n\geqslant n+1\Leftrightarrow2n\geqslant n+1.
\text{Si }n\geqslant1\text{ alors } 3n>2n.\text{ On en déduit que } 3n>n+1
\text{Pour tout }n\in \N,\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1
Méthode 2 :
Par conséquent la suite (un) est croissante à partir de n = 1.
c.\;u_n=n^2-3n+12\;pour\;tout\; n\in\mathbb{N}.
On \;a\;u_{n+1}=(n+1)^2-3(n+1)+12.
On \;a\;u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-3(n+1)-(n^2-3n)
=n^2+2n+1-3n-3-n^2+3n
=2n-2.
2n-2\geqslant0\Leftrightarrow n\geqslant1.
d.\;u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\;pour\;tout\; n\geqslant1.
u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}
Méthode 1 :
u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}-\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)
=\dfrac{2}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n}
=\dfrac{2n(n+2)}{n(n+1)(n+2)}-\dfrac{n(n+1)}{n(n+1)(n+2)}-\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+1)(n+2)}
=\dfrac{2n(n+2)-n(n+1)-(n+1)(n+2)}{n(n+1)(n+2)}
=\dfrac{2n^2+4n-n^2-n-(n^2+3n+2)}{n(n+1)(n+2)}
u_{n+1}-u_n=\dfrac{-2}{n(n+1)(n+2)}
n(n+1)(n+2)>0 \text{ donc } \dfrac{-2}{n(n+1)(n+2)}<0.
u_{n+1}-u_n < 0.
On en déduit que la suite (un) est strictement décroissante.
\text{Pour tout entier naturel }n,
d.\;u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\;pour\;tout\; n\geqslant1.
Pour\;tout\; n\geqslant1,\;\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{n+1}\;donc\;u_n>0.
u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}.
u_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}.
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}}{\dfrac{1}{n(n+1)}}=\dfrac{n}{(n+2)}.
n+2>n\;donc\;\dfrac{n}{(n+2)}<1.
Pour\;tout\; n\geqslant1,\;\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1
donc la suite (un) est strictement décroissante.
Méthode 2 :
50 p 33
1. Reproduire la figure et représenter les cinq premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses.
u_0
u_1
u_1
u_2
u_3
u_4
2. Conjecturer le sens de variation de la suite (\(u_n\)).
3. Conjecturer la limite de la suite.
La suite (\(u_n\)) semble croissante.
La limite de la suite (\(u_n\)) semble être 6.
52 p 34 :
Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par
- Représentation graphique :
u_n=\frac{3n-2}{n+1}.
On conjecture que la suite est croissante et que sa limite est 3.
2. Prouver que la suite (un) est croissante.
On \;a\;u_{n}=\frac{3n-2}{n+1}\text{ et }u_{n+1}=\frac{3(n+1)-2}{(n+1)+1}=\frac{3n+3-2}{n+1+1}=\frac{3n+1}{n+2}.
u_{n+1}-u_n=\frac{(3n+1)(n+1)-(3n-2)(n+2)}{(n+2)(n+1)}
Par suite :
u_{n+1}-u_n=\frac{3n+1}{n+2}-\frac{3n-2}{n+1}
u_{n+1}-u_n=\frac{3n^2+3n+n+1-(3n^2+6n-2n-4)}{(n+2)(n+1)}
u_{n+1}-u_n=\frac{3n^2+3n+n+1-3n^2-6n+2n+4}{(n+2)(n+1)}
u_{n+1}-u_n=\frac{5}{(n+2)(n+1)}
Pour tout entier naturel n,
(n+2)(n+1)>0
On en déduit que la suite (un) est strictement croissante.
\text{donc }u_{n+1}-u_n>0.
3. Montrer que pour tout \(n\geqslant 0,\;-2\leqslant u_n \leqslant 3\).
La suite (\(u_n)\) est croissante et \(u_0=-2\) donc pour tout entier \(n\), \(u_n\geqslant -2\).
u_{n}-3=\frac{3n-2}{n+1}-3
u_{n}-3=\frac{3n-2}{n+1}-\frac{3(n+1)}{n+1}
u_{n}-3=\frac{3n-2-3n-3}{n+1}
u_{n}-3=\frac{-5}{n+1}
Pour tout entier naturel \(n\),
n+1>0
On en déduit que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n<3\) .
\text{donc }u_n-3<0.
\dfrac{3n-2}{n+1}\geqslant 2,8
3n-2\geqslant 2,8 (n+1)
3n-2\geqslant 2,8 n+2,8
3n-2,8n\geqslant 2,8 +2
0,2n\geqslant 4,8
n\geqslant \dfrac{4,8}{0,2}
n\geqslant 24
A partir de \(n_0=24\) on a \(u_n\geqslant 2,8\) pour tout \(n\geqslant n_0\).
53 p 34 :
Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par
u_n=5+\dfrac{3}{2n+1}.
- Calculer les cinq premiers termes de la suite :
u_0=8\;;u_1=6\;;u_2=\dfrac{28}{5}\;;u_3=\dfrac{38}{7}\;;u_4=\dfrac{16}{3}.
2. Déterminer le sens de variation de (un).
On \;a\;u_{n+1}=5+\frac{3}{2n+3}.
u_{n+1}-u_n=\frac{3}{2n+3}-\frac{3}{2n+1}=\frac{3(2n+1)-3(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}
Par suite :
=\frac{-6}{(2n+3)(2n+1)}
Pour tout entier naturel n,
u_{n+1}-u_n<0
donc la suite (un) est strictement décroissante.
3. Calculer le plus petit entier
n_0\;tel\;que\;|u_n-5|\leqslant 0,001.
u_n-5 = \dfrac{3}{2n+1}>0\text{ donc }|u_n-5| = u_n-5 =\dfrac{3}{2n+1}
|u_n-5|\leqslant 0,001
\dfrac{2n+1}{3}\geqslant 1000
\dfrac{3}{2n+1}\leqslant \dfrac{1}{1000}
\text{donc }a\leqslant b\text{ si et seulement si }\dfrac{1}{a}\geqslant\dfrac{1}{b}
La fonction inverse est décroissante sur
]0\;;+\infty[\text{ et sur }]-\infty\;;0[
\text{On obtient }2n+1\geqslant 3000
\dfrac{2999}{2}=1499,5.
n\geqslant \dfrac{2999}{2} ;
\text{On a donc }n_0=1500.
On peut conjecturer que la limite de la suite (un) est 5.
\text{Quand }n\text{ devient grand, }\dfrac{3}{2n+1}\text{ se rapproche de }0.
4. Conjecturer la limite de la suite.
u_n =5+ \dfrac{3}{2n+1}
5. a) Algorithme ...
b)
def limite(eps):
n = 0
u = 8
while abs(u-5) > eps:
n = n+1
u = 5 + 3/(2*n+1)
return n
print(limite(0.001), limite(1e-5), limite(1e-6))
# affiche 1500 150000 1500000
EX 1 : Dans chaque cas calculer les termes de u0 à u5 (Suites définie par une formule explicite) :
Exercices 2019
a) La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par :
u_n=2n+5
b) La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par :
u_n=\dfrac{n^2-1}{n+2}.
EX 2 : Dans chaque cas calculer les termes de u0 à u5 (Suites définie par une formule explicite) :
a) La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par :
u_n=n^2+2n-5
b) La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par :
u_n=|3-2n|
u_1=\dfrac{2\times u_0}{u_0+1}=\dfrac{10}{5+1}=\dfrac{5}{3}
u_2=\dfrac{2\times u_1}{u_1+1}=\dfrac{\frac{10}{3}}{\frac{5}{3}+1}=\dfrac{5}{4}
u_3=\dfrac{2\times u_2}{u_2+1}=\dfrac{\frac{10}{4}}{\frac{5}{4}+1}=\dfrac{10}{9}
u_4=\dfrac{2\times u_3}{u_3+1}=\dfrac{\frac{20}{9}}{\frac{10}{9}+1}=\dfrac{20}{19}
u_5=\dfrac{2\times u_4}{u_4+1}=\dfrac{\frac{40}{19}}{\frac{20}{19}+1}=\dfrac{40}{39}
\left\{\begin{array}{l}
u_0 = 5 \\
u_{n+1} = \dfrac{2u_n}{u_n+1}
\end{array}\right.
EX 3 : Dans chaque cas calculer les termes de u1 à u5 (Suites définie par une relation de récurrence) :
a) La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par :
b)\;f(x)=(x+1)^2
u_1=(u_0+1)^2=(-1+1)^2=0
u_2=(u_1+1)^2=(0+1)^2=1
u_3=(u_2+1)^2=(1+1)^2=4
u_4=(u_3+1)^2=(4+1)^2=25
u_5=(u_4+1)^2=(25+1)^2=676
EX 4 :
1-\dfrac{1}{1+u_n}=
\left\{\begin{array}{l}
u_0 = 1 \\
u_1 = 2 \\
u_{n+2} = 2u_{n+1}+u_n
\end{array}\right.
EX 5 : Calculer les termes de (u2) à (u4) dans les deux cas suivants :
a) La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par :
Pour\;n=0,\;on\;a\;u_2=2u_1+u_0=2\times 2+1 =5
Pour\;n=1,\;on\;a\;u_3=2u_2+u_1=2\times 5+2 =12
Pour\;n=2,\;on\;a\;u_4=2u_3+u_2=2\times 12+5 =29
\left\{\begin{array}{l}
u_0 = 1 \\
u_1 = 2 \\
u_{n+2} = u_{n+1}+n
\end{array}\right.
b) La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par :
Pour\;n=0,\;on\;a\;u_2=u_1+0= 2+0=2
Pour\;n=1,\;on\;a\;u_3=u_2+1=2+1 =3
Pour\;n=2,\;on\;a\;u_4=u_3+2=3+2 =5
EX 6 : On considère L'algorithme suivant :
u \leftarrow 1 \\
pour \;i\leftarrow1\;à\;10\;faire \\
u\leftarrow\dfrac{u-1}{u-2}\\
fin
Que calcule cet algorithme ?
u_{n+1}\;et\; u_n.
Écrire une relation entre
Les termes de u1 à u10 d'une suite définie par récurrence dont le premier terme est u0 = 1.
u_{n+1}=\dfrac{u_n-1}{ u_n-2}.
EX 8 : Représentation graphique d'une suite définie par récurrence
u_0 = 1
u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n+1
u_{n+1} =f(u_n)\;avec\;f(x) =\dfrac{1}{2}x+1
f est une fonction affine, sa représentation graphique est la droite d'équation :
y=\dfrac{1}{2}x+1
On construit ensuite la droite d'équation y = x
On repère u0 sur l'axe des abscisses
u_0
u_1 = f(u_0)
u_1
On reporte ensuite u1 sur l'axe des abscisses
On recommence...
u_0
u_1
u_1
u_2= f(u_1)
u_2
u_3= f(u_2)
u_3
u_4
u_4
On conjecture que la suite est croissante et converge vers 2.
\text{4. Déterminer l'entier }n_0\text{ à partir duquel on a }u_n\geqslant 2,8 \text{ pour tout }
n\geqslant n_0.
\frac{3n-2}{n+1}\geqslant 2,8
3n-2\geqslant 2,8(n+1)
n+1>0\text{ donc}
3n-2\geqslant 2,8n+2,8
0,2n\geqslant 4,8
n\geqslant \dfrac{4,8}{0.2}
n\geqslant 24
\text{A partir de }n_0=24\text{, on a pour tout }
n\geqslant n_0,\;u_n\geqslant 2,8.
Quantificateurs logiques
pour tout (ou quelque soit)
\forall
il existe
\exists
il n'existe pas
\nexists
Suites numériques
By Jean-Marc Kraëber
Suites numériques
Lycée Saint-Exupery
