La fonction exponentielle 

Rappels sur le nombre dérivé

On considère une fonction \(f\), dérivable sur son ensemble de définition.

En tout point \(A(a~;~f(a))\) de la courbe représentative de \(f\), on peut tracer une tangente à la courbe.

Au voisinage du point A, la courbe et sa tangente sont quasiment confondues.

Le nombre dérivé \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(a\).

a
f(a)
1
f'(a)

\(\vec{u}\left(\begin{array}{c}{1} \\ {f'(a)}\end{array}\right)\) est un vecteur directeur de la tangente.

1
f'(a)
\vec{u}

Questions flash 

30 s par question.

Question 1 

La courbe \(C_𝑓\) représente une fonction 𝑓.
Donner \(𝑓(−4)\) et \(𝑓' (−4)\), \(𝑓(3)\)  et \(𝑓' (3)\).

Question 2 

Associer à chaque phrase une des égalités proposées  

  1. La courbe \(𝐶_𝑓\) passe par le point (2 ; 3).
  2. Le coefficient directeur de la tangente en 3 est 2.
  3. Le vecteur \(\vec{u}\left(\begin{array}{c}{1} \\ {3}\end{array}\right)\) est un vecteur directeur de la tangente à \(𝐶_𝑓\) au point d’abscisse 2.

a. \(𝑓'(2)=3\)


b. \(𝑓'(3)=2\)

 

c. \(𝑓(3)=2\)

 

d. \(𝑓(2)=3\)

Question 3 

Que peut-on dire d’une fonction définie sur ℝ telle que, pour tout réel \(a\), \(f(a)=2\) ?

Question 4 

Que peut-on dire d’une fonction définie et dérivable sur ℝ telle que, pour tout réel \(a\), \(f'(a)=2\) ?

Correction

Question 1 

\(𝑓(−4)=3\) ; \(𝑓' (-4)=−\frac{1}{2}\) 

Question 1 

 \(𝑓(3)=-1\)  et \(𝑓' (3)=2\).

Question 2 

Associer à chaque phrase une des égalités proposées  

  1. La courbe \(𝐶_𝑓\) passe par le point (2 ; 3).
  2. Le coefficient directeur de la tangente en 3 est 2.
  3. Le vecteur \(\vec{u}\left(\begin{array}{c}{1} \\ {3}\end{array}\right)\) est un vecteur directeur de la tangente à \(𝐶_𝑓\) au point d’abscisse 2.

a. \(𝑓'(2)=3\)


b. \(𝑓'(3)=2\)

 

c. \(𝑓(3)=2\)

 

d. \(𝑓(2)=3\)

Question 3 

Que peut-on dire d’une fonction définie sur ℝ telle que, pour tout réel \(a\), \(f(a)=2\) ?

Une seule fonction convient, la fonction constante égale à 2.

Question 4 

Que peut-on dire d’une fonction définie et dérivable sur ℝ telle que, pour tout réel \(a\), \(f'(a)=2\) ?

Question 4 

Que peut-on dire d’une fonction définie et dérivable sur ℝ telle que, pour tout réel \(a\), \(f'(a)=2\) ?

Une infinité de fonctions conviennent, les fonctions affines représentées par une droite de coefficient directeur 2, c'est à dire les fonctions de la forme \(f(x) = 2x+b\).

Equations différentielles, première approche 

Fonctions solutions d'une équation différentielle

Dans la question 4) nous nous sommes demandés : "Que peut-on dire d’une fonction définie et dérivable sur ℝ telle que, pour tout réel \(a\), \(f'(a)=2\) ?"

Une relation de ce type s'appelle une équation différentielle.

On peut la noter : \(y'=2\)

C'est une équation dans laquelle l'inconnue ne désigne pas un nombre mais une fonction.

Fonctions solutions d'une équation différentielle

1) Existe-t-il des fonctions définies et dérivables sur ℝ telles que, pour tout réel \(a\), \(f'(a)=a\) ?

Pour tout réel \(a\), le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse \(a\) est \(a\).

Comment traduire cette contrainte graphiquement ?

(3~;~2)
(2~;~3)
(0~;~1)
(-2~;~4)

Fonctions solutions d'une équation différentielle

Pour tout réel \(a\), \(f'(a)=a\). On obtient un champ de tangentes.

Fonctions solutions d'une équation différentielle

Pour tout réel \(a\), \(f'(a)=a\).

Une infinité de fonctions conviennent.

Fonctions solutions d'une équation différentielle

Pour tout réel \(a\), \(f'(a)=a\).

Si on ajoute une condition comme par exemple \(f(-1)=0\)

alors il existe une unique

solution au problème.

Fonctions solutions d'une équation différentielle

2) Existe-t-il des fonctions définies et dérivables sur ℝ telles que, pour tout réel \(a\), \(f'(a)=f(a)\) ?

f\text{ définie par }f(x) =0 \text{ pour tout }x\in\R

On a \(f'(x)=0\) pour tout \(x\in\R\). 

Donc pour tout réel \(a\), \(f'(a)=f(a)\).

La fonction constante égale à 0 est solution de l'équation différentielle \(y'=y\).

Existe-t-il d'autres fonctions telles que, pour tout réel \(a\), \(f'(a)=f(a)\) ?

Pour tout réel \(a\), le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse \(a\) est \(f(a)\).

Comment traduire cette contrainte graphiquement ?

(3~;~2)
(2~;~3)
(0~;~1)
\left(-2~;~\frac{1}{2}\right)

Pour tout réel \(a\), \(f'(a)=f(a)\)

Fonctions solutions d'une équation différentielle

Pour tout réel \(a\), \(f'(a)=f(a)\). On obtient un autre champ de tangentes.

Fonctions solutions d'une équation différentielle

Pour tout réel \(a\), \(f'(a)=f(a)\).

Une infinité de fonctions conviennent.

Fonctions solutions d'une équation différentielle

Pour tout réel \(a\), \(f'(a)=f(a)\).

Si on ajoute une condition comme par exemple \(f(3)=4\)

alors il existe une unique

solution au problème.

Théorème :

Il existe une unique fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\R\) qui vérifie \(f(0)=1\) et \(f'(x)=f(x)\) pour tout nombre réel \(x\).

La fonction exponentielle 

Définition :

La fonction exponentielle est la fonction, notée exp, définie et dérivable sur \(\R\) telle que \(\exp(0) = 1\) et pour tout \(x\in\R\), \(\exp'(x) = \exp(x)\).

Démonstration partielle : Activités A et B p 158

Construction de la courbe : méthode d'Euler

f'(a)= \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

Équation de \(T_a\), la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\) :

y=f(a)+f'(a)(x-a)

Ordonnée du point de \(T_a\) d'abscisse \(a+h\) :

y=f(a) +f'(a)(a+h-a)=f(a) +hf'(a)

Au voisinage de \(a\), la courbe et la tangente sont très proches donc :

f(a+h)\approx f(a) +hf'(a)
a+h
f(a+h)
f(a) +hf'(a)
a=
f(a)=
h
h=\dfrac{1}{10}=0,1

une approximation affine est une approximation d'une fonction au voisinage d'un point à l'aide d'une fonction affine.

\text{Avec }a=0\text{ et }h=0,1\text{ on obtient :}
f(0+ 0,1)\approx f(0) +0,1\times f'(0)
f(0,1)\approx f(0) +0,1\times f'(0)
\text{On sait que }f(0)=1\text{ et }f'(0)=1\text{ donc : }
f(0,1)\approx1 +0,1\times 1
f(0,1)\approx1,1
f(a+h)\approx f(a) +hf'(a)

approximation affine

f'(0,1)=f(0,1)\approx1,1
\text{Avec }a=0,1\text{ et }h=0,1\text{ on obtient :}
f(0,1+ 0,1)\approx f(0,1) +0,1\times f'(0,1)
\text{Plus généralement }f(n\times 0,1)\approx 1,1^n

On procède comme précédemment :

f(0,2)\approx1,1 +0,1\times 1,1
f(0,2)\approx1,1 (1+0,1)
f(0,2)\approx1,1^2
f(0,2)\approx1,21
f(a+h)\approx f(a) +hf'(a)
from matplotlib import pyplot as plt

n = 10
x = [] #liste des abscisses
y = [] #liste des ordonnées
x = x + [0]
y = y + [1]

for k in range(1, n + 1):
	a = float(x[k - 1]) + 1/n
  x = x + [a]
  b = (1 + 1/n)*float(y[k - 1])
  y = y + [b]
  # Affichage des points dans le repère
plt.clf()
plt.plot(x, y, marker='o', linestyle='-')
plt.show()

Les lignes 9 à 13 servent à calculer les valeurs successives de la fonction :

  • A la ligne 10 : calcul de l’abscisse suivante en ajoutant le pas à l'abscisse précédente.
  • A la ligne 11 : ajout de cette abscisse à la liste des abscisses
  • A la ligne 12 : calcul de l’ordonnée correspondante en multipliant l’ordonnée du point précédent par 1+ le pas
  • A la ligne 13 : ajout de cette ordonnée à la liste des ordonnées.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from math import *

#Paramètres modifiables pour le tracé final.
#Prendre un pas négatif pour voir l'approximation pour les abscisses négatives.
pas=0.1
n=10

# Tracé de exp
x = np.linspace(0,1,100)
plt.plot(x,e**x,"c")

def expEuler(pas,n):
    listeX = [i*pas for i in range(n+1)]
    listeY = [(pas+1)**i for i in range(n+1)]
    plt.plot(listeX,listeY,"o-")
    
expEuler(pas,n)

Un autre script avec en plus l'affichage de la fonction exponentielle :

n= 10
n= 100

Propriété :

La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\R\).

Pour tout réel \(x\) \(\exp(x)>0\).

Propriété :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\R\).

Propriétés algébriques :

Pour tous  réels \(x\) et \(y\) et pour tout entier relatif \(n\) :


\(\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}\)

 

\(\exp (x+y)=\exp(x)\times \exp(y)\)

 

\(\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}\)

 

\(\exp(nx)=(\exp(x))^n\)

Nouvelle notation :

On a vu que \(\exp(nx)=(\exp(x))^n\)

L'image de \(1\) par la fonction exponentielle est notée \(\text{e}\).

\(\exp(1)=\text{e}\)

A la calculatrice : 

C'est un nombre irrationnel.

Pour \(x=1\), \(\exp(n)=\exp(n\times 1)=(\exp(1))^n=\text{e}^n\)

On généralise cette notation à tout réel \(x\) : \(\exp(x)=\text{e}^x\)

Propriétés algébriques avec la nouvelle notation :

Pour tous  réels \(x\) et \(y\) et pour tout entier relatif \(n\) :

\text{e}^{-x}=\dfrac{1}{\text{e}^{x}}
\text{e}^{x+y}=\text{e}^{x}\times \text{e}^y
\text{e}^{x-y}=\dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^y}
\text{e}^{nx}=\left(\text{e}^{x}\right)^n

Les méthodes...

Valeur approchée de la solution d'une équation

Donner une valeur approchée à \(10^{-4}\) près de la solution de l'équation \(\text{e}^x = 1,05\)

Avec la Numworks :

x\approx 0,0488

Résumé :

en construction... 

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La fonction exponentielle

By Jean-Marc Kraëber

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La fonction exponentielle

Lycée Saint-Exupery

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