Notion de Vecteur
Activité A p 172
H
V
\overrightarrow{TU}\neq \overrightarrow{DA}\text{ car les droites (TU) et (DA) ne sont pas parallèles,}
\text{ Les vecteurs } \overrightarrow{TU} \text{ et } \overrightarrow{DA} \text{ n'ont pas la même direction}.
\overrightarrow{CG}\neq \overrightarrow{DA}\text{ car }CG\neq DA
\text{ Les vecteurs } \overrightarrow{CG} \text{ et } \overrightarrow{DA} \text{ n'ont pas la même norme (longueur)}.
\overrightarrow{RB}\neq \overrightarrow{DA}\text{ car les vecteurs } \overrightarrow{CG} \text{ et } \overrightarrow{DA} \text{ n'ont pas le même sens}.
H
V
On peut écrire par exemple :
- Si \(EDAH\) est un parallélogramme alors les vecteurs \(\overrightarrow{ED}\) et \(\overrightarrow{HA}\) sont égaux.
- Si le point F est l’image du point V par la translation de vecteur \(\overrightarrow{DA}\) alors VDAF est un parallélogramme.
I
J
On peut passer du point H au point J par la translation de vecteur \(\overrightarrow{DM}\).
\text{On définit la somme de deux vecteurs : } \overrightarrow{DR}+\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{DM}
- Les trois caractéristiques d’un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme (sa longueur).
- Pour représenter un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) on trace une flèche dont le point initial est \(A\) et l’extrémité est le point \(B\).
- Pour construire une somme de vecteurs, on représente le premier vecteur puis, à partir de l’extrémité de ce vecteur, on construit le deuxième. Le vecteur somme est défini par l’origine du premier vecteur et l’extrémité du second.
Démontrer avec des vecteurs
EX. 1
A
B
C
M
N
Construction des points :
A
B
C
M
N
\text{M est l'image de C par la translation de }\overrightarrow{AB}
\text{donc }\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CM}.
\text{On en déduit que ABMC est un parallélogramme.}
A
B
C
M
N
\text{M est l'image de C par la translation de }\overrightarrow{AB}
\text{donc }\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CM}.
\text{On en déduit que ABMC est un parallélogramme.}
\text{Donc }\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CA}.
\text{N est l'image de A par la translation de }\overrightarrow{CA}
\text{donc }\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AN}.
A
B
C
M
N
\textcolor{white}{\text{On a }}\overrightarrow{MB}\textcolor{white}{=\overrightarrow{CA}\text{ et }\overrightarrow{CA}=}\overrightarrow{AN}\textcolor{white}{ \text{ donc }}\overrightarrow{MB}\textcolor{white}{=}\overrightarrow{AN}.
\text{On en déduit que AMBN est un parallélogramme.}
EX. 2
Règle du parallélogramme
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow
\text{ABDC est un parallélogramme}
Rq. Ici ABDC a un angle droit donc c'est un rectangle.
\text{On construit un représentant }
\text{du vecteur }\overrightarrow{CA} \text{ d'origine B, }\overrightarrow{BE}
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}
=\overrightarrow{AE}
d'après la relation de Chasles.
On met les vecteurs "bout à bout"
\text{On construit un représentant }
\text{du vecteur }\overrightarrow{CA} \text{ d'origine A, } \overrightarrow{AM}
\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MF}
=\overrightarrow{AF}
d'après la relation de Chasles.
On met les vecteurs "bout à bout" à partir de A
\text{On construit un représentant }
\text{du vecteur }\overrightarrow{BA} \text{ d'origine M, } \overrightarrow{MF}
\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}
On peut inverser les deux vecteurs dans une somme cela ne modifie pas le résultat
d'après la relation de Chasles.
\text{On construit un représentant }\text{du vecteur }\overrightarrow{BC} \text{ d'origine A, } \overrightarrow{AG}
On conjecture que le quadrilatère DEFG est un rectangle.
Nous allons utiliser les vecteurs pour montrer que ses diagonales se coupent en leur milieu, A.
\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}
=-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}
=-(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})
=-\overrightarrow{AD}
\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AF}
\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{AE}
\Leftrightarrow A\text{ est le milieu de }[DF].
On montre de la même façon
que donc que
A est aussi le milieu de [GE].
Les diagonales du quadrilatère DEFG se coupent en leur milieu donc DEFG est un parallélogramme.
On a vu que ABDC est un rectangle donc
\widehat{BDC}=90°.
Le parallélogramme DEFG a un angle droit donc c'est un rectangle.
EX. 3
\text{ABCD est un quadrilatère.}\\
\text{Démontrer que }
\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}
On va utiliser la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs du premier membre de l'égalité afin de faire apparaître ceux du deuxième membre :
\overrightarrow{AD}\textcolor{white}{\;+}\textcolor{orange}{\;\overrightarrow{CB}} \textcolor{white}{=} \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\textcolor{white}{\;+}\textcolor{orange}{\;\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}}
d'après la
relation de Chasles.
\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}
On a donc
\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BB}
d'après la relation de Chasles.
\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{0}
\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}
soit
donc
d'où
41 p 186
Exemple :
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{AK}\dots
Exemple :
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AG}\dots
Exemple :
\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{CG}
42 p 187
d.~~\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}\text{ se transforme en }\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{EF}
\text{donc }\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FE}
Exercices supplémentaires
\vec{AB}(\frac{1}{2}-\frac{-7}{2};\frac{3}{2}-\frac{-1}{2})
\vec{AB}(\frac{8}{2};\frac{4}{2})
\vec{AB}(4;2)
\vec{AC}(\frac{5}{2}-\frac{-7}{2};\frac{5}{2}-\frac{-1}{2})
\vec{AC}(\frac{12}{2};\frac{6}{2})
\vec{AC}(6;3)
4 \times 3 = 6 \times2
4 \times \frac{207}{4} = \frac{207}{2} \times2
4 \times (-47) \ne -\frac{193}{2} \times2
5 \times1,5 = 3 \times 2,5
Les vecteurs 2023
By Jean-Marc Kraëber
Les vecteurs 2023
Lycée Saint-Exupery
