Dérivation


(La droite d4 passe par la point de coordonnées (3 ; 3)) |





La limite de −h−3 quand h tend vers 0 est égale à −3 donc f est dérivable en 2 et f′(2)=−3.
3. A la calculatrice :




La limite de 12+6h+h2 quand h tend vers 0 est égale à 12 donc f est dérivable en 2 et f′(2)=12.
3. A la calculatrice :


La limite de 1+h−1 quand h tend vers 0 est égale à −1 donc f est dérivable en 1 et f′(1)=−1.
La limite de 2(2+h)−1 quand h tend vers 0 est égale à −41 donc f est dérivable en 2 et
f′(2)=−41.
On en déduit que


f′(1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d'abscisse 1, c'est à dire la droite (AB).

On remplace m par −425 dans l'équation de TB :
On en déduit que p=−421.
3. TB a pour coefficient directeur f′(−1)=−425 .
TC a pour coefficient directeur f′(3)=−12101 .
−425=−12101 donc TB et TC ne sont pas parallèles.

Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse a :
TA admet pour équation réduite

Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse a :
TB admet pour équation réduite

Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse a :
TC admet pour équation réduite
Parcours orange




1. Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 4 :


Calcul de f′(4) :
La limite de −h−6 quand h tend vers 0 est égale à −6 donc f′(4)=−6.
L'équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 4 est donc
2. Pour étudier les positions relatives de Cf et de sa tangente d on étudie le signe de f(x)−(−6x+24).
Soit
Δ=0 donc le trinôme est toujours du signe de a donc négatif et s'annule pour x0=4.
Conclusion : Cf est toujours située en-dessous sa tangente d.
Pour étudier le signe du trinôme −x2+8x−16, on calcule son discriminant.

On en déduit que
La limite de 6a+3h−2 quand h tend vers 0 est égale à 6a−2 donc pour tout réel a, f est dérivable en a et f′(a)=6a−2.

1. a. Calcul de f′(−2) :
La limite de 2(h−2)1 quand h tend vers 0 est égale à −41 donc f′(−2)=−41.
Avec un calcul similaire, on obtient f′(2)=−41.
b. Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse −2 :
Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 2 :
c. Les deux tangentes ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles.
3. A′ est le symétrique de A(a;f(a)) par rapport à O donc ses coordonnées sont (−a;−f(a)).
La limite de a(a+h)−1 quand h tend vers 0 est égale à −a21 donc f′(a)=−a21 pour tout réel a=0.
On en déduit que
Les tangentes ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles.

On calcule f′(1) et g′(1) et on montre qu'ils sont égaux à −2.
Cela prouve que Cf et Cg ont une tangente commune en A.

1. On a f(0)=0. Calcul de f′(0) :
La limite de h2−1 quand h tend vers 0 est égale à −1 donc f′(0)=−1.
d la tangente à la courbe en O a donc pour équation réduite y=−x.
2. On cherche à déterminer a l'abscisse du point A tel que g′(a)=−1.
La limite de −2a−h+3 quand h tend vers 0 est égale à −2a+3 donc g′(a)=−2a+3.
donc la tangente à Cg au point A(2;−2) a pour équation réduite
La tangente à Cg au point A(2;−2) est donc la droite d.
Parcours vert
3 méthodes pour déterminer un nombre dérivé
- En calculant la limite d'un taux de variation : EX 42
- Par lecture graphique d'un coefficient directeur : EX 44, 47
- En calculant un coefficient directeur : Ex 48
Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse a :
Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 1 :
Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 2 :
Dérivation : Exercices
By Jean-Marc Kraëber
Dérivation : Exercices
Première Spécialité
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