Vecteurs - Colinéarité
donc le quadrilatère BDCA est un parallélogramme.
BD=AC
\vec{BD}=\vec{AC}
On en déduit que
BA=DC.
\vec{BA}=\vec{DC}.
Il en résulte que
AE=DC
\vec{AE}=\vec{DC}
et le quadrilatère ADCE est un parallélogramme.
Vecteurs - Colinéarité
1 Colinéarité de deux vecteurs
1.1 Vecteurs colinéaires
Remarque : On conviendra que le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
0
\vec{0}
Applications :
- Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
- Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
ABetCD
\vec{AB}\;et\;\vec{CD}
ABetAC
\vec{AB}\;et\;\vec{AC}
1.2 Expression de la colinéarité dans un repère
Remarque :
Cette propriété est due au fait que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
2 Décomposition d’un vecteur
2.1 Décomposer un vecteur suivant deux vecteurs non colinéaires
Exemples :
1) Sur la figure ci-dessous on a :
w=3u+2v
\vec{w}=3\vec{u}+2\vec{v}
Théorème 2 : (admis) Soit A, B et C trois points du plan non alignés. Alors, pour tout point M du plan, il existe un unique couple de réels (x ; y) tel que :
AM=xAB+yAC
\vec{AM}=x\vec{AB}+y\vec{AC}
Remarques :
- Cette décomposition est souvent obtenue grâce à la relation de Chasles.
- On utilise souvent ce type de décomposition pour des problèmes de colinéarité (voir exercice résolu B page 172 TransMath 2011)
2.2 Une nouvelle notation pour les repères
Soit O, I, J trois points non alignés. Ils forment donc le repère (O ; I ; J).
Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc d’après le 2.1, pour tout point M du plan, il existe un unique couple (x ; y) tel que : Ce couple (x ; y) est en fait le couple de coordonnées du point M dans le repère (O ; I ; J)
On notera donc ce repère sous la forme :
OM=xi+yj
\vec{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}
ietj
\vec{i}\;et\;\vec{j}
(O;i;j)
(O;\vec{i};\vec{j})
Remarque : Le choix d’un point et de deux vecteurs non colinéaires permet donc de définir un repère du plan. Choisir un repère peut permettre de résoudre plus facilement des problèmes liés à la colinéarité (voir exercice résolu F page 176 TransMath).
5AD=3AB+2AC⇔5(AB+BD)=3AB+2AC
5\vec{AD}=3\vec{AB}+2\vec{AC}\Leftrightarrow 5(\vec{AB}+\vec{BD})=3\vec{AB}+2\vec{AC}
⇔5AB+5BD=3AB+2AC
\Leftrightarrow 5\vec{AB}+5\vec{BD}=3\vec{AB}+2\vec{AC}
⇔5BD=−2AB+2AC
\Leftrightarrow 5\vec{BD}=-2\vec{AB}+2\vec{AC}
⇔BD=52AC−52AB
\Leftrightarrow \vec{BD}=\frac{2}{5}\vec{AC}-\frac{2}{5}\vec{AB}
⇔BD=52(AC−AB)
\Leftrightarrow \vec{BD}=\frac{2}{5}(\vec{AC}-\vec{AB})
⇔BD=52(AC+BA)
\Leftrightarrow \vec{BD}=\frac{2}{5}(\vec{AC}+\vec{BA})
⇔BD=52BC
\Leftrightarrow \vec{BD}=\frac{2}{5}\vec{BC}
2 (a) (b)
Les vecteurs sont colinéaires donc les points B, C et D sont alignés.
BDetBC
\vec{BD}\;et\;\vec{BC}
IJ=IA+AJ
\vec{IJ}=\vec{IA}+\vec{AJ}
2 (a)
=AJ−AI
=\vec{AJ}-\vec{AI}
=2AB+AC−AB−2AC
=2\vec{AB}+\vec{AC}-\vec{AB}-2\vec{AC}
=AB−AC
=\vec{AB}-\vec{AC}
IJ=CA+AB
\vec{IJ}=\vec{CA}+\vec{AB}
donc les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
IJ=CB
\vec{IJ}=\vec{CB}
2 (b)
AG=AF+AE
\vec{AG}=\vec{AF}+\vec{AE}
AEGF est un parallélogramme donc
AG=3AD+AB+BE
\vec{AG}=3\vec{AD}+\vec{AB}+\vec{BE}
AG=3AD+3AB
\vec{AG}=3\vec{AD}+3\vec{AB}
AG=3(AD+AB)
\vec{AG}=3(\vec{AD}+\vec{AB})
AG=3AC
\vec{AG}=3\vec{AC}
(ABCD, parallélogramme)
Les vecteurs
sont colinéaires donc
les points A, C et G sont alignés.
AGetAC
\vec{AG} \;et\;\vec{AC}
u=23i+2j
\vec{u}=\frac{3}{2}\vec{i}+2\vec{j}
v=i−3j
\vec{v}=\vec{i}-3\vec{j}
w=−23i−4j
\vec{w}=-\frac{3}{2}\vec{i}-4\vec{j}
AD=3AB−2AC⇔AB+BD=3AB−2AC
\vec{AD}=3\vec{AB}-2\vec{AC}\Leftrightarrow \vec{AB}+\vec{BD}=3\vec{AB}-2\vec{AC}
⇔BD=2AB−2AC
\Leftrightarrow \vec{BD}=2\vec{AB}-2\vec{AC}
2 (a)
2 (b)
BD=2AB−2AC⇔BD=2CA+2AB
\vec{BD}=2\vec{AB}-2\vec{AC}\Leftrightarrow \vec{BD}=2\vec{CA}+2\vec{AB}
⇔BD=2(CA+AB)
\Leftrightarrow \vec{BD}=2(\vec{CA}+\vec{AB})
⇔BD=2CB
\Leftrightarrow \vec{BD}=2\vec{CB}
⇔BD=−2BC
\Leftrightarrow \vec{BD}=-2\vec{BC}
Les vecteurs sont colinéaires donc les points B, C et D sont alignés.
BDetBC
\vec{BD}\;et\;\vec{BC}
IJ=IB+BA+AJ
\vec{IJ}=\vec{IB}+\vec{BA}+\vec{AJ}
=−21AB−AB+3AD
=-\frac{1}{2}\vec{AB}-\vec{AB}+3\vec{AD}
IJ=−23AB+3AD
\vec{IJ}=-\frac{3}{2}\vec{AB}+3\vec{AD}
2 (a)
IC=IB+BC
\vec{IC}=\vec{IB}+\vec{BC}
=−21AB+AD
=-\frac{1}{2}\vec{AB}+\vec{AD}
(ABCD est un parallélogramme donc )
BC=AD
\vec{BC}=\vec{AD}
2 (b)
IJ=3IC
\vec{IJ}=3\vec{IC}
IJetIC
\vec{IJ}\;et\;\vec{IC}
sont colinéaires
donc I, J et C sont alignés.
a)
b)
c)
AE=32AB+31AC
\vec{AE}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}
1.AP=AB−2AC⇔AP=AB−2(AI+IC)
1.\;\vec{AP}=\vec{AB}-2\vec{AC}\Leftrightarrow \vec{AP}=\vec{AB}-2(\vec{AI}+\vec{IC})
⇔AP=AB−2AI−2IC
\Leftrightarrow \vec{AP}=\vec{AB}-2\vec{AI}-2\vec{IC}
I est le milieu de [AB] donc
AB=2AI
\vec{AB}=2\vec{AI}
On en déduit que
AP=−2IC
\vec{AP}=-2\vec{IC}
Les vecteurs sont donc colinéaires et les droites (AP) et (CI) sont parallèles.
APetIC
\vec{AP}\;et\;\vec{IC}
AQ=31CA−CA=32AC
\vec{AQ}=\frac{1}{3}\vec{CA}-\vec{CA}=\frac{2}{3}\vec{AC}
AR=AC+CR
\vec{AR}=\vec{AC}+\vec{CR}
=−31AB−34CA
=-\frac{1}{3}\vec{AB}-\frac{4}{3}\vec{CA}
=CR−CA
=\vec{CR}-\vec{CA}
=−31CA−31AB−CA
=-\frac{1}{3}\vec{CA}-\frac{1}{3}\vec{AB}-\vec{CA}
=−31AB+34AC
=-\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{4}{3}\vec{AC}
CI=CB+BI=−CK+2CJ
\vec{CI}=\vec{CB}+\vec{BI}=-\vec{CK}+2\vec{CJ}
3 Équation cartésienne d’une droite
3.1 Vecteur directeur d’une droite
Définition : Soit d une droite.
On dit que le vecteur est un vecteur directeur de d si sa direction est celle de d .
u
\vec{u}
u
\vec{u}
Remarques :
- Tout vecteur non nul, colinéaire à est aussi un vecteur directeur de la droite d.
- Si A et B sont deux points distincts de d, alors est un vecteur directeur de d.
- La droite d est entièrement déterminée par la donnée d’un point A et d’un vecteur directeur
AB
\vec{AB}
u.
\vec{u}.
Propriété : Soit d et d' deux droites de vecteurs directeurs respectifs d et d' sont parallèles si et seulement si sont colinéaires.
uetu′.
\vec{u}\;et\;\vec{u'}.
uetu′
\vec{u}\;et\;\vec{u'}
3.2 Équation cartésienne d’une droite
Théorème : Dans un repère :
- Toute droite admet une équation de la forme ax + by + c = 0.
- Réciproquement, toute équation de la forme ax + by + c = 0 (avec a et b non simultanément nuls) est une équation de droite. Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite.
(O;i;j)
(O;\vec{i};\vec{j})
Remarque : Il n’y a pas unicité de l’équation cartésienne d’une droite. La droite D d’équation x − y + 1 = 0 admet aussi comme équation 2x − 2y + 2 = 0 ou −x + y − 1 = 0 par exemple.
D’après la démonstration précédente, on a la propriété suivante :
Propriété : Soit D la droite d’équation ax + by + c = 0.
Le vecteur est un vecteur directeur de D.
u(−ba)
\vec {u}\begin{pmatrix}
-b \\
a
\end{pmatrix}
Exercice résolu : Trouver une équation cartésienne de la droite D passant par A (1 ; 2) et de vecteur directeur :
u(−13)
\vec {u}\begin{pmatrix}
-1 \\
3
\end{pmatrix}
(−ba)=(−13)donca=3etb=1
\begin{pmatrix}
-b \\
a
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
-1 \\
3
\end{pmatrix}donc \;a=3 \;et\;b=1
a) d est parallèle à Δ donc d a une équation de la forme
2x−y+c=0 et A(0 ;1)∈d donc 2×0−1+c=0⇔c=1
Une équation cartésienne de d : 2x−y+1=0
b) d est parallèle à Δ donc d a une équation de la forme
54x−75y+c=0
\dfrac{4}{5}x-\dfrac{5}{7}y+c=0
A(47 ;58)∈ddonc
A\left(\dfrac{7}{4}~;\dfrac{8}{5}\right) \in d\;donc
54×47−75×58+c=0⇔57−78+c=0⇔c=−359
\dfrac{4}{5}\times \dfrac{7}{4}-\dfrac{5}{7}\times \dfrac{8}{5}+c=0\Leftrightarrow \dfrac{7}{5}-\dfrac{8}{7}+c=0\Leftrightarrow c=-\dfrac{9}{35}
54x−75y−359=0⇔28x−25y−9=0
\dfrac{4}{5}x-\dfrac{5}{7}y-\dfrac{9}{35}=0\Leftrightarrow 28x-25y-9=0
28x−25y−9=0 est une équation cartésienne de d.
3.3 Lien entre équation réduite et équation cartésienne
Propriété 1 : Soit D une droite d’équation cartésienne
ax + by + c = 0 (avec a et b non simultanément nuls).
- Si b = 0, alors D est une droite parallèle à l’axe des ordonnées, qui admet une unique équation réduite de la forme x = k, avec k ∈ R.
- Si b ≠ 0, alors la droite D n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées ; elle admet une unique équation réduite de la forme y = mx + p avec m, p ∈ R.
Propriété 2 : Dans un repère
- Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées, qui admet une unique équation réduite de la forme x = k, avec k ∈ R, a comme vecteur directeur
- Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées qui admet une unique équation réduite de la forme y = mx + p avec m, p ∈ R, a comme vecteur directeur
(O;i;j):
(O;\vec{i};\vec{j}) :
u(01).
\vec {u}\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}.
u(1m).
\vec {u}\begin{pmatrix}
1 \\
m
\end{pmatrix}.
a=metb=−1donc(−ba)=(1m)
a=m \;et\;b=-1\;donc\begin{pmatrix}
-b \\
a
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 \\
m
\end{pmatrix}
Vecteurs - Colinéarité donc le quadrilatère BDCA est un parallélogramme. B D ⃗ = A C ⃗ \vec{BD}=\vec{AC} On en déduit que B A ⃗ = D C ⃗ . \vec{BA}=\vec{DC}. Il en résulte que A E ⃗ = D C ⃗ \vec{AE}=\vec{DC} et le quadrilatère ADCE est un parallélogramme.
1S : Vecteurs - colinéarité
By Jean-Marc Kraëber
1S : Vecteurs - colinéarité
Lycée Saint-Exupéry - La Rochelle
- 1,877
