Équations de droites

Automatismes

Introduction

Exercices

Automatismes

Série 1 : 15 questions

5) Quel est le coefficient directeur de la droite (HE) ?

6) Quel est le coefficient directeur de la droite (AF) ?

7) Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite (HE) ?

8) Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite (AF) ?

Automatismes

Série 2 : 13 questions

\text{1) Soit }d \text{ la droite d'équation }y=2x-3.

Quelle est l'ordonnée du point de \(d\) d'abscisse 4 ?

Quelle est l'abscisse du point de \(d\) d'ordonnée 11 ?

\text{2) Soit }d \text{ la droite d'équation }y=2x-3.

Quelle est son coefficient directeur ?

\text{3) Soit }d \text{ la droite d'équation }y=2x-3.

Quelle est son ordonnée à l'origine ?

\text{4) Soit }d \text{ la droite d'équation }y=2x-3.

Le point de coordonnées \( (7~;~5) \) appartient-il à \(d\) ?

\text{5) Soit }d \text{ la droite d'équation }2x-3y+1=0.

Quelle est son équation réduite ?

\text{6) Soit }d \text{ la droite d'équation }-5x+2y+4=0.
\text{7) Résoudre le système }
\left\{\begin{array}{rcl} 2x+y&=&6 \\ x-y&=&3\end{array}\right.
\text{8) Soit }d \text{ la droite d'équation }y=2x-3.
\text{Soit }d' \text{ la droite d'équation }y=-4x+5.

\(d\) et \(d'\) sont-elles sécantes ou parallèles ? 

\text{Résoudre le système }
\left\{\begin{array}{rcl} y&=&2x-3 \\ y&=&-4x+5\end{array}\right.
\text{9) Soit }d \text{ la droite d'équation }y=2x-3.
\text{Soit }d' \text{ la droite d'équation }y=-4x+5.
\text{10) Soit }d \text{ la droite d'équation }y=2x-3.
\text{Soit }d' \text{ la droite d'équation }y=-4x+5.

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de \(d\) et \(d'\) ?

\text{11) Soit }d \text{ la droite d'équation }-5x+2y+4=0.
\text{Soit }d' \text{ la droite d'équation }4x+3y-1=0.

\(d\) et \(d'\) sont-elles sécantes ou parallèles ? 

\text{12) Dans un repère, tracer la droite d'équation }y=\dfrac{1}{3}x-1.
\text{13) Soit }A(3~;~5) \text{ et }B(-1~;~13).

Déterminer une équation réduite de la droite (AB).

 Équations de droites

Introduction :

On considère les points \(A(1~;-5)\) et \(B(-3~;2)\) du plan muni d'un repère.

Que peut-on dire des points \(M(x~;~y)\) tels que \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires ? 

Ils appartiennent à la droite (AB).

Existe-t-il une relation qui caractérise les coordonnées \(x\) et \(y\) d'un point M de la droite (AB) ? 

\text{On a } \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4\\ 7 \end{pmatrix} \text{ et } \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-1\\ y+5 \end{pmatrix}.

 \(A(1~;-5)\) ; \(B(-3~;2)\) ; \(M(x~;y)\)

\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AM}\text{ sont colinéaires si et seulement si }
-4\times(y+5)-7\times(x-1)=0
7x+4y+13=0

Cette relation s'appelle équation cartésienne de la droite (AB).

Cette relation est vérifiée par les couples de coordonnées des points de la droite (AB) et par eux seuls.

37 p 230

38 p 230

39 p 230

1. \text{Pour }x=0:
y+1=0 \text{ donc }y=-1
d_1 \text{ passe par le point de coordonnées }(0~;~-1)
\text{Pour }x=1:
1+y+1=0 \text{ donc }y=-2
d_1 \text{ passe par le point de coordonnées }(1~;~-2)

Rq. On peut aussi calculer l'abscisse du point de \(d_1\) d'ordonnée 0, on a le choix.

44 p 230

On regarde si les coordonnées du point A vérifient ou pas l'équation de la droite d : 

-4+4\times 9-20=12\neq 0\text{ donc }A\notin d

45 p 230

48 p 230

=-b
=a
\text{donc }b=-1
ax+by+c=0
1x-1y+c=0
d \text{ passe par le point de coordonnées }(0~;~0)\text{ donc :}
0- 0+c=0
\text{On en déduit que }c=0.
d \text{ a pour équation cartésienne }x-y=0
x-y+c=0
-x+3y-1=0

57 p 233

Coefficient directeur d'une droite 

m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}

Coefficient directeur de la droite (AB)

\Delta y=2
\Delta x = 3
m= \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{2}{3}
m>0

La droite "monte"

Un autre exemple :

\Delta y=-2
\Delta x = 3
m= \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-\dfrac{2}{3}
m<0

La droite "descend"

Un autre exemple :

D'autres exemples :

m=\dfrac{1}{1}=1
m=\dfrac{2}{1}=2
m=\dfrac{0}{1}=0

D'autres exemples :

m=\dfrac{-2}{1}
m=\dfrac{3}{1}
m=-2
m=3
m=\dfrac{-3}{1}
m=-3

57 p 233

m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{3}{4}=0,75
\Delta x=4
\Delta y=3
x_B=5
y_B =~?
m=0,75
B
x_A=2
y_A =3
y_B=3+0,75\times 3=5,25
A
0,75
1
\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=m

Méthode 1 :

Méthode 2 :

y_B=0,75\times 3+3
\dfrac{y_B-3}{5-2}=0,75
\dfrac{y_B-3}{3}=0,75
y_B-3=0,75\times 3
y_B=5,25

59 p 233

Méthode : placer le point A puis "compter les carreaux "

59 p 233

m=\dfrac{4}{5}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}

60 p 233

61 p 233

1. \text{Pour }x=2:
y=\dfrac{1}{3}\times 2 - \dfrac{5}{3}=-1
d_1 \text{ passe par le point de coordonnées }(2~;~-1)
\text{Pour }x=-1:
d_1 \text{ passe par le point de coordonnées }(-1~;~-2)

Méthode 1 : Comme pour les équations cartésiennes, on détermine deux points de chaque droite en choisissant des valeurs pour remplacer \(x\) ou \(y\) :

y=\dfrac{1}{3}\times (-1) - \dfrac{5}{3}=-2

61 p 233

\text{1. Ici }p=-\dfrac{5}{3} \text{ donc }d_1\text{ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées }\left(0~;~-\dfrac{5}{3}\right)
m=\dfrac{1}{3}\text{ donc "on avance de 3 carreaux et on monte de 1"}

Méthode 2 : On procède comme dans l'exercice 59 p 233 :

1.~~y=2x-1
2.~~3y=1,5x+4,5
y=0,5x+1,5
3.~~-\dfrac{7}{3}y=3
y=-\dfrac{9}{7}
1.~~\text{On cherche une équation de la forme }y=-3x+p.
A\text{ appartient à la droite donc on remplace }x \text{ et y }
2=-3\times 5+p.\text{ On obtient }p=17.
\text{L'équation cherchée est }y=-3x+17.
\text{par les coordonnées de }A\text{ pour calculer }p :
2.~~y=\dfrac{1}{2}x+1
3.~~y=2x+\dfrac{5}{7}
\text{On cherche une équation de la forme }y=\dfrac{4}{9}x+p.
x_A\ne x_B

donc la droite \((AB)\) a une équation de la forme 

y=mx+p.

b) On calcule m le coefficient directeur de la droite :

m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{3-(-1)}{3-(-6)}=\dfrac{4}{9}

1. Méthode :

a) On commence par comparer les abscisses des 2 points :

c)~~\text{ On remplace ensuite }x \text{ et }y\text{ par les coordonnées de }A
\text{ou de }B \text{ pour calculer }p :
-1=\dfrac{4}{9}\times (-6)+p
\text{On obtient } p = \dfrac{5}{3}.
(AB)\text{ a pour équation réduite : }y=\dfrac{4}{9}x+\dfrac{5}{3}.

2. \(x_A=x_B=5\) donc \((AB)\) a pour équation réduite \(x=5\).

3. \(x_A\ne x_B\) donc la droite \((AB)\) a une équation de la forme \(y=mx+p\).

m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{\dfrac{2}{9}-\left(-\dfrac{7}{9}\right)}{0-4}=-\dfrac{1}{4}
y=-\dfrac{1}{4}x+p ~;~
B \text{ a pour coordonnées}\left(0~;~\dfrac{2}{9}\right) \text{ donc }p=\dfrac{2}{9}.
(AB)\text{ a pour équation réduite : }y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{2}{9}.

65 p 233

Les droites \(d\) et \(d'\) sont parallèles donc un vecteur directeur de \(d\) est aussi un vecteur directeur de \(d'\).

On en déduit que \(d'\) a une équation de la forme \(2x+y+c=0\).

C'est la cas du vecteur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\).

\(A\in d'\) donc \(2\times (-1)+5+c=0\).

On obtient \(c=-3\).

En conclusion, une équation cartésienne de \(d'\) est donc  \(2x+y-3=0\).

69 p 233

78 p 235

\left\{\begin{array}{rcl} x-y+3&=&0 \\ 3x+4y-19&=&0\end{array}\right.

Résolution du système avec la méthode par substitution :

Dans la première équation on exprime \(y\) en fonction de \(x\) :

y = x+3

Dans la deuxième équation on substitue à \(y\) l'expression obtenue :

3x+4(x+3)-19=0

On résout l'équation :

3x+4(x+3)-19=0
7x-7=0
x=1

On détermine la deuxième inconnue :

y = x+3=1+3=4

Conclusion :

Le couple \((1~;~4)\) est la solution du sytème\(\left\{\begin{array}{rcl} x-y+3&=&0 \\ 3x+4y-19&=&0\end{array}\right.\). 

Les droites d'équations respectives \(x-y+3=0\) et \(3x+4y-19=0\) sont donc sécantes et leur point d'intersection a pour coordonnées \((1~;~4)\). 

\left\{\begin{array}{rcl} x-y+3&=&0 \\ 3x+4y-19&=&0\end{array}\right.

Résolution du système avec la méthode par combinaisons :

\times 3
\left\{\begin{array}{rcl} 3x-3y+9&=&0 \\ 3x+4y-19&=&0\end{array}\right.

On soustrait membre à membre les deux équations :

3x-3y+9-(3x+4y-19)=0
-3y+9-4y+19=0

On obtient une équation à une inconnue que l'on peut résoudre :

y=4
\left\{\begin{array}{rcl} x-y+3&=&0 \\ 3x+4y-19&=&0\end{array}\right.
\times 4
\left\{\begin{array}{rcl} 4x-4y+12&=&0 \\ 3x+4y-19&=&0\end{array}\right.

On ajoute membre à membre les deux équations :

4x-4y+12+(3x+4y-19)=0
4x+12+3x-19=0

On obtient une équation à une inconnue que l'on peut résoudre :

x=1

82 p 236

Précédente version

1 Rappels sur les fonctions affines

Définition : Soient m et p deux réels.
La fonction f définie sur      par                                   est une fonction affine.
Le coefficient m est appelé coefficient directeur.
Le coefficient p est appelé ordonnée à l’origine.

f(x)=mx+p

Propriété : La représentation graphique de la fonction affine f définie sur      par                                est une droite.

Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; p).

f(x)=mx+p

 Équations de droites

2 Équations de droites

Propriété : Dans un repère (O ; I ; J), toute droite D non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine.
Elle admet donc une équation de la forme y = mx + p.

Le coefficient m est appelé coefficient directeur.
Le coefficient p est appelé ordonnée à l’origine.

Démonstration :
La droite D n’étant pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle le coupe en un point A.

D

Elle coupe aussi la parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point I. 

On note B le point d’intersection.

On a donc A (0 ; p) et B (1 ; q).

Soit f la fonction affine définie par

f(x) = (q-p)x+p

La représentation graphique de la fonction affine f est donc une droite qui passe par A(0 ; p) et B(1 ; q).

Comme la seule droite passant par les points A et B est la droite D, la droite D est la représentation graphique de la fonction affine f et admet comme équation y = mx + p (en posant m = q  p).

On a : 

f(0) = p

et

f(1)=(q-p)\times1+p=q-p+p=q

Remarque : 

L'équation d'une droite est l'équation vérifiée par les coordonnées (x ; y) de chacun de ses points et eux seuls.

Propriété : Dans un repère (O ; I ; J), toute droite      parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme             .

Démonstration :
La droite        étant parallèle à l’axe des ordonnées, elle coupe l’axe des abscisses en un point A.

\Delta
x=c
\Delta

Un point M (x ; y) est sur      si et seulement si il a la même abscisse que A.

\Delta

La droite       admet donc comme équation            .

\Delta
x=c.

3 Coefficient directeur d’une droite

Propriété :

Dans un repère, on considère les points 

                             Le coefficient directeur de la droite (AB) est :

 

 

A(x_A;y_A)\; et \;B(x_B;y_B)

avec

x_A\ne x_B.
m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}

Démonstration :
Comme                  , la droite (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Elle admet donc une équation de la forme 

x_A\ne x_B
y=mx+p.

Comme les points A et B sont sur cette droite, on a :

y_A=mx_A+p \;et\; y_B=mx_B+p
y_B-y_A=(mx_B+p)-(mx_A+p)=mx_B+p-mx_A-p
=mx_B-mx_A=m(x_B-x_A)
x_A\ne x_B

Comme                  , on peut diviser cette expression par 

x_B-x_A

On obtient 

m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.

Méthodes : Déterminer l'équation d'une droite 

a) graphiquement

Il s'agit de lire sur un graphique m, le coefficient directeur de la droite ainsi que p, son ordonnée à l'origine.

Pour la lecture de m, le coefficient directeur de la droite on repère 2 nœuds de quadrillage appartenant à la droite : 

\Delta y=2
\Delta x = 3
m= \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{2}{3}
m>0

La droite "monte"

\Delta y=-2
\Delta x = 3
m= \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-2}{3}
m<0

La droite "descend"

m= \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1}{1}=1
m=\dfrac{2}{1}=2
m=\dfrac{-2}{1}
m=\dfrac{3}{1}
m=-2
m=3
m=\dfrac{-3}{1}
m=-3

Cas particulier :

\Delta y=0\;donc\;m=0

Pour la lecture de p, on lit l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées : 

p=2
p=-2
d_1:y=\dfrac{1}{2}x+5
d_2:y=5
d_3:y=\dfrac{-3}{4}x+\dfrac{5}{2}
d_4:y=\dfrac{1}{2}x
d_5:x=-2

b) par le calcul

Méthode : Déterminer une équation de droite 

b) par le calcul

1.  Méthode 1 :

x_A\ne x_B

donc la droite (AB) a une équation de la forme 

y=mx+p.

On continue en calculant m :

m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{7-3}{-1-1}=-2

On commence par regarder les abscisses des 2 points :

On remplace m par sa valeur dans l'équation : 

y=-2x+p.

Pour calculer p, on remplace dans l'équation x et y par les coordonnées de A ou de B : 

3 = -2 x 1 + p  ou 7 = -2 x (-1) + p

ce qui nous donne p = 5.

Conclusion : (AB) a pour équation : 

y=-2x+5.

1.  Méthode 2 :

Soit  M(x ; y) un point de la droite (AB) :

Les vecteurs                                         et                          sont colinéaires donc 

\vec{AB}(-2\;;4)
\vec{AM}(x-1\;;y-3)
(x-1)\times4-(y-3)\times(-2) = 0 \Longleftrightarrow 4x+2y-10=0

Équation cartésienne

4x+2y-10=0\Longleftrightarrow 2y=-4x+10\Longleftrightarrow y=-2x+5

Équation réduite

2. 

Le point C (2 ; y) appartient à la droite (AB) donc ses coordonnées vérifient l'équation de (AB) : y = -2 x 2 + 5. 

3. 

De même le point D (x ; -2) appartient à la droite (AB) donc ses coordonnées vérifient également l'équation de (AB)

On obtient y = 1. L'ordonnée de C est 1.

-2 = -2x + 5.

On résout l'équation et on obtient 

x= \dfrac{7}{2}.

L'abscisse de D est 

\dfrac{7}{2}.

1

2

4 Positions relatives de deux droites

Théorème 1 (admis) : Dans un repère, on considère la droite D d’équation y = mx + p et la droite D'  d’équation y = m'x + p.
Dire que D et D' sont parallèles équivaut à m = m'.

Théorème 2 : Dans un repère, on considère la droite D d’équation y = mx + p et la droite D'  d’équation y = m'x + p.
Dire que D et D' sont sécantes équivaut à 

m\ne m'.

Théorème 3 : Dans un repère, on considère trois points A, B et C tels que l’abscisse de A soit différente de celle de B et de celle de C.
Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les coefficients directeurs de (AB) et (AC) sont égaux.

Démonstration :
Comme l’abscisse de A est différente de celle de B et de C, les droites (AB) et (AC) ne sont pas parallèles à l’axe des ordonnées.

Donc, d’après le Théorème 1, dire que (AB) // (AC) équivaut à dire que les coefficients directeurs de (AB) et (AC) sont égaux.

De plus, comme les droites (AB) et (AC) ont un point commun (le point A), dire qu’elles sont parallèles revient à dire qu’elles sont confondues et donc que les points A, B et C sont alignés.

d1 a pour coef. directeur :

d2 a pour coef. directeur :

\frac{3}{7}
\frac{2}{5}
\frac{3}{7} \ne \frac{2}{5}

donc les droites d1 et d2 ne sont pas parallèles.

      est parallèle à d donc       a le même coefficient directeur que d. il s'agit simplement de trouver p, son ordonnée à l'origine.

\Delta
\Delta

Pour démontrer que deux droites sont sécantes, on montre que leurs coefficients directeurs sont différents :

1

1

3

-1

p'= 6

p= 2

M

Soit M(x ; y) le point d'intersection des droites (AB) et  (CD). 

2de : Équations de droites

By Jean-Marc Kraëber

2de : Équations de droites

Lycée Saint-Exupery

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